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Full text of "Acta Mathematica"

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i « 1 



tt 



AOTA 



MATIIEMATICA 



ACTA MATHEMATICA 



ZEITSCHRIFT JOURNAL 



HKRAUSGEGEBEN UEDICiE 



VON PAR 



G. MITTAG-LEFFLEK 



19 



^.=H*^ 



STOCKHOLM 

F. A. (i. BEIJER. 

BERLIN ^ggg PARIS 

MAYEK & MOLLEK. A. HERMAN». 

ii«itic<mArKtsT«Aii»ic &1 rKriTKALTUYCKKKIKr, STCX^KIIOLM. t Kiir i.k i.a »oKHoN^f 



• ••• 

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EEDACTION 





8VEKIGE: 




A. 


V. Backlund, 


Lund. 


H. 


Gyldén, 


Stockholm 


A 


LlND8TKDl\ 


» 


G. 


Mittag-Leffleu, 


)» 


E. 


Phragmkn, 

NORGE: 


)> 



C. A. Bjekknes, Chriötiaiiiii. 
Elling Holst, » 

S. Lie, Leipzio;. 

L. Sylow, Frcdrikshald. 



• •• »1 



DANMARK: 

J. Petersen, Kjöbenhavn 

H. G. Zeutuen, )) 

FINLAND: 
L. LiNDELÖF, Helsingfors. 



V.% 

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INHALTSVERZEICHNISS. — TABLE DES MÄTIÉRES. 

BÄND 19. — 1895. — TOME 19. 



Seitc. Pages. 

COUSIN, PIERRE. Sur les fonctions de n variables complexes 1—62 

OOURSAT, E. Sur une classe d'équations aux dérivées partielies 

du secoiid ordre, et sur la théorie des intégrales intermédiaires 285—340 

HURWITZ, A. t)ber die Anzahl der dassen binärer qua- 

dratisclier Formen von negativer Determinante 351 — 384 

KANTOR, S. Neue Tlieorie der eindeutigen periodischen Trans- 

forinationen in der Ebene 115—194 

LECORNU, LEON. Meinoire sur le pendule de longueur variable 201—250 

LIOUVILLE, R. Sur les équations de la dynamique 251 — 284 

MARKOFF, ANDRÉ. Deux demonstrations de la convergenco 

de certaines fractions continues 93 — 104 

MEYER, FRANZ, t) ber die Structur der Discriminantc n und 

Resultanten von binären Formen 385 — 395 

NETTO, E. Zur Theorie der orthogonalen Determinaiiten 105—114 

SÉLIVANOFF, D. Sur les expressions algébriques 73 — 92 

STÖRMER, CARL. Sur une généralisation de la formule 

5._8inj._8in^ 8in3j._ ^^^_^,^^ 

2 1 2*3 

VAHLEN, K. TH. t)ber reductible Binome 195-198 

VAHLEN, K. TH. t3ber die Stoinorsche Fläclie 199—200 

WIMAN, A. t)ber die Doppelciirve auf den geradlinigen Flächen 63- 72 



% \%o^ 



SUR LES FONCTIONS 
DE n VARIABLES COMPLEXES 

PAB 

PIEEEE COUSIN 

k OAEN. 



Introduction. 

Dans un mémoire . reinarquable publié dans le tome 2 des Acta 
mathematica M. Poincaré a démontré le théoréme suivant: 

Si une fonction analytique de deux variables complexes nadmet a distance 
finie que des singularités non essentielles élle est le quotient de deux fonctions 
entiéres. 

Le mémoire de M. Poincaré est le seul travail publié sur cette im- 
portante question. Je me suis proposé d'établir pour les fonctions de n 
variables complexes un théoréme plus general que celui de M. Poincaré, 
en employant a cet effet un procédé de demonstration qui m'est personnel. 

Je me suis efforcé dans cette étude d'établir la plus grande analogie 
possible avec la théorie connue des fonctions d'une seule variable complexe. 

M. Mittag-Leffler a, dans un théoréme devenu classique, démontré 
Texistence et donné Texpression analytique d*une fonction d'une variable 
complexe n'admettant pour points singuliers que des points donnés a 
Tavance et formant un ensemble dénombrable dont le seul point limite 
est le point co et telle qu'en chacun de ses points singuliers elle se 
comporte comme une fonction donnée. Deux théorémes importants dus 
a M. Weierstrass peuvent étre considérés comme des conséquences suc- 
cessives du théoréme de M. Mittag-Lefflkk; le premier est relatif a 

Aeta mattmuMoa. 19. Imprimé le 23 avril 1894. 1 



2 Pierre Cousin. 

Texistence d'une fonction entiére admettant pour zéros des poinfs donnés 
a Tavance; le second relatif a Texpression sous forme d'un quotient de 
deux fonctions entiéres d'une fonction d'une variable qui n admet comme 
points singuliers que des p61es. Ces trois théorémes förment un ensemble 
de trois propositions intimement reliées entré elles. Je crols étre arrivé 
ä donner pour les fonctions de n variables complexes un gro upe de trois 
propositions correspondant aux trois précédentes, et reliées entré elles 
d'une fa^on analogue. Toutefois, en ce qui concerne la deuxiéme de 
ces propositions, une différence importante s'impose entré le cas d'une 
variable et le cas de plusieurs variables; elle est due a ce fait qu'une 
fonction réguliére d'une seule variable n'admet pour zéros que des points 
isolés, tandis que les zéros d'une fonction de plusieurs variables complexes 
ne sont jamais des points isolés; le probléme ne se présente donc plus 
de la méme fa9on dans les deux cas; les énoncés des théorémes VI et 
IX indiqueront comment on peut poser le probléme dans le cas de n 
variables complexes. 

Parmi les travaux se rattachant aux questions que j'ai traitées je 
signalera!, outre le mémoire précité de M. Poincaré, deux extensions 
aux fonctions de n variables complexes du théoréme de M. Mittag- 
Leffler données par M. Appell ^ et par M. Dautheville. ^ 

Pour Texposition, j'ai divisé mon travail en quatre parties. 

La premiére contient la demonstration de quelques propositions pré- 
liminaires, qui sont, je crois, pour la plupart nou velies; toutefois M. 
Painlevé • a déja donné une proposition analogue, moins générale. 

La deuxiéme partie est consacrée a la demonstration d*un théoréme 
qui est, pour la suite, d'une importance capitale. 

La conclusion de la troisiéme partie est le théoréme suivant: 

Si une fonction de n variables complexes n'admet qtie des singularités 
non essentieUes å Vintérieur de n cercles ayant pour centres les n origines et 
dant chacun a un rayon fini ou infini, cette fonction est le quotient de deux 
series entiéres par rapport aux n variables, convergentes ä Vintérieur des n 
cercles. 

^ Acta mathematica, tome 2, pago 71. 

' Thése, Paris, OauthierVillars, pages 44 et 50* 

' Thése, Paris, Oauthier-Villars 1 887, page 68. 



Sur loR fonctions de n variables oomplezes. 3 

La quatriéme partie a pour but la demonstration de quelques 
théorémes qui sont, dans une certaine mesure, Textension pour n variables 
des théorémes donnés pour une variable par M. Mittag-Leffler dans le 
tome 4 des Acta mathematica. 

En terminant cette introduction, qu'il me soit permis de remercier 
MM. PoiNCARB et Appell pour le bienveillant accueil quMls ont fait a 
mes premiéres recherches, et de leur exprimer ici ma profonde recon- 
naissance. 



I. 

Bropositiona préUtninaires. 

I. J*eniploierai pour les variables complexes la representation 
géométrique ordinaire: chaque variable sera représentée par un point 
d'un plan. 

J^établirai d'abord quelques propriétés de la fonetion y{y) définie 
par Végalité: 



AEB 



y et z sont deux variables complexes représentées sur le méme plan: 
Tintégrale est prise le long du chemin AEB de A vers B\ je suppose 
pour plus de simplicité que ee chemin ne présente aucune boucle. Pour 
distinguer éntre les points A et B, je dirai que A est Vorigine et B 
Vextrémité du chemin d'intégration; lorsque cette distinction ne sera pas 
nécessaire les deux points A et B seront appelés les deux extrémités du 
contour d*intégration: aucune confusion ne pourra ré- 
sulter par la suite de cette désignation. 

Soit CED un chemin supposé parcouru de G vers 
D et traversant AEB en un seul point -B; je trace la 
ligne AMB ne traversant pas CJJet telle que le point 
C soit intérieur au contour AMBEA: si le sens AEB b 
est direct sur le périmétre du contour AMBEA , je 




4 Pierre Cousiu. 

dirai que CEI) traverse AB dans le sens direct: dans le oas contraire 
CED Bern dit traverser AB dans le sens indirect. 

La fonction ^{y) qui est définie par Tégalité (i), est réguliére en 
tout point qui n^est pas situé sur le chemin d'intégration AEB: ce cheinin 
AEB est une coupure pour la fonction ^{y). 

L'expression explicite de jr(y) est d'ailleurs, en désignant par a et h 
les valeurs de z correspondant aux deux points A et Bi 

en prenant pour le logarithnie une détermination convenablement choisie. 

De cette expression explicite de f{y) se déduisent les propositions 
sui vantes: 

i^ Si Ton fait parcourir au poiut y un cheinin CED traversant 
AB au seul point E^ la continuation analytique de ^{y) est réguliére au 
point E et en tout point de ED\ Texpression de cette continuation ana- 
lytique est en tout point de El) donné par: i + ^{y)j si CEI) traverse 
AB dans le sens direct; et par: — i + ^[y) dans le cas contraire. 

2°. La continuation analytique de la dififérence: 

f^(y)— ilog(6 — y),^ 
est réguliére au point B\ et la continuation analytique de: 

est réguliére au point A. 

2. Je considére une fonction f{x^ , ^^ > • • • i ^« > y) des (n -f i) va- 
riables complexes rr, , ic^ , . . . , rr„ , y représentées géométriquement sur 
(n + i) plans différents. Ti^Tnf-^yTn ^ont n contours fermés, simples 
ou complexes, tracés respectivement sur les n plans des n variables 
a?, , iTj , . . . , ic„; Tensemble de ces contours sera désigné par ;-; Tensemble 
des valeurs .Tj , rr^ , . . . , x„ sera le point x; je dirai que x est intérieure 
a ;- si .T, , ajj , . . . , rr„ sont respectivement intérieures å ^i > Ta > • • • > T»»- 

^ La déteruiiiiaiioii å picudie pour log (6 — //) est arbitraire. 



Sur IcR foDCtions de n variables coiuplcxes. 5 

Pour abréger Vécriture, j'écrirai f\x^y) au lieu de f{x^, x^,...yX^,y) 
toutes les fois qu*il n'en pourra résulter aucune confusion. 

r désigne un contour fenné, simple ou complexe du plan de la 
variable y; (a: , y) sera dit intérieur ä {j' , F) si o; et y sont respective- 
inent a 1' intérieur de jr et F. 

Cela pose, je suppose la fonction f{x , y) réguliére tant que x est 
dans j' et y dans /'. 

Je définis une fonction (P{Xyy) des (n+i) variables x^jX^^ ...jX^^y 
par régalité: 

AEB 

z est représenté sur le inéme plan que la variable y; le chemin d*inté- 
gration AEB est supposé tout entier a Tintérieur de F. 

La fonction ainsi définie est réguliére pour x intérieur a ;- et y 
quelconque dans son plan, mais non situé sur la ligne d'intégration AEB] 
cette derniére est pour 0(x , y) une coupure relative a la seule variable y. 

Je vais étudier la continuation analytique de 0{x , y) lorsque y 
traverse le chemin AEB^ x se dépla9ant en méme temps d'une fa9on 
quelconque a Tintérieur de y. 

Pour cela, je remarquerai d'abord que la fonction '—-— — Li—LJ. 

est réguliére pour x intérieur a y et y ei z intérieurs a F. Soit, en 
effet: rP^ = »j , aj^ = a^ , . . . , a;„ = a„ , y = ft , -2? = c un point intérieur ä 
{jC ^ 7^; si b n^est pas egal a c, il est clair que la fonction considérée 
est réguliére en ce point. Je suppose donc c = i, et je pose: 

iCp = iCp + öp, (p=l,2,...,n) 

y = y' + h, 

z = z' + b. 

Je trace sur les plans des n variables r, n cercles de rayon R de 
centres a, , c/^ , . . . , a„, en supposant R assez petit pour que ces n cercles 
soient respectivement intérieurs a /'i ; ^'j , . . . , ;*„; et sur le plan de la 
variable y, je trace un cercle de centre b et de rayon p assez petit pour 
que ce cercle soit intérieur a F. 



(i Pierre Coubin. 

Je désigne par G Teiisemble des (n + i) cercles tracés. La fonc- 
tion f[x^ y) est développable en série entiére en x[y x'^j . . .*, o;^ , y', con- 
vergente a Tintérieure de C; soit: 

ce développement; en y rempla9ant chaque coefiFicient Ä par son module 
|-4|, les variables x par i?, et y par />, on obtient une série convergente: 

(3) i;|^|B^»+«-+ •+V- 

On a ä rintérieur de C\ 

z — y z —y 

En effectuant la division par z' — y' de chaque terme du second membre, 
on est conduit ä la série: 

(4) SÄx^^^^x'^^ . . . C-(/''-^ + /^' ^y' +■_ . + zy^-' + y''^-') 

qui devient, en reinpla9ant chaque coefficient Ä par son module |-4|, 
les X par i?, et y et jj par un noinbre positif r: 

(5) ^/^\^\ jB«»+««+-+«V^^ 

cette derniére série est convergente pour r<p, comme étant la dérivée 
par rapport a r de la série (3) oii Ton aurait remplacé p par r. 

La série (4) est donc absolument convergente dans C; par suite 

fix * z) f(x v) 

—-^—^ — L^-J-^ est réguliére au point x^ =«i) ^2 =Ö2> ^3 = ^8» •••> ^n = <^nj 

8 y 

y z= z = by ce que je voulais établir. 
On peut des lors poser: 

F{^' ^y j ^) étant réguliére en tout point {x , y , z) intérieur a {j' , F). 

L'égalité (2) peut étre maintenant écrite pour (x^y) intérieur a (/*, /') 
sous la forme: 

dz 

y 






ARB AEB 



Sur les foDctions de n variables coniplcxcs. 

ou en posant cornine précédemment: 



j'(^)=ii Jt^' 



äeb 



ARB 

L'intégrale qui figure au second membre est une fonction de x et y ré- 
guliére en tout point intérieur a {j^ ^ F): il en est de möme par hypo- 
thése de f{Xjy)\ enfin la fonction <p{y) a été étudiée dans le paragraphe 
précédent. On en conclut inimédiatement les propriétés suivantes de 
0{x,yy. 

1°. Si Ton fait parcourir au point y un chemin CED (de C vers D) 
contenu a Tintérieur de /'et traversant ÄEB au seul point JS, tandis 
que X se déplace d'une fa9on quelconque a Tintérieur de ;-, la conti- 
nuation analytique de 0[x , y) est réguliére au point E et en tout point 
de ED: elle a pour expression 0{x ^ y) + f{^ y v) si CED traverse AB 
dans le sens direct et pour expression: 0{x y y) — f{^jy) dans le oas 
contraire. 

2**. a et fe étant les valeurs de z qui correspondent aux points A 
et B, la continuation analytique de la différence: 

<^(^,y)-%^iog(J-y),' 



est réguliére au point B et eelle de: 



<«*(^.y)+^log(a-y) 
est réguliére au point A. 

3. Soient n chemins d^intégration A^By A^B , . . . y A^B tracés sur 
le plan commun aux deux variables y et Zy et ayant Vextrémité B 
commune; le sens dMntégration est pour chaque contour de A vers B. 
Ces contours sont supposés ne pas se couper et n*ont par suite aucun 

* La détcriuioatiou h. prcndre pour log (6 — y) est arbitraire. 



8 



Pierre Cousin. 



autre point commun que J5; de plus on suppose qu'en pareourant dans 
le sens direct un petit cercle de centre B, on rencontre les contours 

précédents dans Tordre: A^B ^ A^By...\ A^B 
cest a dire par ordre dindices croissants. 
Je trace alors la ligne A^MA^ de fa9on 
qu'il n'y ait aucun des contours précédents 
a rintérieur du contour fermé A,BA^MA,. 

13 1 

A chaque chemin A^Bj je fais corres- 

pondre une fonction fp{x y y) de (n + i) va- 

riables x^ j x^ y . . . , x^ ^ y réguliére pour x 

intérieur a un contour feriné T et pour y 

intérieur ä un certain contour fermé C^ enveloppant le chemin ApB. 

Le contour F est le méme pour les n fonctions fp{x,y). 

Je pose: 




/ \ I { fCjX , st)dz 



A,B 



rintégrale est prlse le long de A^B de A^ vers B; la fonction ^^{x , y) 
est de la forme de celle qui a été étudiée dans le paragraphe précédent. 
eJe définis une fonction 0{x , y) pour x intérieur a JT et y intérieur 
ä BA^MA^B par Tégalité: 



0{xyy) = S^piXyyYy 



(p = l,2,...,n) 



cette fonction est réguliére en tout point intérieur ä la region ou je la 
suppose ainsi définie. 

Je vais donner la condition nécessaire et suffisante pour que Tex- 
tension analytique de 0{x , y) soit réguliére au point B, x étant toujours 
supposé a rintérieur de F. 

Si b est la valeur de y correspondant au point B, Textension ana- 
lytique de la différence 

Fp(^ » y) — i-Jpk^' y y) log (6 — y) 



2tn 



est réguliére au point B] il en sera de méme de la continuation ana- 
lytique de: 

-Vp(^' » y) — TTr^fp^'^^ y) iog(* — y) ^'"^''•^ "^ 

^ c» TT 



Sur les foDOtious de n variables complexes. 9 

c'est-ä-dire de: 

^{^ . y) — ^i^g (* - y)^fpip ' y\ 

La sonime ^fp{x , y) est réguliére au point B comine chacune des fonc- 
tions qui la coinposent [x restant toujours dans F). 

La condition nécessaire et suffisante pour que Textension analytique 
de 0{x j y) soit réguliére au point B sera donc que: 

identité qui a un sens bien precis pour y dans le don)aine de B, x étant 
toujours quelconque dans F. 

4. Un cas particulier dont la considération sera utile plus loin est 
celui ou la somme précédente se réduit a un multiple de 2i;r; soit: 

^fv{^ y y) = 2^A^;r. 
La continuation analytique de la différence 

0{x,y) — log(b — yy 
est alors réguliére au point B. 



II. 

Demonstration d'un théorétne fondamentah 

5. Les propositions qui sont Fobjet du present travail, sont la con- 
séquence d'un théoréine fondamental que je vais exposer dans cette 
deuxiéme partie. 

Il sera tout d*abord question de fonctions de {n -{- i) variables 
complexes de la nature sui vante: chacune de ces fonctions est définie a 
Fintérieur d'une certaine region pour tous les points de laquelle elle 
n^est pas supposée réguliére, mais dans laquelle elle est monotrope et 

Aeta mathematiea. 19. Imprinfft le 23 avril 1894. 2 



10 Pierre Cousin. 

n'admet pas (Tespace lacunaire. Gette derniére condition signifie d'une 
fa9on precise que si 31 désigne un point quelconque de la region con- 
sidérée, il existe un point aussi voisin que Ton veut de 31 pour lequel 
la fonction est réguliére. 

Si deux fonctions de cette nature se trouvent définies simultanénient 
a rintérieur d'une méme portion d'aire et si leur différence est réguliére 
en tout point de cette aire, je dirai que les deux fonctions sont équi- 
valentes dans la portion d'aire considérée; si leur différence est réguliére 
en un point, les deux fonctions seront équivalentes en ce point. 

La condition nécessaire et suflisante pour que deux fonctions F et 
soient équivalentes en un point JW, est que Ton ait pour les points 
situés dans le domaine de M: 

f étant une fonction réguliére en M. 

Il est clair que deux fonctions équivalentes en un point ä une méme 
troisiéme sont équivalentes entré elles. 

Cela pose, soit F un ensemble de contours fermés simples ou com- 
posés ^1 » Ta > • • • » r» t^ftcés respectivement sur les n plans des n variables 
a?j , rCj , . . . , rr„. Dans tout ce paragraphe le point x (a?j , x, , . . . , x„) sera 
constamment supposé a Tintérieur de F et pourra étre quelconque dans 
F\ les seules distinctions a faire dans la position des points representant 
des variables porteront sur une (n + i)^'"® variable y; de telle sorte que 
quand je dirai que la fonction f{x , y) de x^ , x^ , . . . y x„, y est réguliére 
en un point du plan de la variable y, cela signifiera qu'elle est réguliére 
en ce point quel que soit x a Tintérieur de F. 

Soit S une aire connexe du plan de la variable y: cette aire S est 
subdivisée en regions JS^ , iJ^ , . . . , Bp . . . en nombre quelconque mais fini, 
et dont chacune est limitée par un contour fermé simple. Deux regions 
jB„ et Rp seront dites contiguös si elles ont une portion commune de 
périmétre: cette portion commune sera désignée par l„j,] 1„^ peut étre une 
ligne continue, ou bien étre composée d*un certain nombre de lignes 
continues distinctes mais en nombre fini: les extrémités de l^p seront les 
extrémités des différentes lignes qui la composent; l„p est la ligne que 
y doit traverser pour passer de la region ii„ a la region Ep sans entrer 
dans une a ut re region que ces deux-la; j'aurai a envisager des intégrales 




Sur les fonctions de n variablcs complexcs. 11 

pour lesquelles le cheinin d'intégration sera /„^; j^établis a cet eflfet la 
distinction suivantc entré les deux notations l„p et /^„: l„p sera parcouruc 
pour Tintégration dans le sens qui est direct sur le périmétre de iJ„; 
Ipn sera parcourue dans le sens qui est direct sur le périrnétre de Rpi 
ainsi l^^ et /^^ désigneront le niéine chennn d'intégration rnais avec des 
sens difterents; il résulte de la que y, en passant de R„ a Rp traversera 
/„p dans le sens direct, et /p,^ dans le sens indirect. 

ePaurai encore a considérer les points qui sont communs aux péri- 
métres de plus de deux regions, tout en étant intérieurs a S (et non sur 
son périmétre); ces points seront appelés des 
fueuds: soit B un de ces noeuds; si j*appelle 
Rn , Ry , Rg , . . . , R, , Rt les regions que Ton tra. 
verse successivement en faisant le tour du point 
B dans le sens direct, B est Vextrémité comnmne 
aux chemins d'intégration /„j. , /^^ , . . . , Ist > hn\ 
les regions R^ , Rp j R^ , , . , j R, y R^ seront dites 
attenantes au noeud B. 

A cliaque region R^ je fais correspondre une fonction des (w + i) 
variables coinplexes ^r^ , a;^ , . . . , rr,, , y, fp{x , y) définie pour x intérieur 
a r et pour y intérieur a un contour fenné cR^ enveloppant Rp\ a Tin- 
térieur de la region oii elle est définie fp{x , //) est supposée monotrope et 
sans espace lacunaire; on fait de plus Thypothése suivante: si R^ et R^ 
sont deux regions contigués, älp et cÄ„ ont une portion d*aire commune 
oii les deux fonctions fp{x , y) et fn{oo , y) sont simult^nément définies; 
on suppose que ces deux fonctions sont équivalentes dans la portion d'airc 
ou elles sont simultanétnent définies; /„^ étant tout entiére dans cette 
portion d'aire, il résulte de la que la difi^érence /'„(a; , y) — fp{^ y y) ^^^^ 
réguliére en tout point de l„p, y compris ses extrémités. 

Si A est un point intérieur a Rp, je dirai que fp{x , y) est la fonc- 
tion correspondant au point -4; et si ^ est un point commun aux péri- 
métres de plusieurs regions Rp , R^ , R, etc. la fonction correspondant au 
point A sera Tune quelconque, prise a volonté, des fonctions fp{x , y), 

Voici le théoréme que je vais établir: 

Théoréme fondamental. // existe une fonction F{x , y) monotrope et 



12 Pierre Cousin. 



sans espace lacunaire définie pour x intérieur å F et y intérieurä S et 
qui, en chaque point intérieur ä S, est équivalente å la fonction correspondant 
ä ce point. 

Uexpression point intérieur a S, employée dans Ténoncé précédent. 
exclut les points situés sur le périmétre de S, 

Definition des fonctions T„p{x , y) et 0{x , y). Pour le déinontrer, je 
pose, R^ et Rp étant deux regions contigués: 



f^ 



z est une variable coinplexe représentée sur le méme plan que la variable 
y; Tintégrale est prise le long de l„p] si l„p se compose de plusieurs lignes 
continues distinctes, I„p{x y y) est alors la somme dMntégrales analogues 
a la précédente dont les chemins d'intégration sont les difFérentes lignes 
continues coinposant l^p. Coinme en tout point de cette ligne /.p, 
fp{x j z) — fn{^ • ^) 6st réguliére par hypothése, Tintégrale précédente est 
de la fornne de celles étudiées au paragraphe 2. I„j,{xjy) est réguliére 
pour toute valeur de y excepté le long de l^p qui est une coupure pour 
cette fonction. 

Il importe de remarquer que: 

car par la permutation des indices j; et n le sens de Tintégration change 
en méine teinps que le signe de la fonction intégrée. 

Soit pose: 

0{xyy) = II,p{x,y\ 

la soinnie S s'étendant a toutes les combinaisons des indices n et jp 
correspondant a dcux regions contiguös. La fonction 0{x , y) admet 
comme coupures tous les chemins d'intégration l„p; elle est réguliére en 
tout point non situé sur un de ces chemins. 

Definition des fonctions ^n{^ ^ V)- J^ considére la fonction <Pn{^ ^ V) 
qui a rintérieur de R^ est égale a 0{Xyy)\ cUe est réguliére en tout 
point intérieur a cottc réjiion, puisque R^ ne renfcTme aucune des coupures 



Sur les foDotions de n variables complexes. 



13 



de 0{Xjy). La continuation analytique de ^^{x , y) est encore réguliére 
en tout point A du périmétre de R„ iritérieur a S. Soit en effet Z.^ la 
portion du périmétre de R^ a laquelle appartient le point A. S\ A n^est 
pas une extrémité de l^pj la seule intégrale dont le chemin d'intégration 
passé par A est I„p{x , y)\ il résulte du paragraphe 2 que la continuation 
analytique de Inp{x , y) en tout point de l^p autre que ses extréinités, est 
réguliére. Il en est donc de niéme pour ^^{x , y), qui, a Tintérieur de 
iJ„, est donné par: 

9n{^ » y) = <P(^ y y) = ^inpix , y). 

Si A est une extrémité de ?„p, comme il est^ 
par hypothése intérieur a 8^ c'est alors un nceud; 
soient iJ„ , iJp , i?^ , . . . , B, , iJ< les regions que Ton 
traverse successiveraent en faisant le tour de A 
dans le sens direct; je partage la somme d'inté- 
grales 0{x,y) en deux parties; la premiére 0^{x,y) 
comprenant toutes les intégrales dont le chemin 

d'intégration a pour extrémité A\ la seconde 0^{x y y) comprenant toutes 
les autres intégrales: 

0{x,y) = 0,{x,y) + 0^{Xyy). 

0^{x j y) est réguliére en A] la continuation analytique de ^^{x ^ y) est 
aussi réguliére en Aj d^aprés le paragraphe 3; car les fonctions: 

fp{^yy) — fn{^yy\ 
U{^yy) — fp{^yy\ 




ft{^^y) — f.{^,y\ 

fn{^yy)—ft{^yy)y 

qui figurent dans les intégrales prises le long des chemins aboutissant 
en Aj et qui sont toutes réguliéres en -4, ont une somme identiquement 
nuUe; par suite, 0^{Xyy)j considérée actuellement pour y intérieur a iJ„, 
est, par continuation analytique, réguliére en A\ il en est de méme de: 

9n{^yy) = 0,{^yy) + 0,{^yy)' 



14 Pierre Cousin. 

On a ainsi fait correspondre a chaque region 2?„, une fonction 
^n{^ 9 y) cléfinie et réguliére a Tintérieur de B„, et qui, par continuation 
analytique sera considérée comme définie et sera réguliére en tout point, 
intérieur a Sy du périmetre de jR„. 

Relations entré deux fonctions (f^(x , y) et ^j,{x , y) correspondant å deux 
regions contigues ou attenantes, R„ et R^ etant deux regions contigués et 
Ä étant un point de l„^ autre que ses extrémités, les deux fonctions 
^n{^ j y) 6^ 9p{^ > y) ^^ 1^ différence fy{x , y) — fn{^ 9 y) sont réguliéres au 
point A^ c'est-a-dire réguliéres a Fintérieur d'un petit cercle c de centre 
^; la ligne l^p partage le cercle c en deux parties: Tune c^ intérieure 
a R^y Tautrc c^ intérieijre a R^. On a, a Tintérieur de c„: 

9n{^9y) = (Pi^yy); 

pour avoir Texpression de ^n{^ 9 y) ^ Tintérieur de Cj,, je remarque que, 
lorsque le point y passé de c„ a c^ il traverse l„p dans le sens direct: 
par suite la continuation analytique de Inp{^' , y)> lorsque y passé de c„ 
a t/jj esD • 

Inp{^ 9 y) + fp{x , y) — f,(x , y); 

celle de 0{x ^ y) sera donc, dans les mémes hypothéses: 

<P(^ , y) + fp{^ 9 y) — W' 9 y); 

on a donc, a Tintérieur de Cpi 

9n{^ 9 y) = <P{^ 9 y) + fpk^ 9 y) — fn{^ , y), 
9^p{^- 9 y) = <P(^ , y), 

d'ou: 

(O 9n{^ 9 y) — 9p{(c , y) = fp{x , y) — f„{x , y); 

cette égalité démontrée ainsi pour y intérieur a r^, subsiste a Tintérieur 
de tout le cercle c, puisquc les deux menibres sont des fonctions ré- 
guliéres dans c. Iai relation (i) ost ainsi vérifiée en tout point A de 
l„p autre que ses extrémités; si une extrémité B de /„^ est un^nceud, 
la relation (i) subsistera encore dans le domaine de B; car les fonctions 
^^{x,y), ^%{x,y), fp{x,y) — f„{^'yy)y sont réguliéres en tout point de 
lnp9 y compris le point B. Soient R^^ Rj, , R^ ^ . . . , R,, R^ les regions tra- 



Sur les fonctions de n variables complexes. 15 

versées successivement lorsqiie Ton fait le tour de B dans le sens direct. 
Ori a dans le domaine de /?, par rapplication de la relation (i) aux 
groupes de regions contigués R„ et JB^, Rp et jB^, ... , R, ut i?,, R^ et R^: 

Fn(^ , y) — <pv{^ , y) = fp[^ j y) — fn{^' , y). 

9p{^ ' y) — 9^k^ ' y) = U{^ ' y) — fp{^ > y\ 



F.(^ ^ y) — 9t{^ j y) = ft{^ » y) — fX^' » y)y 

9 

9t{^ ^ y) — Vn{^ y y) = fnip^ y) — ft{^ y y)\ 

si R^ et B, désignent deux quelconques des regions attenantes au point 
Bj contiguös ou non, on conelut des égalités précédent^s par une com- 
binaison simple: 

(2) <Pm{^ , y) — <fi[^ , y) = fiix , y) — f^{x , %j). 

Definition de F(x , y). Je définis maintenant une fonction F{x , y) 
pour X intérieur k F et y intérieur a S par la condition suivante: en 
tout point intérieur a R„ et dans le domaine de tout point de son péri- 
métre intérieur ä S, on a: 

F{x , y) = ^„{x , y) + f^{x , y). 

De lä résulte que dans le domaine d*un point A intérieur a S et eom- 
mun aux périmétres de plusieurs regions, on a plusieurs expressions 
différentes de F{x , y): il faut montrer qu'elles sont identiques; en efifet, si 

et 

sont deux de ces expressions, i?„, et R^ sont contigués ou attenantes au 
point Aj et Ton a, dans les deux oas, dans le domaine de -4, la relation: 

{Pm(^ , y) — (pi^x 1 .v) = fi{x ,y) — fmip, y) 

ou: 

(fÅ^ ' //) + /m(.r , y) = (Pi{cr , y) + fi{x , y). 



16 Pierre Cousio. 

La fonction F[x , y) est donc définie d'une fa9on unique a Imtérieur de 
S\ elle est équivalente en tout point intérieur a 4S a la fonction qui 
correspond a cse point; car si fj^x , y) est cette fonction, on a, par de- 
finition, dans le domaine du point considéré, la relation: 

F{x y y) = f^{x , y) + ip,{x , y), 

9n{^ 9 y) étant régutiére au point considéré. 

6. Le théoréme qui vient d'étre démontré relativeinent a des fonc- 
tions monotropes et sans espace lacunaire, peut étre étendu a des fonctions 
non monotropes d'une nature particuliére : je veux parler des fonctions 
qui sont les logarithmes de fonctions réguliéres. 

La demonstration est analogue a la précédente; les notations que je 
n'explique pas a nouveau conserveront le méme sens que dans le para- 
graphe précédent. 

A chaque region iJ„ je fais correspondre une fonction u^{x , y) ré- 
guliére pour x intérieur a P et pour y intérieur a cR„, et je pose: 

fni^yV) = logw^(a?,y). 

fn{Xjy) est une fonction dont la valeur n'e6t déterminée qu'a un multiple 
prés de 2i;r; il ny a pas lieu de chercher ä distinguer entré ces diffé- 
rentes valeurs de la fonction puisqu^en general elles sont susceptibles de 
se permuter entré elles. Chacune d'elles est d*ailleurs une fonction ré- 
guliére en tout point pour lequel u^ix^y) n'est pas nul. 

Je suppose rai que les fonctions u^{x , y) satisfont a la condition 
sui vante: R^ et JB^ étant deux regions contiguös quelconques, la fraction: 

^n(ig . y) 

est supposée réguliére et diiférente de o dans la portion d'aire commune 
a ål^ et cRp. Il en résulte que la diiférence: 

fn{^yy) — fp{^yy) 

est réguliére dans la portion d'aire commune a cR„ et Ä^; cette fonction 
nest définie qu'ä un multiple prés de 2i;r, mais chacune de ses dé- 
terminations ost réguliére dans la portion d'aire considérée. 



Sur les fonotioDB de n variables complexes. 17 

Je vaig démontrer le théoréme suivant: 

11 existe une fonction F{x , y) définie ä Vintérieur de S å un muUiple 
prés de 217: et telle gue, en tota point intérieur å S, F{x , y) est éqimaJente 
ä la fonction f{x , y) correspondant å ce point. 

Je pose comme précédemment: 



7 (^,y) = jL r /p(»>»)-A(^.^) ^ 

"^^ ' ^>' 2in J » — y 



on prendra pour fp{x , z) — fn{^ ^ ^\ q^i ^st une fonction réguHére en 
tout point de /„^, Tune quelconque, prise a volonté, de ses déterminations. 
Soit encore, comme précédemment: 

0{x , y) = l%p{x , y). 

Voici la part.icularité par laquelle la demonstration actuelle va différcr 
de la précédente; si je pose, pour y intérieur a iJ^: 

et si B est un noeud appartenant au périmétre de -B„, on n'est pas 
certain que la continuation analytique de jr^(.r , y) soit réguliére au point 
B; décomposons, en efifet, <l>{Xjy) en deux parties: Tune 0^{x , y) compve- 
nant la somme des intégrales dont leg chemins d'intégration aboutissent 
au point B; Tautre 0^{x , y) comprenant la somme de toutes les autres 

intégrales: 

0{x,y) = 0,{x,y) + 0,{x,y). 

0{x j y) est réguliére au point B\ mais la continuation analytique de 
0^(x , y) n'est pas nécessairement réguliére en B\ car si, comme précédem- 
ment, 

fp{x y z) — f,{x , z), 

f,{x y z) — fp{x , z), 



f„{x , z) — f,{x , z), 

Åtta moMmmiMm. 19. Imprimft le 24 ayril 1894. 3 



18 Pierre Cousin. 

sont les fonctions qui figurent dans les intégrales dont les chemins d'iiité- 
gration ont pour extrémité B, par suite des déterminations multiples 
parmi lesquelles chacune d'elles est choisie, on n'est pas assuré que leur 
somine est nulle identiquement dans le doinaine de B; tout ce que l*on 
sait, c'est que cette somnie est un multiple de 2/;r, soit: 2iK7r, Des lors 
si b est la valeur de z qui correspond au point 2?, la continuation ana- 
lytique de: 

^/^,(^,y) — log(ft — #' 

est, d'aprés le paragraphe 4, réguliére au point B; il en sera de rnéme 
de la continuation analytique de: 

r/)(;r,y)_log(Ä— y)^. 
Definition de V^\Xjy). Cela conduit a poser: 

n^ ,y)= 0{x,tf) — I log{b — yf 

la somme I s'étendant a tous les termes analogues a log {b — y)^ corres- 
pondant aux différents noeuds. Il est a remarquer que V'\x , y) n est 
définie qaa un multiple prés de 217: coinme chacun des termes log(Ä — v)^. 
Definition de (pn{^.^v)' Jc définis la fonction i/>n{x ^ !/) ^ Tintérieur 
de R^ par la condition: 

cette fonction est réguliére ä Tintérieur de B^: sa continuation analytique 
est réguliére en tout point A du périmétre de i?„, intérieur a S; si en 
effet A est un point quelconque de /„p, autre que ses extrémités, le seul 
termc de la somme ¥{x , y) pour lequel A soit un point singulier est 
I„p{x ^ y) dont la continuation analytique est réguliére au point A. Si, 
en second lieu, A est un noeud, je partage V'\x , y) en trois parties; la 
premiére V'\{x , y) renferme la somme des intégrales correspondant aux 
chemins qui aboutissent en A; la deuxiéme est le tcrme — log (a — yY 
qui correspond a ^; la troisiéme V'\{Xyy) renferme tous les autres termes 
de y-'(:r , y) : 

n^^ , y) = '^\{^■ , y) - log (« - yf + ^'\{^ , .v). 

'/'j(a; , y) est réguliére en A, et la continuation analytique de 



Sur les fonotioDS de n variables oomplexes. 19 

(considérée actuellement pour y intérieur a 2?„) est réguliére en Ay d'aprés 
ce qui précéde. 

Ainsi ä chaque region J?„ on peut faire correspondre une fonction 
^ii(^>y) réguliére en tout point de R^ et en tout point de son périmétre 
intérieur å Sy définie ä Tintérieur de B^ par la condition d'étre égale 
a H^\x , y) et sur son périmétre par continuation analytique. 

Relations entré les fonctions 4^„,{^ , !/) ^l i^iC^ > !/) correspandant ä deux 
regions contigués ou attenantes. On verra coinme dans la demonstration 
précédente que dans le domaine d'un point intérieur ä S appartenant 
aux périmétres de deux regions R^ et JR^ contiguös ou attenantes^ on a: 

(p^{x , y) — i[)i{x , y) = fi{x , y) — f^{x , y); 

toutefois cette égalité n'a lieu qu'ä un midtiple prés de 2i;r, lequel dépend 
des déterminations choisies pour les fonctions qui y figurent. 

Definition de F{x , t/). Je définis F{x , y) pour y intérieur ä S par 
la condition que Ton ait a Tintérieur de R^ et dans le domaine de tout 
point de son périmétre intérieur a Si 

Fix , y) = (l)^{x , y) + f^{x , y). 

F{Xyy) n'est ainsi définie qu'ä un multiple prés de 2i;r. 

On a ainsi dcfini une fonction unique, puisqu'en un point intérieur 
k S et appartenant aux périmétres de R^ et R^y on a, a un multiple 
prés de lin: 

<pmix y y) — (p,{x , y) = f,{x , y) — f^{x , y) 

ou: 

<pm{^ y y) + L{^ , y) == <l^i{^ , y) + fi{oc^ , y). 

En un point quelconque intérieur a S, F{x , y) est équivalente ä la 
fonction f^{x , y) qui correspond a ce point, puisque Ton a dans le domaine 
de ce point: 

F{x y y) = (J^^ix , y) + f^{x , y), 

i[)^{x y y) étant réguliére au point considéré. 

Le théoréme énoncé est ainsi démontré et Ton en déduit le suivant: 

7. 11 existe une fonction U{x , y) réguliére en tout point {x , y) inte- 



20 Pierre Cousin. 

rieur ä {F , S) et tdle que en un point quslconque intérieur å S son quotient 
par la fonction Up{x , y) qui correspond å ce point est régulier et différent 
de o au point considéré. 

Je pose en effet: 

U{x , y) = e^^^^^K 

U{x , y) est définie, ä Tintérieur de Sy sans aucune ambiguité, car le 
multiple de 2i;r que Ton peut ajouter ä volonté ä F{x , y) n'altére pas 
la valeur de e^''^^; de plus, en un point quelconque intérieur ä S, on 
a en choisissant convenablement Tindice p: 

F{x,y) = i[^^{xyy) + f^{x,y) 

on en déduit, en se souvenant que fp{x , y) = logWp(x,y) 

ce qui montre que U{x , y) est réguliére au point considéré, c'est-a-dire 
en tout point intérieur a S. 

On peut écrire cette égalité de la fa9on sui vante: 

^'i>(« > v) 

d'ovi Ton conclut qu'en tout point intérieur a Ä le quotient de U{Xjy) par 
la fonction Up{x , y) qui correspond a ce point est régulier et différent de o. 



III. 

Eoctenaion au^fo fonctions de n variables compleoces des théorétnes de 
MM. Mittag-Leffler et Weierstrass. Théorétne de M. Poitioaré. 

8. Voici quelques considérations générales sur le probléme qui fait 
Tobjet de cette troisiéinc partie et de la quatriéine. 



Sur les foQCtioDS de n variables oomplezes. 21 

Soit F{x , y , . . . y z y t j u) une fonction de n variables complexes 
^ j y 9 ' ' ' j ^ f t f ^9 monotrope et sans espace lacunaire a rintérieur d'une 
region S. Je suppose que pour chaque point (a , 6 , . . . , c , rf , c) intérieur 
ä Sf on connaisse une fonction fa,b,...,c,d,e{'^ > y t • • • > ^ > ^ > w) monotrope et 
sans espace lacunaire, définie ä Tintérieur d'un cercle /\b,...,e,d,$y intérieur 
a S, et ayant pour centre le point (a ,&,..., c , rf , e), et équi valen te k 
F{Xyj/, ,.., Zytyu) a rintérieur de i;,6,...,,,d.e. 

Une condition nécessaire ä laquelle doivent satisfaire les fonctions 
fa,h„..,c,dÅ^ > y > • • • > ^ > ^ > w) correspondant aux différents points de S, est 
la suivante: si (a', ft', . . . , c', rf', e') est un point assez voisin de (a,Ä,...,c,rf,ö) 
pour étre intérieur au cercle Ia,b,...,e,d,ey ^^s deux fonctions 

fa,b e,d,é {^9y9'"9^yty^) ^t /a',6',...,c',if / {^ J V f " ' 9 ^ J 1 9 ^) 

doivent étre équi valentes au point (a', &',..., c', rf', e') ; il faut en eflFet 
qu'en ce point les deux fonctions soient équivalentes a une méme troi- 
siéme F{x , y , . . . , -2? , / , w). 

Je me propose de montrer que si, sans se donner la fonction 
F{x , y f . . . f z j t y u), on se donne pour chaque point (a , ft , . . . , c , rf , e) 
intérieur a S, une fonction fa,b,.,„c,dA^ > y > • • • > ^ > ^ > w) monotrope et sans 
espace lacunaire ä Tintérieur de /'a,6,...,c,d,M ^t ^ ^^s fonctions doniiées 
fa,b,...,e,dA^ j y > • • • > ^ > ^ > w) satisfont a la condition qui vient d'étre ex- 
pliquée, il existe une fonction F{x , y , . . . , jgf , < , w) monotrope et sans 
espace lacunaire, définie ä Vintérieur de Ä, et qui, en chaque point in- 
térieur ä S est équivalente ä la fonction donnée correspondant a ce point. 

J'aurai ainsi établi la condition nécessaire et sufPisante a laquelle 
doivent satisfaire les fonctions données, pour qu'il existe une fonction 
F{x j y j . . . y z j t j u) définie a Tintérieur de Ä, et équivalente en chaque 
point intérieur ä S ä la fonction donnée en ce point. 

Il est clair que le théoréme bien connu de M. Mittag-Leffler, 
relatif aux fonctions d'une variable complexe, n'est qu'un cas particulier 
de celui que je viens d enoncer. 

De cette extension du théoréme de M. Mittag-Leffler se déduira 
d'une fa9on immédiate le théoréme de M. Poincaré. 

Les énoncés des théorémes qui suivent et leurs demonstrations vont 
préciser ce qu'il peut rester de vague dans ces considérations générales. 



22 Pierro CousId. 

9. Il importe, pour la suite, de préciser ce que j^entends par point 
intérieur a une aire S^ prise sur le plan d'une variable complexe: un 
point est intérieur ä S^ s'il existe un ccrcle, intérieur a S^, ayant ce 
point pour centre et un rayon non nul. Cette definition exclut les points 
situés sur le périmétre de S^ ; une aire s^ sera dite complétement intérieui'e 
å S^ si chaque point de s^ et de son périmétre est intérieur ä S^ ; les 
périmétres des aires S^ et s^ ne peuvent pas avoir, d*aprés cela, de point 
cominun. 

10. Lemme. Soit, sur le plan YOX, une aire connexe S limitée par 
un contour fermé simple ou complexe; on suppose quä chaque point de S 
ou de son périmétre correspond un cercle, de rayon non nul, ayant ce point 
pour centre: il est alors toujours possible de subdiviser S en regions y en 
nombre fini et assess petites pour que chacune d^elles soit complétement in- 
térieure au cercle correspondant ä un point convenablenient choisi dans S ou 
sur son périmétre. 

Supposons, en effet, le leinme en défaut: partageons S en carrés 
au moyen de paralléles aux axes de coordonnées, de fa9on que le nombre 
des regions obtenues soit au moins egal ä un certain entier n; il y a 
au moins Tune de ces regions, 5^, pour laquelle le lemme est encore 
en défaut. 

Subdivisant S^ en carrés et portions de carrés en nombre au moins 
egal ä n, j'en déduis S^y de la méme £a9on que S^ se déduit de Ä; en 
poursuivant le raisonnement, j'arrive a une suite indéfinie de carrés ou 
portions de carrés Äj , Ä^ , . . . , iSp , . . . ; il est clair que S^j pour p aug- 
mentant indéfiniment, a pour limite un point M intérieur a S ou sur son 
périmétre; on arrive a cette conclusion que Ton peut trouver un carré 
Sp aussi petit que Ton veut entourant M ou attenant k M et qui ne 
soit pas contenu a Tintérieur d*un des cercles de Ténoncé; or cela est 
impossible puisqu'au point M correspond un cercle de rayon non nul 
ayant ce point pour centre. 

1 1 . Dans les deux théorémes qui suivent, je désigne par a avec 
ou sans indice une valeur attribuée a la variable complexe a?, par b 
avec ou sans indice une valeur attribuée a la variable complexe y. 



Sur les fonotions de n variables complexes. 23 

J'ai rapproché les énoncés de ces deux théorémes parce que les dé- 
monstrationSy a une légére différence prés, en sont identiqiies, 

Théoréme I. Soient S^ et S^ deux aires connexes prises sur les plans 
respectifs des deux variables x et y; soient s^ et s^ deux aires connexes å 
cofUour fermé simple ou complexe, complétenient intérieures respectivement ä 
S^ et S^. 

On suppose quå tout point (a , b) intérieur ä {S^ , S^) correspondent: 

1° deux cercle^ F^i, de centre a et j-^^t ^^ centre b, intérieur s respec- 
tivement å S^ et 8^. 

2° une fonction f^j^[x , y) monotrope et sans espace lacunaire définie å 
r intérieur de (-T^.fe, j^a.t) ^^ ^^^^^ }W6 en tout point («', b') intérieur e å [l\^b^Ta,h) 
élle soit équivalente å la fonction fa\b{^ , y) qui correspond å ce point. 

Il existe une fonction F{x , y) monotrope et sans espace lacunaire dé- 
finie ä Vintérieure de {s^ , 5^) et qui en tout point intérieur å {s^ , s^) est 
équivalente å la fonction qui correspond å ce point. 

Théoréme II. Äu lieu de supposer cJiacune des fonctions f^^^i^ , y) de 
Vénoncé précédent monotrope et sans espace lacunaire å Vintérieur de (/^ ^ , y^^^ 
on peut supposer que chacune d'elles est le logarithme d'une fonction Va^i,{x.y) 
réguliére ä Vintérieur de (Z^^ ^ , ;*« 5) et telle qxien tout point [a\ V) intérieur 
ä {r^^b}Ta,b) ^^^ ^^^' équivahnte å fawipfiDl ^^^ revient ä supposer que 

v hiX 1/) 

le quotient °' , ' \ est régulier et différent de o au point a\ V. 

11 existe alors une fonction F{x , y) définie å un multlple prés de lin 
å Vintérieur de [s^ , s^ et équivalente en tout point intérieur d (5, , 5J å la 
fonction qui correspond ä ce point. 

Demonstration du théoréme I. Soit, en effet, a un point intérieur 
a Sj : si au point a j^adjoins le point b intérieur a s^ ou sur son périmétre, 
il correspond au point b d'aprés Ténoncé un cercle j^^^i, intérieur ä S^^ 
de centre b: d^aprés le lemme, il est alors possibte de subdiviser 8^ en 
regions JJ^ , -B, , . . . , J?„ en nombre fini n et assez petites pour que 
chacune d'elles Rp soit complétement intérieure au cercle j^^^^f de centre 
bp convenablement choisi dans s^ ou sur son périmétre; ä chaque point 
6p correspond de plus un cercle r^^i,, ^^ centre a et intérieur a S, ; ces 
cercles -T^^^ sont en nombre fini n comme les points i, ^ &,,... , ft^; je 



24 Pierre Coqsid. 

puis alors tracer un cercle Fl de centre a et intérieur ä tous les cercles 
concentriques l\t„] ^i sera nécessairement intérieur k S^. A chaque 
region B^j contenue ä Tintérieur de ^^^^^ correspond une fonction de 
rénoncé fa,b,{^ ^ v) définie k Tintérieur de {fl^b, j Ta,b,) et ä fortiori a Tin- 
térieur de (/'i , ;'a,6p); ^e plus^ si iJ^ et R^ sont deux regions contigués 
en tout point (a', b') intérieur a {Fl , j^^^f^) et a {F^ , ^-^ J les deux fonctions 
fa,b,{^ j //) 6* /a,6,(^ ) v) ^out équivaleutes comme étant, par hypothése, 
équivalentes en ce point a fa',b'{^ > ?/)• Des lors les n regions J?j , iJ, , ...,iJ^, 
et les n fonctions qui leur correspondent, /^ ^^^ (a; , y) , . . . , ^^^^ (a; , y) satisfont 
ä toutes les conditions sous lesquelles le théoréme fondamental est appli- 
cable. Il existe, d' apres ce théoréme, une fonction ^^^{x , y) monotrope 
et sans espace lacunaire, définie ä Tintérieur de {Fl , s^) et équivalente, 
en tout point (a", //') intérieur a la region oii elle est définie, ä la fonc- 
tion fa^b,{^ j y\ Vindice p étant convenablement choisi; mais au point 
(a", ft"), fa^b,{^ 1 y) est elle-méme équivalente ä fa'\b-'i:^'yy)\ V^^ ^uite ^a{^'jy) 
et fa",b"{^ , y) sont équivalentes au point (a", b"). 

Ainsi, a chaque point a intérieur a Äj, correspondent: un cercle PJ, 
intérieur a iSj, de centre a, et une fonction fa{^yy) définie a Tintérieur 
de {F\ , Äj) et qui, en tout point oii elle est définie, est équivalente a 
la fonction correspondant ä ce point d'aprés Ténoncé. 

On peut, d'aprés le lemtne, partager s^ en regions Tj , T^ , . . . , T^, 
en nombre fini m et assez petites pour que chacune d'elles T^ soit 
comprise ä Tintérieur du cercle r\^ de centre a^ convenablement choisi 
a Tintérieur de s^ ou sur son périmétre; a chacune des regions T^, con- 
tenue a Tintérieur de F]^^ correspond une fonction fa^ipc , y) définie ä 
Tintérieur de {F]^ , 's^ ; si Tp et T^ sont deux regions contiguös les deux 
fonctions f?a,(^ » y) et ^a^{x , y) sont équivalentes en tout point intérieur 
a la fois ä [F]^ , ä.^) et a {F\^ , s^, comme étant toutes les deux équi- 
valentes en ce point ä la fonction de Ténoncé qui lui correspond. Des 
lors, on peut appliquer le théoréme fondamental aux fonctions j^a,(^ > v) 
et Ton est conduit a la fonction F{x , y) définie a Tintérieur de (5j , 8^ 
qui satisfait aux conditions de Ténoncé; car en tout point («'", b'") in- 
térieur a (5j , 5j), F{Xjy) est équivalente a la fonction y>a,{^ 9 y)y l'indice 
p étant convenablement choisi, et fp^(rr,y) est équivalente elle-méme en 

ce point a fa',b"'{^ ^y)- 

Demonstration du théoréme II. Cette demonstration est analogue a 



26 Pierre Cousin. 

13. I/extension des théorémes précédents va étre doniiée pour le 
cas de n variables: le procédé de demonstration reste le méme; il me 
suflBra done d*indiquer les traits généraux de la demonstration. 

Les n variables sont désignées par rr,...,y,^,/,w;a,...,ft,c,tif,e, 
avec ou sans indices, représentent des valeurs attribuées respectivement 
a X ^ . . . y y y z yt y u, J'appelle point un ensemble de valeurs attribuées 
aux n variables ou å iine partie des n variables; j'appelle cercle, ayant 
pour centre un point donné, un ensemble de cercles ayant pour centres 
respectifs les dififérents elements composant le point et tracés sur les plans 
des variables correspondantes; dans ce systéme de notations lin cercle T 
de centre [a^ . ..^b, c , d ,é) peut étre considéré comme composé de deux 
cercles: i" ayant pour centre (a, ...,&, c, rf) et F'* ayant pour centre c; 
ou comme composé de F^ ayant pour centre (a, ...,&, c) et de I^, ayant 
pour centre (dyé); etc. 

Un cercle F est concentrique et intérieur au cercle j^y si F est 
composé de cercles, au sens ordinaire du mot, concentriques et intérieurs 
a ceux qui composent j'. 

Théoréme IV. Soient 5, , 5^ , . . . , 5„, n aires connexes ä contour fermé, 
simple ou complexe, prises sur les plans respectifs des n variables x , . . . , 
y j z , t , u et complétement intérietires respectivement aux aires S^, S^, ..,, S^ 
prises sur les mérnes plans. 

On suppose quå tout point {a^ ...,b yC , d^e) intérieur d (Sj , iS^ , ..., S^), 
correspondtnt: 

i^ un cercle I\^_^t,e,d,e ^^ centre {a j . . . y b , c y d ^ e) et intérieur ä 
(Sj , iSj , . . . , S„); 

2® ime fonction^des n variables, fa v.rf.e(^' •••>?/ j -2?, ^, «i) monotrope et 

sans espace lacunaire, définie å Vintérieur de F^ h,c,d.e ^^ l^^^^ Q^^ ^^ 

{a'y ..,yb'y c'yd\ e') cst un point intérieur a Ia,...,b,cAe '^^ deux fonctions 

fa.,...Ac,dA^y'"yyy^yiy^) ^^ fa',..„b;c,dA^ ^ - y V ^ ^ ^ ^ y^) ^^^^^^ équivalentes au 
point (a', . . . yb\ c\ d'y e'). 

Il existe une fonction F{x ,...,!/, ^ , f , «^), monotrope et sans espace 
lacunaire, définie d Vintérieur de (5j , 5^ , . . . , s„) et telle qu'en tout point 
{cLy ...yb yCydyC) intéricur ä {Sy , s^y .. . , s„)y elle soit équivalente å la fonction 
fa,...,b,e,d,e(:^ y ' " y y y ^ y t j ^) ?«^* coTrcspond ä cc point. 

Théoréme V. Au lieu de supposer, coinme dans Vénoncé précédent, 



28 Pierre Cousin. 

inent choisi, et pjir suite équivalente å la fonction ^.. ^^viv (^,...,f/,^?,<,w) 
correspondant d'aprés Ténoncé au point (a", . . . , ft", d\ d!\ c"). 

Ainsi a chaque point (a , . . . , ft , c , d) intérieur ä {S^ j S^ , . . . , 5^_,) 
correspondent: un cercle I'a,_^b,c,d,j ayant ce point pour centre et intérieur 

^ ('^i > ^a > • • • > '^n-]) ^^ ^^^ fonction j^^ 6,c,rf(^> • • • >y > -2?, ^, w) définie a l'in- 

térieur de {fZ...,b,c,d > ^n)? équivalente en tout point ou elle est définie a la 
fonction de Ténoncé qui correspond ä ce point. Je considére ra,_^b,c,d 
comme composé de deux cercles: Tun l^a,_^i„e,d de centre (a,...,ft,c) et 

Tautre yl ^^^ de centre d. On peut décomposer s„_.i en regions Tj, 

T^y...yT^'y en noinbre fini m', assez petites pour que chacune delles 
Tp soit intérieur au cercle ji,...,b,e,d, de centre d^ convenablement choisi 
dans 5„_, ou sur son périmétre; je trace le cercle r^^_^b,c de centre 
(a,...,&,c) et intérieur aux m' cercles concentriques ra,,„^i„e^d,j ^,...ac ^^^ 
forcément intérieur ä {S^ ^ S^, .. . . 5„_2); ä chaque region Tp correspond 
une fonction fra,...,^,,,^, définie a IMntérieur de (r^',...,^.^.^, , fa..,..b,c,d, , s„) et ä 
fortiori ä Tintérieur de {ri^,.,b,cy ra,...,b.e.d, ^ ^n); le théoréme fondamental, 
appliqué a ces fonctions, conduit a la fonction ^a,...Ac('^> •••>y> -^t ^> ^) 
définie a Tintérieur de (/«,...,«,,<.> ^n-i > ^«) équivalente en chaque point oii 

elle est définie a la fonction ^^ i,^^j^{Xy.. ypy^jty^), Tindice j? étant 

convenablement choisi, et équivalente aussi par suite h la fonction de 
Ténoncé correspondant au point considére. 

Des fonctions ^a,...Ac(^» •• • >y > -^^ ^> ^)> ^" conclura de la méine fayon, 
en décoinposant io,...Ac? ^n deux cercles ra,...,b,c de centre (a,...,fc) et 
T'l,..,b,c de centre c, Texistence d'une fonction /«,.... 6 (^> ••• >y> ^? '; ^0 définie 
a rintérieur de (^a... .6» ^n-2j ^«-i > ^;,); (^a,...,«» désignant un cercle intérieur ä 
(6^^ ,..., 5,,. 3) de ceivtre (a.., b), de rayon choisi assez petit) et telle qu'en 
tout point ou elle est définie, elle soit équivalente a la fonction de 
Ténoncc correspondant a ce point. En poursuivant ce raisonnement on 
parvient a une fonction F{:t ,...,?/, ;2? , ^ , w) définie a Tintérieur de 
(5, , ^2 , . . . , s^) et qui en chaque point ou elle est ainsi définie, est équi- 
valente a la fonction de Ténoncé correspondant a ce point. 

Demonstration du théoréme V. Elle est analogue a la précédente: 
la seule ditterence consiste en ce que les fonctions f(x, . . . , 1/ , z j t , u), 

^[Xj , y , ^ f t j u) y (p{x , . , . , y y z y t j u) ct F {x y . ..y y y Zy ty u) ne sont 

considérées conune déliiiies qu'a un niultiple prés de 2/;r. 



30 Pierre Cousin. 

De la résultc que les zéros de (t{x ^ . . , ^ y , z ^ t yU) förment dans le 
voisinage de Torigine une multiplicité a 2(h — i) paraniétres réels. 

Si a{;X , . . . , y y z j t , u) et (t{x ,...,?/, 2? ,/, w) sont deux series en- 
tieres en x j . , . , y , z ^ t , u s'annulant ä Torigine, deux cas peuvent se 
presenter: ou bien ces deux series adniettent un diviseur coinmun (au 
sens donné a ce mot paj* M. Weierstkass); leurs zéros communs förment 
alors, dans le voisinage de Torigine, une multiplicité a 2(n — i) para- 
métres réels; ou bien il ny a pas de diviseur commun; les zéros communs 
k (T iit a förment alors, dans le voisinage de Torigine, une multiplicité 
a 2 (fl — 2) paraniétres réels; dans ce dernier cas si le nombre des variables 
est w = 2, Vorigine est un zéro commun isolé. 

La fraction - , *''''- ' — 1—.1 — L est dite irréductible a Toricine si (t 

(t(x, . , , , y ,z y t , u) ° 

et a n^ont pas de diviseur commun, c'est-a-dire si leurs zéros förment 

une multiplicité a 2(w — 2) paramétres réels dans le voisinage de Torigine. 

W 
La fraction -^^ sera dite irréductible en un point (a, ...,&, c, rf, c) 

oii les fonctions TV et V sont réguliéres, si W et V étant développées 
suivant les puissances cntiéres de x — a y , . , , y — b j z — c j f — d ^ u — e, 

la fraction obtenue est irréductible au point (a, .. . , ft , c, rf, (!?), au sens 

W 
qui vient d'etre donné a ce mot; la fraction ^ ^^^*^^ irréductible ä Tin- 

térieur de {s^ , c^.^ , . . . , 5^), ou W et V sont supposées réguliéres, si elle 
est irréductible en tout point intérieur a [s^ , s^j . . . j s„)', ou bien, ce qui 
revient au inéme, si dans le voisinage de tout zéro commun a W et F 
intérieur ä (s, , .v^ » • • • > ^n) l^s zéros communs a W et V förment une 
multiplicité a'2(w — 2) dimensions; dans le cas de deux variables (w= 2), 
les zéros communs devront étre des points isolés. 

Voici une derniére propriété connue des fractions dont les deux 
termes sont des fonctions réguliéres; si W^ F, \\\ , F^ sont quatre fonc- 

, W W 

tions réguliéres dans une möme aire et si les deux fractions -y , -^^ sont 

toutes les deux irréductibles et égales entré elles a Tintérieur de cette 

V 
aire, le quotient - est régulier et difterent de o a Tintérieur de Taire 

considérée. 

1 6. Soit (P une toiiction des n variables complexes x , , .. ^ y , z ^ f ^u 



32 Pierre Cousin. 

tout point [a j .' , . j b , c , d e) iritérieur a {s^ ^s^y .. ,, s„)', par conséquent 
Ton a: 

= — , 

F' 

W et V étant réguliéres ä Tintérieur de (5, , Äj, , . . . , 5„). 

W 
La fraction ^ est irréductible a Tintérieur de (5j,...,5„); car on 

a dans le doinaine de tout point (a,..,,&,c,r/,e) int^rieur a (Sj ,5^, ...,ä^): 

V =z r 1 

^ * a,...,h,c,d,e • ''a,.. ,fr,e,<f,«9 

. w 

Åa b,e,d,e ^^ s'annulant pas au point (a ,...,&, c , rf, c), la fraction ^ est 

irréductible en ce point comme la fraction 'l^^^inub^:^ . 

'^^a,..,,b,c,d,e 

On a donc le théoréme suivant: 

Théoréme VII. Si une fonction O des ji tmriahles x j...jy ^z jtjUj 
n\idmet d Cintérieur de (S^ , 6'^ , . . . , 5„) que des singularités non essen- 

W 

tielles, elle est égale å Vintérieur de (5, , 5^ , . . . , ä„) ä la fraction -y dant 

les deux termes sont des fonctions réguliéres a VirAérieur de (^j , 5^ , . , . , s^ 
et qui est irréductible a Vintérieur de (5^ , 5, , . . . , s,), 

1 7. Dans les théoréines précédents, il a été constaminent supposé 
que (5j , Äj , . . . , 5„) étaient des aires connexes, limitées par des contours 
fennés, et, par conséquent, d'étendue finie; il a été supposé de plus que 
(5j , ^2 , . . . , 5„) étaient respectivenient intérieures a S^ ^ S^ , . . . , S^] de 
telle sorte que les périinétres de 5j , 5^ , . . . , s„ peuvent étre choisis aussi 
voisins que Ton veut des périmétres de /S, , 5^, .. . , iS„ mais non confondus 
avec eux. La suite du present travail a pour but de démontrer que 
tous les théorémes précédents subsistent lorsque 5, , .9^ , . . . , 5„ sont con- 
fondus avec iSj , /Sj, . . . , S„, ces derniéres aires étant limitées par des 
contours fermés ou non fermés, dont la nature sera précisée plus loin. 

Gette extension, dans le cas general, exigeant la demonstration de 
plusieurs ])ropositioris prcliininaires, fera Tobjot de la quatriénie partie. 



34 Pierre Cousin. 

ventions adoptées, nous dirons que ^\ ^', . . . , ^"* , . . . est une suite in- 
finie de cercles, tous intérieurs a y^ dont chacun est intérieur au suivant, 
et tels que f" ait pour Hmite y pour m augmentant indéfiniinent: cette 
derniére condition revient a dire que si (a , . . . , ft , c , rf , e) est un point 
quelconque intérieur ä ^, on peut choisir m assez grand pour que le point 
considéré soit a Tintérieur de f^. 

Le cercle f^ étant intérieur a /•, il existe, d'aprés le théoréme IV, 
une fonction monotrope et sans espace lacunaire, fp^, des variables a;, .. . , 
y y z , t j u, définie a Tintérieur de y"^ et équivalente en tout point intérieur 
a ^ ä la fonction de Ténoncé correspondant a ce point. Il est clair 
qu'on aura une autre fonction satisfaisant aux inénies conditions en re- 
tranchant de ^^ un polynöme quelconque entier en a;,...,y,^,^,w. 
A chaque cercle y"^ (m= 1,2,... + co) correspond ainsi une fonction jr^. 

Considérons la différence 



elle est réguliére en tout point intérieur a y**", car en un tel point f^^^i 
et ^„, sont équivalentes a une rnéine fonction; å^ peut donc étre considérée 
comme une serie entiére en rr,...,y,j8f,<,w convergente dans y^. 
J'appelle A^ la serie obtenue en rempla9ant dans d^ chaque terme par 
son module. 

Soit e, , £3 , . . . , e^ , . . . une suite indéfinie de nombres positifs dont 
la somme constitue une serie convergente. 

Je dis que les fonctions de la suite indéfinie: J^j , fj, , . . . , ^m> • • • 
peuvent étre choisies de telle sorte qu*a Tintérieur de f^~^ on ait: 

<« 

En effet, supposons que les /x — i premiéres fonctions: J^j? fg' •••> ^m 
satisfassent a la condition précédente; je vais montrer que ^^,^1 peut étre 
choisie de fa9on a y satisfaire également. 

Il existe en effet une fonction ^^^^ de x y . . , , y , z , t ^u monotrope 
et sans espace lacunaire définie a Tintérieur de f^'^^ et équivalente en 
tout point intérieur a y'"^^ a la fonction qui correspond a ce point dans 
Ténoncé. On devra prendre pour jr^^i une fonction équivalente a ^^^.^ 
ä rintérieur de y"^\ ot satisfaisant de plus a Tinégalité prescrite. 



3G Piorre Cuusiri. 

Des lors, cVaprés une propriété connue des series a double eiitrée, la 

;=.oo 

serie ^o„^^ pout étre ordonnée suivant les puissances entiéres et positives 

de X y . . , j 1/ , z , t , ic et conduit ainsi a une serie coiivergente dans f*. 
L'expression (i) définit donc une fonction bien détenninée a l*in- 
térieur de j^. Il reste a montrer que deux quelconques des expressions 
de F{x j . . , j y , z y t j u) fournissent bien la niéme fonction. Soit {/c étant 
un entier positif) les deux expressions: 



ra»» 



F{x , . . .,y ,z,t,ii) = jTp+i + Z <?p+ 



r=l 



et: 

F(X- ,...,1J,S,t,u) = fp + i + i + L d,^.t+r 



r<=yo 



r=l 



dont la premiére définit F{x , . . . j y , z , t j u) a Tintérieur de f* et la 
deuxiéme a Tintérieur de ;''"^*; elles définissent donc simultanément 
F{x f . . . j y y z y t , u) il rintérieur de ^''; pour vérifier que ces deux ex- 
pressions sont identiques, il suftit de se rappeler que: 



^r-¥r — Fp + r + 1 Pp-i-r' 



La fonction F{x , . . . , y j z , t , u) satisfait a toutes les conditions de 
rénoncé; car si {a ^ . . . ^ h , c , d , é) est un point intérieur k y, ce point 
est intérieur a ;-'', ;; étant choisi assez grand. La fonction est donc définie 
(lans le domaine du point {a j . . . j b , c , d , e) par: 



rs_ 00 



F{r , . ,, ,y , z ,t, u) -= ^^^+i + Z r?^, ^,, 



t B>1 



la serie du sccond menibre étant une fonction réguliére dans j^, 
F{:r y . . . , y , z , t y u) est équi valente au point (a , . . . , ^ , c , rf , e) ä jr^.^, et 

par suite a /;,...,ft,,,/,,(^ ,..-,//, ^ , ^ 'O- 

Demonstration du théoréme VIIL Cette demonstration est analogue 
ä la précédente: la seule difterence consiste en ce que les fonctions j^^, 
^'u+i ) ^X-^ >•••>//> ^ >' j w) ne sont considérées comme définies qu'a un 
multiple prés de 2/;r. Il n*en est pas de niéme des series d dont chacune 
Cs-it (léterminoc sans amhicrulié. C)n est^ en etfet, conduit a poser comme 



Sur les fonciions de n viiriables complexetJ. 37 

dans la demonstration précédente, les notntions conservant un sens ana- 
logue : 

^;*+i — f7 = C; 

chacune des déterniinations de ^^+, — ^^^ est réguliére dans j^; C^ dé- 
signera le développeinent en serie de Tiine quelconquc de ces déterniina- 
tions, clioisie arbitrairernent; on décompose ensuite C/- 

c = ^. + <?/. 

åf^ est ainsi définie sans aucune atnbigulté. 

19. Dans le cas du théoréme VIII, en posant: 

par un raisonnement déja fait, V{x , . . . , y j js , t y u) est une fonction ré- 
guliére dans j", ou si Ton veut, est une serie entiére en o:^ ,..., y ,;?,<, w 
convergente dans j-. D*oii le théoréme: 

Théoréme IX. Si ä chaque point (a ,...,&, c , rf , c) intérieur ä y 
correspondent: 

I® un ccrcle I\,„^t,e,d,e ^^ centre (a , . . . , ft , c , rf , e) *et intérieur ä y; 

2° uns fonction v^^„,^t,c,dA^ , . . . , y , ^ , / , w) réguliére dans ra^,„^t,c,d.e ^t 
telle que si {a', ...,&', c', rf', e') est un point intérieur ä -r'a,...Ac,J,c '^ quotient 

""" ''^'^''^'^ . ■ . . , y > g > ^ . n) ^^ .^ régulier et différent de o au point (a', ..., b\ c', rf', c'). 

11 existe une serie entiére en Xj ...jif, 0,t ,Uy F(a:, ...,y , ^?, /, w) con- 
vergente dans Y et telle que, en tout point (a , . . . , 6 , c , rf , e) intérieur ä y, 
le quotient c>c ,.-.,?/, g . , ^ ; — ^ ^^^.^ régulier et différent de o. 

Théoréme X. Si une fonction des n variables x , . , . , g , z y t , u 
nadmet ä V intérieur de y que des singularités non essentielles, elle est le 
quotient de deux series entiéres convérgentes dans y, et telles que la fraction 
obtenue soit irréductible dans y. 

Par une demonstration identique ä celle du paragraphe 16, oii Ton 
remplace (Sj , 6, , . . . , S„) et (5, , s, , . . . , 5„) tous les deux par y, on voit 
que est le cjuotient de deux fonctions réguliéres dans y^ et par suite 



38 Pierre Cousiri. 

le quoticnt de deux series entieres en x y tf y . . . ^ z , t , u convergentes 
dans j'. 

20. Supposons que les n cercles ^i > Ta' • • • > r«> 4^* composent /•, 
aierit tous des rayons infinis; le théoréine précédent devient le théoréme 
de M. PoiNCAKÉ: 

Si une fonction des n variables x j . . . , y y z y t , u nadmet ä di- 
stance finie que des singularités non essentielles, élle est le quotient de deux 
fonctions efitiéres de x , . . . y y y z , t y Uy telles que la f radion obtenue soit 
irréductible en tout point ä distance finie. 



IV. 

Oénéralisattan des théorémea précédents. 

21. J'ai indiqué précédemment le but de cette quatriéme partie. 
L'objet des propositions préliminaires que je vais établir est le suivant: 
je me suis servi dans la demonstration du théoréine VII d*une propriété 
bien connue: si une fonction f{Xy...yy,z,tyU) des n variables complexes 
X y . . . y y y z y t y ti cst réguliére a Tintérieur et sur le périmétre de » cercles 
tracés sur les plans respectifs des n variables, il existe un polynöme cntier 
X y . . . , y y z , t y u tel que sa dlfférence avec la fonction f{Xy "»^y, Zy fyu) 
ait, a rintérieur des n cercles, un module plus petit qu'un nombrc positif 
6 donné a Tavance. Il 8'agit d*étendrc cette proposition au cas oii, aux 
n cercles, on substitue n contours ferinés quelconques; si cb«ncun de ces 
n contours est a connexion simple, je montrerai que le polynome existe 
encore; si les contours sont a connexion multiplc, en general le polynome 
répondant a la question n'existe pus; mais on peut, au lieu du polynome, 
trouver une fonction rationnelle de a? , . . . , y , ^ , / , w satisfaisant a la 
condition précédente. 

J*entends par contour fermé simple, une ligne conhexe fermée, ne 
présentant aucune boucle; d'aprcs cela un contour feriué siiiipio pnrtage 



Sur led fonciions de ?i variables comploxes. 39 

tout le plan en deux aires connexes: Tune intérieure au contour, Tautre 
extérieure, la premiére d'étendue finie, la seconde d*étendue infinie. 

2 2. Je donnerai d'abord la demonstration sommaire des deux pro- 
positions suivantes. 

Soient F et /'' deux eercles tracés respectivement sur les plans des 
deux variables x et y, ayant pour centres les origines des eoordonnées et 
pour rayons R et R. 

I °. Si f{x y y) est une fonction des deux variables x et y régtdiére 
pour x intérieur ä F et i)our y extérieur ä F'; si, de plus, f{x , y) fend 
vers o pour y augmentant indéfinimetit, x conservant une valeur constante 
intérieure å F, la fonction f{x , y) est dévéloppahle suivant une serie entiére 

en X et - y ahsolument convergente pour x dans F et y extérieur a I^'; soit: 

f{x , y) = lAafiX^^y'^. (a-0,l,2,..., + ao, ^-l,3,..., + oD) 

J'exprimerai plus briévement les conditions auxquelles f{x , y) est 
supposée satisfaire dans cet énoncé, en disant qu'elle est réguliére pour 
X dans F et y extérieur a F' et qu*elle s'annule pour y = co. 

Le thcoréine a démontrer revient au suivant: si Ton pose: 

la fonction: f\X'^—T\ est réguliére pour {x ^ y*) intérieur ä {F , F'), Il 

ne peut y avoir de doute que pour la valeur y' = o. 

Je trace un cercle f concentrique a J" et de rayon p>l{'; comine 
f{Xjy) s'annule pour y = co, on aura pour x intérieur a 7' et y ex- 
térieur a f: 

rintégrale étant prise le long de f dans le sens direct. En rernplncnnt 
y par — r, il vient, pour x intérieur »ä /' et y' intérieur a un ecrcle y'^ 

concentrique a F' et de niyon p^ = — : 



40 Pierre Cousin. 






f 

\ V / ^t7Z~ 

on voit par cette expression que pour ?/'=o, n rr , — ;-] est réguliére: 

il ' 

le théoréme est ainsi démontré. 

2®. Si f(x , y) est réguliére pour x et y extérieurs a F et F' et si 
élle tend vers o />ö«r x augmetitant indéfiniment, y conservant une vaieur 
constante extérieure a P et pour y augmentant indéfhmnent, x conservant 
une valeur constante extérieure a F; f{x , y) est développahle en serie entiére 

en - et - absolument convergente a 1'extérieur de F et F\ et de la forme: 

X y 

frexprimerai plus briévement les conditions auxquelles satisfait par 
hypothése f{x , y) en disant qu'elle est réguliére pour {x , y) extérieur a 
[Fy F') et qu'elle sannule pour x = csD ainsi que pour y = co. 

P« TV 2 //i* H'*\ 

En posant: x== —r^ y = —r , le théoréme revient au suivaht: f[-^ , — r-) 

est réguliére pour {x', ?/) intérieur ä {Fy /"); on a, effet, pour x extérieur 
k F Qt y extérieur au cercle f concentrique a P et de rayon p> R': 



^ ' ^^ 2t7rJ z — y 



jj't 
ou, pour t/' intérieur a f^ concentrique a F' et de rayon — : 

r 

Y 

cela montre que flx,—r-] est réguliére pour x extérieur a F et y' in- 
térieur a F'; comme cette fonction s'annule pour a: = co, en vértu de i**, 
fl . , — -j sera réguliére pour {x\ y*) intérieur a (/\ /''). 



Sur les fonctioos de n variables compleze». 41 

23. Proposition I. Soient: 

C et C deux confours fermés simples tracés sur les plans des deux 
variables x et y; 

a et c deux points du plan de la variable x extérieurs a C; 

b et d deux points du plan de la variable y extérieurs a C; 

fix , y) une fonction de x et y qui est réguliere excepté pour les valefirs 
ir = a et y = b et qui sannule pour rr = co ainsi que pour y = 00; 

n existe un polumtne entier en , -. , q( , .] tel 

quen tout point {x , y) intérieur ä (c , &), on aU: 

mod.[f{x , y) - q(^ , ^)] < e. 
£ étant un nombre positif donné ä Vavance. 



a. et 





Sur le plan de la variable x je trace une ligne ac partant de a et 
aboutissant \\ r, tout ontiére extérieure au contour C\ ot sur le plan de 
la variable //, je trace d'une fa^on analogue la ligne bd extérieure nu 
contour C. Je marque sur la ligne r?c, en allant de a vers c, n points 
rtj , ff, , . . . , a„, et sur bd^ n points &i , ö, , . . . , ft„, en allant de b vers d. 
Je suppose n choisi assez grand et les points assez rapprochés pour que 
la oondition suivante soit remplie: dans les deux suites de points: a,a^, 
a^ , . . . , a^ y c et ft , ftj , 6, , . . . , ft^ , rf, la distance de deux points con- 
sécutifs quelconques est inférieure a une longueur R, plus petite elle-méme 
que les distances des lignes ac et C d'une part, M et C d*autre part; 
de telle sorte que les cercles de rayon R et de centres o^ , h^, laissent 
a leur extérieur les contours C et (/ et comprennent a leur intérieur 
respectivenient les points ri^_, et ft^,_i. Les cercles le rayon R ayant pour 

Aeta vuithrmatica. VK Iinprliué le 27 arril 18^»4. (5 



4& Pierre Consin. 

centres les points äj , a, , . . . , a,, , c et 6^ , 6^ , . . . , ft^ , rf seront désignés 
dans la demonstration simpleinent par leurs centres. 

Je considére les cercles a^ et h^ ; les points a et ft étant intérieurs 
a ces cercles, la fonction f{x , y) est développable en serie entiére en 

, 7- , absolument convergente ä 1'extérieur et sur le périmétre 

Ii' 1 

des cercles a^ et ftj. fPappelle PA , — —z-) le polynöme formé par 

les premiers termes de ce développement, pris en nonibre assez grand pour 
que, a Textérieur des cercles a^ et ft^, on ait: 

mod [««.„,)- P, (^-L^ , j^) ]< ;^ ; 

le polyn6me P^ ne renferme pas de lerme indépeiidant de ■ , j- . 

Les points a^ et b^ étant intérieurs aux cercles r/, et &,, Pj ( , —\ 

est développable en serie entiére en , r- absolument convergente 

X a, 1/ o, 

a Textérieur et sur le périmétre des cercles a^ et ft^; soit Pj , — --) 

le polynöme formé par les premiers termes du développement pris en 
nombre assez grand pour que Ton ait a Textérieur des cercles a^ et h^: 

L ^\x — a,'y — bj ^\« — «, y — ^/.J n+l 

En poursuivant ce raisonnement on obtient une suite de (w + i) 
polynömes satisfaisant aux (n + i) inégalités: 

mod f(x yv) — P, ( , T-) < —r- ^ Textérieur des cercles a, et />,, 

P. i , T ) — P« f , r ) < ~T^ ^ Textérieur de a^ et L, 



od 



mod rp„._,( — L_- , _L_) _ p(. «_ , _L_) 

mod PA , ;-) — Q( , 3) < — -- a rextérienr de c et d. 



< ä Textérieur de 

7/ -fl 

^n et ft,, 



44 Pierre Cousin. 

' I \ . I 

QAx — x^, ^ . j est un polynome enticr eii x et -, ce qui inontre 

que le point c peiit étre supposé rejeté a rinfini. 

Pour montrer que les deux poiiits c et d peuvent ctre rejetés a 
rinfini siuiultanémerit, je trace les eercles /' et /*' de eeiitres arbitraires 
*^o ^* Vo ^* enveloppant respectiveinent C et C"; je suppose c et d pris 

a distaiice finie mais cxtérieurs a i^ et i"; le polyn6me Q( , -\ 

est développable en serie entiére en x — x^, y — y^^ absolument con- 
vergente dans /', T' et sur leurs périmétres; soit Q,^[x — ^^'o ' ^ — ^o) ^^ 
polyn6rne fornié par Tensemble des premiers termes du développemcnt 
pris en nonibre assez grand: on aura pour {x j y) intérieur a (C, C"): 

mod lf{;x , y) — Q^{x — x, , y — yj] < 25; 

Q^ ctant un polyn6me entier en x et y^ on voit que c et rf peuvent étre 
rejetés tous deux a Tinfini. 

Proposition IL Soient: 

6\ et C[ deux contours fennés simples pris respedivement sur les plans 
des deux variables x et y; 

C et C deux contours fermés simples compUtement inférieurs respective- 
ment a G^ et C\; 

f(x , y) une fonctiofi des deux variables x et y réguliére en tout point 
intérieur å {C\ , C[); 

a un point extérieur a C\, a distance finie ou infinie; 

b un point extérieur a C\ a distance finie ou infinie; 

Il existe un polynome entier en , ; , (j( — , r ) tel 

^ *^ X — Cl y — 6^\^ — (*> y — 0/ 

quen tout point intérieur a {C , C), on ait: 



rnod[f{x,}i)-Q[-^^,^)] 



< £ 



e étant un nombre positif donné a Vavance. 



Je trace le contour fenné simple C, enveloppant C et enveloppé 



Sur le.s fonctions de n variablcs complezes. 



45 



par Cj ; et le contour fenné simple CJ cnveloppant 6" et enveloppc 
par 6\. Le théoréme de Caucuy donne pour (.r,y) intérieur a (C\,CJ): 



^ ^^^ 217: J z — y 



c. 



Je i)artage le contour dMiitcgration 6, en n parties consécutives 
/y, li^ j H^lij , li.jlJ^, . , , , B,,.,^ Ii„ , I>,Jii assez petites pour que chacune 





d'elleö BgB^^i soit comprisc a rintcrieur d*un ccrcle f^ laissant a son cx- 
térieur les contours C[ et C et par conséquent conipris entré ees deux 
contours. Je pose 

f(x j z)dz 



f-M . «) = 4 / ^ 






le ehemin d*intégration ctant B^B,^^^; cette fonction f,j{.c , !/) est réguliére 
pour X intérieur a C^ et pour y non situé sur B^B^^^] de plus elle 8'an- 
nule pour y = co. On a d Villeurs pour {x j y) intérieur a (6\ , CJ): 



(O 



/(a;,y) = Iflx.y). 



(7-1,5, ...,n) 



J'applique le théoréme de Cauciiv a la fonction f^{x , y) et au contour 
C\'y j'aurai pour x intérieur a C\ et y quelconque mais non situé sur B^B^^^: 



u^ ■ v) = 4/^ 



y)dz 

X 



C-t 



46 



Pierre Cousin. 



Je partage C^ en m parties A^A^yA^Å^y...jA^A^^i^\\^&^\xiii:h9iKiM\\Q 
d'elles ApAj,^x soit intérieure a un cerclo y^ laissant a son extérieur les 
contours C et 6\ et je pose: 



9PÅ^' »//; 2i7T I Z^X 



ty 



ApAp^i étant le chemin crintégratlon. La fonction 5r^,^(.r , y) est réguliére 
tant que x et v ne sont pas situés respectivenient sur A^A^^^ et B,^B^^^. 
De plus ^pqi:^' j !/) sannule pour ^ = co coinme fq{x y f/)y et sannule évi- 
demnient pour c =^ co. 

On a pour x intérieur ä C^ et y non situé sur B^B^^ii 



(2) 



/;(.r , //) = y^^,X.r. , //). 



(/'-1, 2 m) 



Les égalités (i) et (2) sont siniultancment vérifiées pour {x,!/) intérieur 
a (63, 63): on en conclut, pour (r , y) intérieur a {C^ , C^), régalité: 



f{x. , //) = 2'2'ff ,, {x , !/), 



(;»-=l,2, ..., »«; 7^ J,2, ...,«) 



Si fappelle a^, et ^^ les eentres respectifs des cercles ;-^ et ^^, la 
fonction jr^^/O*^ ' //)' rcguliére a Textérieur de ces cercles et 8'annulant pour 

0^ = CO ainsi que pour y = co est développable en serie entiére en 



X — a 



et 7- absolunient convergente a Textérieur et sur le périmétre de ces 

cercles. J'appelle I\A . - 



\l — K 



le polyn6me foruié par les premiers 



termes de ce développernent, pris en nombre assez grand pour que a 
Textérieur de y^ et fp et a fortiori a Tintérieur de (C, 6"), on ait: 



moå\^,,{x.,y)-P,,[--^^^,j^y 



< 



2mn 



[pour (x , y) intérieur a (C, C')\ 



' _ -v 

Or le polyn6mc fA , j-) qui n'a pas de terme indépendant 

de et — , n'a pas d^autre point singulier que x = Op extérieur 

a C et y = ft^ extérieur a C et de plus s'annule pour x ou y infini. 



Sur les fonctions de v variables complexes. 



47 



D^aprés la proposition I, il existe un polynånie entier en et — —7 , 

'*\.p — a II — b! * 

mod f PJ--^ ' ^ ) — QvÅ -^ ' -^) I < . ' [P^"^ ^•'^ > y) »"térieiir a 



YjH additionnant cette inégalitc avec la précédente, il vient: 



mod 



f^..Cr.?/)-C^.,(^,^) 



< 



mil 



[pour (pr , y) intérieur a (^^',6*')] 



JMmagine écrites leR mn inégalités analogues a la précédente obtenues 
en faisant ;j = i , 2 , . . . , »?, r/ = i , . . . , ;;; elles donnent, en remar- 
quant que: 

Ilif^^ix , y) = f{;x , y) (/.--1.2 m; v -1,9, ...,«) 

et que 7 2l4?;>^(- _j- ^ — /) est un polynöme entier en 

it r^-i-,-— ,): 

\x — a y — b/ 



j.-.a ' y — b' 



soit 



mod 



f{^ j y) — ^(^^-ITT; ' 737;) J "^ ^ Cp^"^ (^ ' ^^ intérieur a (C, C')]. 



Cest le théoréme enoncé. 

Si a et /> sont tous deux a Tinfini, on aura au lieu de 0( - , — r) 

\x -il ij-bj 

un polynåme entier en x et y. 

Proposition ID. Soienf: 

C et C deux contours fermés simples tracés sur les plans des deux 
variables x et y; 

a et c deux points du plan de la variahle x extérieurs å C; 

h et d deux points du plan de la rariable y intérieurs a C: 

f{x , y) une fonction des deux variables x et y, réyuliere en tout point 
excepté pour les raleurs x = a et y =-^ h et s'annulant pour x infini ainsi 
que pour y infini: 



48 



Pierre Consin. 



Il exisfe un polynome entier en ef 5, öf . 3) td 

^ ^ X — <• ;/ — d ^\x — c 1/ — (f/ 

que en frmt point {r , y) intérieur a (J et extérienr a C, on nit: 



mod 



A-'-'/)-'?(^'.r^)l<-' 



e éfanf un nombre posifif donnv a Varrmre. 





Jc trace une ligne ac partant de a et aboutissant a c, extérieiire a 
C; et d'nne facon analogue une ligne bd intérieure a C. Pour le reste, 
la demonstration est identique a celle de la proposition I. Le point c 
pent étre rejeté a Tinfini. 

Proposition IV. Soiefit: 

Cl et C\ deux contours fermés simples tracés respeciivement sur les plans 
des deux vanables x et y; 

C un contour fermé simple intérieur å 6\; 

C un contour fermé simple envéloppant C\; 

f[x , //) une fonction des deux variahles x et y réffulirre pour x intvrieur 
i) (\ et y extcrieur a C[ et qui sannule pour y = co; 

a un point du plan de la variahle x extérieur a (\y a distance finie 
on in finie; 

h un point du plan de la variahle y intérieur a C[; 

Il existe un polymme entier en , r , Oi , r) tel que 

^ ' X — fl // — h \.r, — (I ij — h' ^ 

en tout point {x , y) intérieur a C et extérieur a C, mi ait: 

mod [/^(.r , //) - <;;(^ , -^;;) I < s 



s étant un nombre positif donné d I avavce. 



Sur les fouctions de n yariablcs coniplexcs. 



49 



eJe tracc le coiitour fermé simple C'^ enveloppant C[ et enveloppé 
par C; on a, en remarquant que f{Xjy) 8'annule pour y = co: 

I I fix z)åfZ * 

f{^j!/) = I ~^~"^ — pour ^ intérieur a 6\ et y extérieur a CJ, 



er. 



1'intégrale est prise le long de C^ dans le sens direct. Pour la suite, la 
demonstration est identique a celle de la proposition II. 



•a 





25. Les deux propositions sui vantes se demon trent encore comme 
les préeédentes. 

Proposition V. Soient: 

C et C deux contours fermés simples tracés respectivement sur les plans 
des deux variahlcs x et y; 

a et c deux points du plan de la variahle x Intérieurs a C; 

b et d deux points du plan de la variahle y intérieurs å C; 

f{x y y) une fonction réguliére excepté pour les valeurs x = a et y = b, 
et qui s'anmde pour a? = cx) ainsi que pour y = oo; 

Il existe un polynöme entier en , , Q( ; , ) tel que 

en tout point {x , y) extérieur a (C , 6") oyi att: 

mod [f{x , y) - g(^ . -'—^ ] < . , 

£ étant un nomhre positif donné å Tavance, 

Aetn mathematiea. 19. Imprlmé Ic I mai 1831. 7 



i 



50 Pierre Cousin. 

Proposition VI. Soient: 

Cy et C[ deux contours fermés simples tracés sur les plans respectifs des 
variahles x et y; 

C et C deux eontmirs fermés simples enveloppant chacun des deux pré- 
cédents; 

a et b deux points intérieurs respective^nent ä C, et C[; 

f{x , y) une fonction des deux variahles x et y réguUére pour {x , y) 
extérieur a {C\ , C[) et sanmdant j^our o? = co aitisi que pour y = csd: 

Il exisfe un pohnwmc entier en , r , Ql , r ) tel que 

^ ' X — a y — b \jr — a y — bj 

en tout point [x , y) extérieur ä [C j C), on ait: 

s étant un nomhre positif donné å Vavance. 

26. Voici quelques notations employées dans Ténoncé et la de- 
monstration de la proposition sui vante: 

S désigne une aire connexe prise sur le plan de la variable x et 
liinitée par n + i contours fermés simples C^ , Cj , C^ , . . . , C„, dont le 
premier C'^ enveloppe S et chacun des n autres est enveloppé par S; 

C\ désigne un contour fermé simple enveloppant C^; 

Cl désigne un contour fermé simple enveloppant CJ; 

(7p (^ = I , 2 , . . . , n) désigne un contour fermc simple enveloppé 
par 6p, et CJ désigne un contour fermé simple enveloppé par CJ; 5, dé- 
signe Taire limitée par les (n + O contours CJ , 6^} , CJ , . . . , Cl) et S^ 
Taire limitée par les (w + i) contours CJ , CJ , . . . , 6^; de cette sorte S 
est complétement intérieure ä S^^ et S^ elle-méme complétement inté- 
rieure \i 8^. 

Les notations S', Q, C;, . . . , C; ; S; , 6^, CJ', . . . , 6^' ; ÄJ, C^, ... , C^.', 
ont une signification analogue relativement au plan de la variable y. 

Proposition VII. Soient: 

^0 > ^1 ? ^2 j '• • • > ^nj (^ + O points du plan de la variable x dont le 
premier a^ est extérieur å Cl; et dont rharun des n autres a^ (^> = i , 2, . ., n) 
est intérieur au contour (':; 



52 Pierre Cousiri. 

fl'applique a nouveau le théoréiiie de Cauchy a la fonction <f^{x^y)^ 
(y = o , 1,2,..., m) et au périinétre de Taire S^ du plan de la variable 
x\ on aura pour x intérieur a S^ et y uon situé sur C\': 

^"i^ '^^^ 2in } z — x ' 2^T / z — x ' ' 2i;r / ;? — iC 

t'' t' t/ 

ci c; (i 

le sens des integrations étant direct pour Cl et indirect pour Ics w con- 
tours C'} , . . . , Cl. 
Je pose: 



f.r , v) = -r- / ^-^-^--- -^^ ; (/>«=o, 1,2, ....«) 






de telle sorte que pour x intérieur k S^ et y non situé sur 6'^', on aura: 

(2) ^^{x , y) = 2'^,,,(.r , //). (p-0,1,2 „) 

Considérons la fonction (ppq{^ j y)] son expression: 



<""(- . ») = a,/"^f 



montre qu^elle est réguliére dans toute Tétendue des deux plans des va- 
riables x ot y en exceptant la coupure 6^ du plan de la variable x et 
la coupure Cy du plan de la variable y, (coupure qu^admet la fonction 
^g(^ j y) elle-méine); de plus (ppq{x j y) s'annule pour rr = co et s'annule 
aussi pour y = co conime la fonction ^q{z y y). 

Comparons les égalités (i) et (2) qui ont lieu simultanément pour 
{x , y) intérieur ä (>S\ , S\); il vient: 

(3) f{^ j !/) = ^^4^pq{^' f ii) (;'=o,i,2,....m; 7=0,1, ^,...,«») 

pour {x,y) intérieur a {Si,S[) et «a fortiori pour (.r,y) intérieur a (S, S*). 

On obtient ainsi pour f{x , y), a Tintérieur de (S, S') une expression 
qui est la somme de (w?+i)(w+i) fonctions ^^^(.r, y), (jp = 0, i , 2,..., w; 
g = o, I , 2 , ..., m); je classe ces fonctions en quatre groupes: 

I*' la fonction ^oq{^ j y) qui ne cesse d'étre réguliére que sur les 



Sur les fonctioDS de n variablos comploxcs. 53 

coupures Cl et Ci'; elle est en particulier régiiliére pour {Xjif) intérieur 
^ (C'i,6'i'); eomme le contour (Cq , OJ) est intérieur a (Ci , OJ'), il existe 

(proposition II) un polynome Q^^ entier en , ~ tel que ä Tin- 

térieur de (Cq^ Cq) et a fortiori a rintcrieur de (S, S'), on ait: 

(4) mod [<p,,{x , y) - <^„ J < — ---i__- [ä Tintérieur de {S, S)\; 

2° Ic second groupe est coniposé des m fonctions ^oq{x,y) (g'=i,2,...,/w); 
chacune de ces fonctions 4^Qq{pOjy) est réguliére pour x intérieur a OJ et 
y extérieur a C\' et s'annule pour y = co; il existe (proposition lY) un 

polynome Q^^ entier en , ~ tel que pour x intérieur a O^ et 

y extérieur a 0^, et a fortiori pour {x^y) intérieur a {S , S) on ait: 
{q = I , 2 , . . . , m) 

(5) mod [<Po,{x , y) — Q^,] < (^ ^ ^^^.^^ ^ ^^ pour {x , y) intérieur a (S, S'); 

3® le troisiéme groupe, analogue au précédent, est coinposé des n 
fonctions (pj,o{^ ^ v) (l^ = i > 2 , . . . , n); chacune de ces fonctions <p^{x , y) 
est réguliére pour x extérieur a OJ et y intérieur a OJ' et s^annule pour 

OJ = CO; il existe un polynome ^^o entier en et — tel que 

Ton ait: (2? = i , 2 , . . . , w) 

(6) mod [^^0 (^ , 2/) — Qpo] < (,, ^ ixw + ö P^^^ ^^ ' ^^ intérieur a (5 , S'); 

4? les mn fonctions ^pq{x , y) (i> = i , 2 , . . . , n ; (7 = i , 2 , . . . , m) dont 
chacune (ppq{x^y) est réguliére pour (a;,//) extérieur a (0^ , OJ') et s'annule 
pour o; = CO ainsi que pour y=co; il existe (proposition VI) un poly- 
nome Qp^ entier en , .- tel que a Textérieur de {C^jC'^) et a 

X cip y Uq 

fortiori a Tintérieur de {S, S'), on ait: {p = i , 2 , . . . , w ; g = 1,2,..., m) 

(7) mod [^„ {x , >/) — <;>„] < (^^'^ ,)(„^^ , j pour (^ , f/) intérieur a {S , S"). 
J'imagine écrites les (m -}- i)(m + i) inégalités analogues a (4), (5^ (6) 



54 Pierre Cousin. 



ét (7): elles sont simultanément vérifiées pour (.t',//) intérieur a (»S, »S'); 
je les additionnc en remarquant que 1'lVpg {p =^ o, i , 2, ..., w ; y = o, 1,2, ..., m) 

. , , .. II III 
est un polynome entier en , — — ,...,- - , :- , . . . . , 

^ -^ X — a^ X — </, X -- (In v — b^ V ~b^ 

,- , soit: Oi j • • • > <. ,— ,..., T- ) et que, a Vintérieur 

de (S, y), on a, dVprés Tégalité (3): 

/('^* > //) =^ ^^4^i>q^^ » //)• (;'-0.1,2,...,»;7-0,I,? m 

Il vient: 



ino 



J[r(:^.//) ^*^(:..-./., _a/---\..r,,„' ;,3,;^'^ 



<s 



a Tintérieur de (*S, S'). Cest le théoréme énoncé. 

27. Aux propositions préliniinaires qui viennent d'étre démontrées, 
j*ajouterai la suivante, qui est connue. 

Proposition VIII. Soient: 

S et S' deux aires connexes prises sur les plans respedifs des deux 
variahles x et y; 

Sj , e^ , . . . , e„j , . . . une suite indéfinie de nomhres positifs formant une 
serie convergente; 

fi{Xyy) , /g (:r, //),... , /i„(:c,//) , . . . une suite indéfinie de fondions toutes 

régiditres a Vintérieur de {S,S') et telles que, en tout point {x,y) intérieur 

å (S, iS^), on ait: 

mod [f^{x , //)] < s„,. (m=i,-2,...,«) 

Si Von pose: 

0{x , //) = 2'/;. (o; , y) (,n-.i.'^. ...,*> 

la fondion ^{x ^ y) est réguliére å V intérieur de (S, S'). 

28. Avant de démontrer le théoréme qui est Tobjet de cette qua- 
triéme partie, il importe de préciser la nature des contours auxquels il 
8'applique et d'indiquer a leur sujet quelques remarques. 

Soit S une aire connexe qui a pour périmétre une ligne fermée 
connexc i; je suppose d'abord que S soit intérieure k L; L peut pre- 
senter des boucles, et peut par conséquent ne pas ctre un contour fermé 



^ Sur lea fonctions de n variables coQiplexcs. 55 

simple; mais je suppose quQ L puisse étre considérée comme la limite 
d'une suite indéfinie de contours ferinés simples C^ , G^ , . . . , C„ , . . . tous 
intérieurs a i et dont chacun enveloppe le précédent; j^entends par la, 
d*une fa^on precise, que si A est un point quelconque intérieur k S ou 
peut choisir vi assez grand pour que A soit intérieur a C^. 

De méme si S est Taire extérieurje a L, je supposerai que L peut 
étre considérée comme la limite d'une suite indéfinie de contours fermés 
simples C^ , 0^ , . . . , C^ , . . . enveloppant tous L et dont chacun est en- 
veloppe par le précédent. Dans ces conditions L peut étre supposée se 
réduire ä une ligne non fermée, sans boucle, AB, limitée aux points A 
et B et qui est alors considérée comme un contour fermé indéfiniment 
aplati; Taire S extérieure a L comprend dans ce cas tout le plan å Tex- 
clusion des points situés sur AB. D'une fa9on analogue L pourra étre 
supposée se réduire ä un seul point A ; Taire S comprend alors tout le 
plan ä Texclusion du point A, 

Les considérations précédentes s'étendent sans difFiculté a une aire 
a connexion multiple; soit, en efifet, S une aire connexe dont le péri- 
métre est coniposé de (w + O lignes fermées connexes L^ , L^ , . . . , L^, 
dont la premiére L^ enveloppe S et dont chacune des n autres est en- 
veloppée par S; chacune des n lignes L^ , L^ , . . . , L„ peut étre supposée 
réduite a une ligne AB ou a un point unique A, comme il vient d^étre 
expliqué. Je trace le contour fermé simple C^ intérieur ä L^ et en- 
veloppant les n lignes Xj , X^ , . . . , jL„ , et je trace n contours fermés 
simples 6^ , C^ , . . . , C^ dont chacun enveloppe Tune des lignes L^ , L^, 
. . . , 7y„ et laisse a son extérieur tous les autres contours et lignes tracés. 
J'appelle Sp Taire qui a pour périmétre 6^ , 6^ , . . . , C^. On suppose 
que S puisse étre considérée comme la limite d'une suite indéfinie d*aires 
S, , Sj , . . . , Sp , . . . dont chacune S^ est limitée par (w + O contours 
fermés simples comme il vient d*étre indiqué et dont chacune est compléte- 
ment intérieure a la sui vante; de telle sorte que si A est un point quel- 
conque intérieur a S, il sera aussi intérieur a ifp si jp est choisi assez 
grand. 

La ligne L^ a été supposée fermée; on pourra supposer qu'elle n'est 
pas une ligne fermée pourvu qu^elle puisse étre considérée comme la 
limite d'une suite de contours fermés simples au sens qui a été donné 
a cette expression. Par exemple, L^ pourrait étre un cercle de rayon 



56 Pierre Cousid. * 

infini, ou bien encore une hyperbole, en supposaiit S extérieure a cette 
hyperbole. 

Dans les théorémes suivants *S désigne une aire du plan de la va- 
riable x liinitée par (w + i) lignes L^ ^ L^ , L^ . . . . , L„ satisfaisant aux 
conditions précédentes et S désigne une aire du plan de la variable y 
liinitée d'une fa^on analogue par les (w + i) lignes ij , LJ , . . . , L'^. 

Théoréme XI. On suppose quä chaque polnt {a , h) intérieur ä (S, S') 
correspondent: 

1° deux cercles: F^ de centre a et y^i, de centre h, respecHvement in- 
térieur s ä S et S; 

2° une fonction fab{x , y) des deux variahles x et y monotrope et sans 
espace lacunairey définie ä V intérieur de {V^ , y^^ et telle que si {a' b') est 
un point intérieur ä {F^i, , j'J) la fonction fai,{x , y) soit équivalente au point 
(a'; h') ä la fonction fa'b'{^ , y). 

11 existe une fonction F(x , y) (fe x et y monotrope et sans espace la- 
cunaire, définie å Vintérieur de {S , S') et équivalente en tout point (a , b) 
intérieur a {S , S') a la fonction ff^i{x , //) correspondant ä ce point. 

Théoréme XII. Au lieu de supposer que chacune des fonctions f^[x j y) 
de Vénoncé précédent est monotrope et sans espace lacunaire, on peut supposer 
que chacune d'elles fai,{x , y) est. h logarithme d\ine fonction v„i,{x-,y) réguliére 
(i Vintérieur de {1'abyTab) ^^ ^^^'^ 3'^^ ^* (^'> ^') ^^^ '^^^ ji^om^ intérieur ä 

{Fal, fah) '^ quotient ^"^ ' soit régulier et différent de o au point (a', V). 

11 existe alors une fonction F{x , y) définie ä V intérieur de {S j S') a 
un multiple prés de lirr et équivalente en tout point {a, b) intérieur ä (S, S') 
ä la fonction f„i,(x , y). 

Demonstration du théoréme XI. Soit: S^ , S,^ , . . . , Sp , . . . la suite 
indéfinie d'aires ayant pour limite S et dont chacMine est composée d'aprés 
les indications du précédent paragmplie, et soit S[ , Ä?^ > • • • > Sp > • • • 1^ 
suite analogue ayant pour limite S'. 

Chacune des aires (/Sp , S,') (jp = i , 2 , . . . , oo) étant intérieure a 
(S , /S*), il existe (théoréme I) une fonction de x et y monotrope et sans 
espace lacunaire, définie a Tintérieur de (>Sp , S^) et équivalente en tout 
point intérieur a {S^, j S'j,) a la fonction de Ténoncc correspondant a ce 
point. Il est clair que Ton obtiendra une nouvelle fonction satisfaisant 



58 



Pierre Cousin 



limitées, la prcmiére par (w+ i) contours fermés simples C^,..,,^^..,,..., C/;;., 
et la seconde par (m + O contours simples C^lj, C^Li , ..., fv'r, les points 
a^ et b^ sont extérieurs respectivement a C^, et C]J'; {S^^i , S'^^_,^) est in- 
térieure a {S,, , S',,) et la fonction C* est réguliére a Tintérieur de (N„ , S^). 

Il existe alors (proposition VII) un polynAme P entier en - — , 



X — a. 



X — a-, 

on ait: 



X — Qn y 



1 • 



y 



'm 



tel que, a Tintérieur de (Ä^,_, , ^',k-^^ 



Je pose: 



mod (C, — F) < £,,. 



jr,,+i = ^v+i — P 



Comme V est une fonction réguliére a Vintérieur de (Ä, S) et a fortiori 
a Tintérieur de (S,^|.i, Ä,'»^,) la fonction fr,,^, ost équivalente a ^^,+, a Tin- 
térieur de (S,^^, , aS'^^,). 

L'égalité (i) devient: 

fV+i — T/. = C — i' 



avec: 



et en posant: 



mod (C, -7" ^0 < fu a rintérieur de (S„_, , *S;,_,) 



C - /^ -= ^^ 



•» 



j aurai : 



avec: 



f/*+i — f^/* = ^^ 



mod^,) < f„ a rintérieur de (S,,_., , S^_i). 



On a ainsi déterminé la fonction jr.,^, satisfaisant aux coiiditions 
requises. On dé^termincra de memc de proche en proche la suite indéfinie 
de fonctions cr,,^.» , (f,^.\'^ , . . . . 

Je définis une fonction F[r , //) a Tintérieur de (*S , S^) par la con- 
dition suivante: on a, a rintérieur de (S,, , »SJ,) (/> = 2 , 3 , . . . , 00) 



/•Cl ae 



(3) 



l''[.r , ji) = <r,,+, + T f)^.+, 



r=l 



Sur Ics functious de n variablcH cuojploxcs. . 50 

On a ainsi une infiriité d'expressions de la fonction F{x , //); il faut 
montrer que chacune d^elles a un sens bien déterininc et que toutes dé- 
finissent la méme fonction. 

La serie du second niembre de (3) est une fonction réguliére de x 
Qt y k Tintérieur de (S'^ , iS^); car on a, a Tintérieur de {S^,, iy,), la suite 
indéiinie d'inégalités: 

La suite des c^+,. étant une serie convergente, il en résulte (proposition 
VIII) que la serie: 



r= X 



#•»»1 



est une fonction réguliére de o; et y a Tintérieur de {S^ , S'^) conime 
cliacun des ternies qui la composent. 

L^expression (3) a donc un sens bien déterniiné; il reste a montrer 
que deux quelconques des expressions de F{x , //) fournissent la méme 
fonction. Soit {k étant un entier positif) les deux expressions: 



r— » 



i'\e,i/) = f,,^.. + 2:^;;,+ 



r«l 



et 

r=.tc 






elles définissent F{x^y) respectivement a Tintérieur de (*S,, , S'^) et (aS^,^.|, '*S'f-i) ' 
elles définissent donc simultanément F{x , y) a Tintérieur de (*S^, , S'^)\ pour 
vérifier qu'elles donnent la méme fonction il suffit de se rappeler que: 

La fonction F(x , y) satisfait aux conditions de Ténoncé. Car si {a , b) 
est un point quelconque intérieur a (N, S). on peut prendre jj assez grand 
pour que (a , h) soit intérieur a {Sp , S]) ; des lors F{x , //) est définie 
dans le domaine de (a , h) par Tégalité: 



# =3 >- 



iV,y) = <f,.^v + ,?,«;.+.•• 



60 Pienc Cousin. 

La serie du secoiid iiieiiibre est une fonction réguliére au point {a, b)] 
don€, en ce poiut, F{x , //) est équivalente a fr^,^, et par suite a la fonction 
f'ab{^ , !/) de rénoncé. 

Demonstration du théoréme XII. El le est analogue ä la précédente 
avec cette difterence que les fonctions F{.r , //), f^ , ^ ne sont définies 
qua un multiple prés de 2/V; il n'en est pas de méme des fonctions å 
dont chacunc est dcfinie sans arnbiguUté. On sera en effet conduit comme 
pour la demonstration précédente ä poser: 

<^^+i —¥^ = C- 

On prendra pour Ct lune quelconque des déterminations de la dilTérence 
(/',tn — f^„; cliacune de ces détenninations est une fonction réguliére dans 
{^n ^ ^:t)j Ig polynöine F se déterniine comme préccdemnient et Ton pose: 

d,^ est ainsi définie sans ambiguKté. 

29. Du tliéoréme précédent on déduit les deux suivants par un 
mode de raisonnement déja donné. 

Théoréme XIII. // existe une fonction' V{x , y) réguliére en tout point 

[a , b) intérieur a {S , S') et telJe que le quotient y(' * \ soit réyulier et 

différent de o au point [a , b). 

Théoréme XIV. Si une fonction {x , y) nadmet ä Yintérieur de {S, S^) 
que des singularités non essentielles, elle est le quotient de deux fonctions W 
et V réguUéres a Vintérietir de {S , S') et telles que la fonction obtenue est 
irréductible ä Vintérieur de {S , S'). 

Il est a reuiarquer que dans Ténoncé précédent aucune hypothése 
n'e8t faite sur la nature des singularités que peut admettre (P'{x,y) sur 
le périmétre de (S, S'); ce périmotre peut étre une ligne de points sin- 
guliers essenticls pour la fonction 0{x , y). 

30. Je signale un cas particulier du théoréme précédent pour montrer 
qn excmple de Tapplication qiron peut en faire. 



Sur los fouctiuud de n variablcs complcxcs. 61 

iJoient C et C deux contours ferinés simples pris respectivement sur 
les plans des dciix variables x et /y; AB une ligne sans boucle intérieure 
a C et limitée aux points A et U; uVB' une ligne analogue intérieure 





a C; soit 0{x , //) une fonction de x et // qui n'adnict a Tintérieur de 
C et C que des singularités non essentielles; excepté sur les lignes 
AB , A'B' (jui peuvent étre des lignes de points singuliers essentiels. En 
considérant AB et A'B' coinnie des contours ferniés indéfiniment aplatis, 
le théoreme précédent, appliqué a ect exemple, niontre que (^(:C , //) est 
le quotient de deux fonctions réguliéres ä Tintérieur de C et C, sauf sur 
les lignes AB et A'B\ 

31. Je me suis borné dans cette quatriéme partie, pour éviter des 
coniplications de notations qui m'ont paru inutiles, a considérer le cas 
de deux variables complexes. Les mémes demonstrations s'étendent sans 
aucune difficulté au cas de n variables complexes. 

Caen, le 28 octobre 1893. 



* 



63 



Ober die doppelcurve auf den geradlinigen flåchen 

VON 

A. WIMAN 

In LUND. 

I. Auf einer Regelfläche existirt bekanntlich stets eine Doppelcurve, 
welche jeder Erzeugeuden in w — 2 Punkten begognet. Andere besonders 
auftallenden Gebilde auf der FlJiche sind die Torsalen, d. h. Erzeugenden, 
welche von einer benachbarten getroffen werden; die Ebene dieser Linien 
bertihrt längs der ganzen Torsale, und ihr Schnittpunkt, der Torsal- öder 
Cuspidalpunkt, ist gemeinsamer Bertihrungspunkt jeder anderen Ebene 
durch die Torsale. 

Bei der Untersuchunor der Regelfiftchen hat man sich nun besonders 
mit der Doppelcurve und den Torsalen beschäftigt. ' Ich habe in meiner 
Gradualdissertation gczeigt, wie diese Aufgabe, wenn die Fläche zu eineui 
Tetraedralcomplexe (öder noch besser zu einem Abarte diescs Complexes) 



* So ist die Theorie der Regelflächen 4. Grades von Chasi^ Cayley, Schwarz, 
Gremona and Rohn behandelt worden. Vgl. auch SalmonFikdler, Atialytisehe Oeometiie 
des RaumeSy 2. Theil, 3. Auflage, S. 430, und Sturm, Die Oebilde i. und 2, Graden der 
Liniengeonietrie in synthetisckei' Behaiidlung, l. Theil (Leipzig 1892), S. 52. Eine Ein- 
theilung der Regelflächen 5* Grades nacli der Natur der Doppelcurve hat Schwarz gcgcbcn, 
(C reliefs Journal, Bd. 6^). Dieselbo Aufgabe bczUglich den Regelflächen 6. Grades 
haben dann Bergstedt {Om regelytor af 6. graden ^ Diss., Lund 1886) und Fink {I 'ber 
windschiefe Fläcken im Allgemeinen und ins besondere ilber aolche 6. Orades, Diss. Aus 
dem Correspondenzblatt flir die Gelehrten und Realschulen WUrtembergs 1 887) angegriffen; 
doch mit wenig Erfolg, cs seien denn die IrrthUmcr des Letzterwtthnten. Die vollständige 
Lösung habe ich in meiner im Texte besprochenen Arbeit {Klassifikaiion af regelytorna af 
6, graden. Lund 1892) gcgeben, deren Ergebnisse nächstcns in diesen Acta dargelcgt 
werden sol len. 

Äeta mathsmatiea. 19. Iiupriiué le 3 décembre 1891. 



64 , A. Wiman. 

gehört, uuf die Untersuchung einer viel einfacheren Curve in Bezug auf 
einen Tetraedralcomplex (öder Abart desselben) reduclrt werden känn. 
Diese Methode lässt sich för alle Kegelflächen 6. Grades durchffthren, 
weil der genannte Complex durch 13 Geradcn gelegt werden känn, und 
somit jede R^ zu einer (wohl im Allgemeinen endlichen) Zahl von Te- 
traedralcomplexen gehört. 

In der vorliegenden Abhandlung will ich aber Bedingungen ent- 
wickeln, denen die Doppelcurve einer Regelflriche beliebigen Grades ge- 
ntigen muss. Die so erhaltenen inöglichen Arten der Doppelcurve auf 
einer B^ kommen sJlmmtlich vor, wie ich in der citirten Arbeit erwiesen 
habe. Somit lässt sich schliessen, dass man auch filr die Regelflächen 
höheren Grades eine ziemlich giite Begrenzung der Möglichkeit^n erhalten. 

2. Zu diesem Zwccke suche ich zuer$t mittelst der Theorie der 
reciproken Flachen allgemeine Formeln fQr die Zahl f^ der dreifachcn 
Punkte einer RegelflUche sowie fQr dus Geschlecht P ihrer Doppelcurve 
zu entwickéln. ^ Es seien: 

n Grad (Ordnung und KInsse zugleich) der FUVche. 

a Ordnung des Tangentenkegels von eincm Punkte an die Flache 
öder Klasse eines Querschnitts der Fläche. 

d Zahl der Doppelkanten des Kegels öder der Doppeltangenten des 
Querschnitts. 

X Zahl der Rttckkehrkanten des Kegels öder der Inflexionen des 
Querschnitts. 

b die Ordnung der Doppelcurve. 

D die Zahl der Punkte, in denen 2 Erzeugende mit geraeinsamer 
BerQhrungsebene zusammentreffen, und die Doppelcurve somit einen Dop- 
pelpunkt erhalt; weil 2 Bedingungen bei einem solchen Punkte der Doppel- 
curve erföUt sein mttssen, lässt sich schliessen; dass es im Allgemeinen 
keine D giebt. 

fm O'* ^ 3) die y^iihl m-facher Punkte der Fläche; die m Mantel 






' Die entsprechcndc Aiifgabe betrcffcod den (in diessr Ilinsicht wcgen der Cuspidal- 
ourve nicbt ald Special tallen der allgemeinen Regelfläclicn zu behandelndcn) abwickolbareD 
Fläcben ist schon von Cayley (Quarterly Journal, B<J. II) gelost worden. 



t)ber die Doppelcurve auf den geradliDigen Flächen. 



65 



schneiden einander in '-m{m — i) Doppelcurvenzweigen. Es ist éinleuch- 

tend, dass es im Allgemeinen nur ^3 giebt. 

. T die Zähl der Torsalpunkte. 

p die Klasse der entwickelbaren Fläche, die von den Tangential- 
ebenen Iftngs der Doppelcurve gebildet wird. 

p das Geschlecht der Regelfläche. 

Cbrigens sei angenommen, dass keine Cuspidalerzeugende . und riur 
eine endliche Zahl von t,^ (also keine mehrfaehen Curven) vorkommen. 

Die PL0cKER'8chen Gleichungen, denen die Querschnittscurve gentlgen 
muss, sind: 



(O 

(2) 
(3) 
(4) 



b = -{n—i){n— 2)—p, 

a = 2 (« — I ) + 2p, 
x= z{n — 2) -{- 6p, 
d = 2p' + 2p{2n — 7) +■ 2 (« — 2)(« — 3). 



Die Bestimmung der Schnittpunkte der 2. Polarfläche einea beliebigen 
Punktes mit der Berfthrungscurve des Tangentenkegels von demselben 
Punkte und mit der Doppelcurve giebt die Gleichungen: ' 



a{n — 2) = X + pi 

b{n —2)=p + 52 ;*"(*" ~ ')("* ~ ^)'-- 



(5) 

« 

(6) 

D^raus folgt 

(I) 2 i **'(*" ■" ')("* —2K = l (»» — 2)(« — 3)(« — 4) — 3i>(« — 4). 

Also 



(") 



P<An — 2){n—2,). 



* Vgl. Salmon-Fiedler, Oeometrie des Baumes, II, S. 650. 

Äeta mathematiea. 19. Imprimé le 10 d6ceinbre 1894. 



60 • A. WiDian. 

Ira AUgemeinen hat somit eine Regelfläche 

^ (n — 2)(« — 3)(n — 4) — 2,(n — 4) 

dreifache Punkte. Aber es känn ein m-facher Punkt 7-M{m — i){m — '2j 

dreifache ersetzen; es stossen ja auch in ihm eben so viele Gruppen 
von je 3 Erzeugenden zusainmen. 

Die erhaltenen Ergebnisse (I) und (II) werden von etwa auftreten- 
den Cuspidalerzeugenden nicht gestört; da dies wohl schon a priori ein- 
leuchtet, tibefgehen wir den nach den SALMON^schen Principen leicht zu 
föhrenden Beweis. Dagegen lässt sich die Ungleichung (II) nicht erweisen, 
wenn die Regelfläche sowohl eine mehrfache Curve als eine mehrfache 
Developpable besitzt, und Regelflilchen mit solchen Singularitäten gehen 
nicht immer als Specialfälle anderer dessélhen Grades hervor, was den 
fehlenden Beweis durch Continuitätsbetrachtungen hiitte ersetzen können. 

Das Geschlecht P der Doppelcurve ist durch die Gleichung 

P = \{b-x){h-2)-k-D-Y^\ (/» + i)m{m - i)(«» - 2)/„ 

bestimmt, wo k die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte bezeichnet k 
känn aus 2 neuen Gleichungen ermittelt werden: ^ 

(7) «(^^ — 2)(w — 3) = 2{p '\' ab — 2p— r), . 

(8) ?^(w— 2)(;r— 3)=^/; — 2/> — r— 4[^/: + ^^w(m — i)(m — 2)(m — 3)<„'|. 

Aus (7) erhalten wir die bekannte von LCroth gegebene Zahl der 
Torsalen: 2(n — 2) + AP- Ganz einfach ergiebt sich 

(III) p = i(„__3)(n_4) + p(„_5)_D. 



^ Die GleichuDgen (7) und (8) entbalteD die Analysc der DurebschDittspunkte der 
Curvcn a , b mit der Fläcbe von der {n — 2)(m — 3) OrdnuDg, welcbe die BerUbrungs- 
punkte der doppelt beriibrcnden Erzeugenden des Tangentenkcgels ausscbncidet, und sind 
nach den Gleichungen (lO) und (il) in Salmon-Fiedler^s citirter Arbeit, ö. 671, ge- 
bildet; weil aber dort nur ^3 angcnommen sind, babe icb selbst in (8) berUcksichtigen 

miissen, dass in einem m-facben Punkte yWi(wj — l){m — 2)(wi — 3) Paare von je 2 

ö 

Erzeugcndi^n zusammenstossen. 



Ubcr die Doppekurve auf den gcradliDigcn Flächcn. 67 

Wenn die Gleichung (I) besteht (entweder för die Fläche selbst öder 

nur för ihre Reciproke), können höchstens - (w — 2)(n — 3) — p doppelte 

Erzeugende ^lorkominen, weil, wie man leicht findet, jede Doppellinie von 
(« — 4) anderen. Erzeugenden in ebon so vielen t^ getroffen wird; und, 
wenn 2 Doppelgeraden zusainmentreffen, vereinigen sich im gemeinsamen 
Punkte sowohl 4 t.^ als 4 der erwahnten Schnittpunkte. Also, wenn die 
angegebene Zahl doppelter Erzeugenden existirt, liegen alle mehrfachen 
Punkte auf ihnen. Allein es soU hervorgehoben werden, dass unter diesen 
doppelten Erzeugenden gelegentlich auch solche vorkommen können, welche 
die Ordnung der restirenden Doppelcurve uin 2 reducirt: es sind diese 
aus 2 einander beriihrenden Torsalen mit verschiedenen Cuspidalpunkten 
zusammengesetzt; die reciproken Torsalen haben verschiedene Ebenen und 
gemeinsame Torsalpunkte und liefern somit nur Doppelpunkte im Quer- 
schriitte. * 

Auf jeder doppelten Erzeugenden befinden sich 2 D: die Punkte, wo die 
beiden Mantel einander beröhren. Weil aber gleichzeitig die Doppelgerade aus 
der Doppelcurve ausgeschieden wird, reducirt sich P nur um je eine Einheit. 

Man känn nun die beiden in eine Doppelgerade zusammenfallenden 
Erzeuij^enden durch eine sehr kleine VerJlnderunf]^ auseinander«cehen denken, 
ohnc dass die Regelfläche anderwärts wesentlich verändert sei. Die Re- 
gelflache mit der doppelten Geraden erscheint so als Specialfall einer 
Fläche eines um eine Einheit höheren Geschlechtes ohne dieselbe, somit 
auch ohne die darauf befindlichen n — 4 t.^; die Doppelcurve hatte in 
diesen n — 4 Doppelpunkte, dercn Wegfall P um n — 4 erhöht. Durch 
diese Betrachtungen werden die Gleichungen (I) und (III) bestätigt. 

Es ertibrigt noch die Fälle von Bertihrungs- und Oskulations-Doppel- 
curven zu erwähnen. Im ersten Falle beriihren 2 Mantel einander längs 
der Curve; im zweiten oskuliren sie einander sogar, so dass die Erzeu- 
gende des einen Mantels zweite Haupttangente des. anderen sein muss.^ 



' Beispicle und Däherc ErörteruDgen solcher SiDguIaritätcD werden wir spätcr bci 
BehandluDg der Qcgclflächen 6. Gradas geben. 

^ Als eine hieher gehörende Art nenne ich die von ScHWAiiz besprochcoe Regel- 
flächen 5* Grades mit 3 doppelten Kegelschnitten. Ich babe niimlich {Klassifikation etc., 
S. 87) erwiesen, dass sowohl 2 als auch alle 3 Kegclschnitte in speciellen Fallen un- 
niittclbar aufeinander folgcn. 



68 A. Wiman. 

Die Regelflächen 6. Grades ohne vielfache Curven sind somit vom 
Gejschlechte o , i öder 2, haben höchstens 2, bezw. i öder o doppelte 
Erzeugende, und die bezQgliche obere Grenze des Geschlechts der Doppel- 
curve ist 3,4 öder 5. Von den möglichen vielfachen Cur^n behandeln 
wir besonders die Leitgeraden. Die anderen Fälle sind: dreifache Er- 
zeugende, dreifaches Kegelschnitt und dreifache gewundene 6\ ; im ersten 
Falle muss jede Ebene durch die dreifache Erzeugende einen Doppelcurven- 
punkt enthaltcn (somit, weil die Schnittcurve eine 6^3 , |) = o) ; im zweiten 
soll von jcdein Punkte des Kegelschnittes drei Bisecanten der restirenden 
Doppelcurve ausgehen, welche sorait eine unicursale gewundene C^ spe- 
cieller Art sein muss (also auch hier /) = o); im dritten Falle ist gewöhn- 
lich p = i\ 

3. Die Gleichungen (2) und (3) werden nicht durch eine r-fache 
Leitgerade verRndert. Als &-Curve sei nur der restirende Theil der 
Doppelcurve bezeichnet. Also 

(1') b=-Jn— i){n— 2) — '-r{r— 1) - p. 

Die Formeln (5) und (6) werden bcdeutend modificirt. Der 2. Polare 
ist die Leitgerade (r — 2)-fach. Dort geht die a-Curve durch 2{r'\-p — 1) 
Torsalpunkte ^ und durch n — r andere Punkte, wo die Leitgerade von 
den Erzeugenden getroffen wird, welche in der durch die Scheitel des 
BerUhrungskegels und die Directrix bestimmten Ebene liegen. In diesen 
Punkten wird aber auch die 2. Polare von derselben Ebene beröhrt öder 
(wenn 7* =2) geht wenigstens dadurch, so dass jeder r — i Schnittpunkte 
giebt. 

• Die Ä-Curve hat b {n — r)(w — r — i) Punkte åuf der Leit- 
gerade; denn jede Ebene durch diese enthält nur -{n — r)(w — r — i) 
andere ftPunkte als Schnittpunkte der in ihr liegenden Erzeugenden. 



Dass die crwähote Zalil Torsalpunkte auf der Lcitgeradfe liegt, wird im nächstOD 
Paragraphcn erwieseo. 



70 A, Wiman. 

salen dieselbe Ebene haben, denn es entsleht dann ein Doppelpunkt B 
im Schiiittpunkte. Dann känn P. aus Zeuthen's Gleichung^ 

c — c' = 2e'{p — i) — 2e{F — i) 

hergeleitet werden, welche die bekannte Relation zwischen den Geschlechts- 
zahlen zweiereinander entsprechenden Curven darstellt. Diese Gleichung 
gilt aber natUrlich noch, wenn die Punkte der einen Curve eindeutig 
auf die Geraden einer Regelfläche tiberftihrt werden. Also ist hier: 

e = 2j e' == M — r — I, c = 2{n- — r + ^ — i), 

c' =■- 2 {il — r — 2)[n — r + p — i) — 4l>, 
woraus 

(III') F = -{n — r— 2){n — r — 3) -\- pin — r — 2) — D. 

För r = n — 2 bezw. n — 3, ergiebt sich P' = o bezw. pj wie auch zu 
erwarten war. P' wird nicht durch das Auftreten einer doppelten Er- 
zeugenden reducirt, denn die beiden Mantel beriihren einander nur in einem 
neu hinzutretenden Doppelpunkte; der änderc ist auf der Directrix. 

Die Regelflächen 6. Grades mit einer einfachen öder fttnffachen Leit- 
gerade sind natttrlich immer unicursal. In den ttbrigen Fallen (r = 2, 3, 4) 
känn das Geschlecht höchstens den Werth 2 erreichen;* es sei denn, dass 
auch eine 2. Leitgerade auftrcte. Wenn r = 2, lehrt die Gleichung (III'), 
dass P' < I , 3 , 5, je nachdem ^^ = o , 1 , 2. 

4. Die oberwähnte Gleichung Zeuthen's känn auch beniitzt werden, 
um die Anzahl der Torsalpunkte r' auf einer r-fachen Curve zu ermitteln, 
welcher jede Erzeugende nur in einem Punkte begegnet. In der Gleichung 

c — c' = 2e'{p — i) — 2eip' — '• 1) 



* Math. Ann., Bd. 3. 

' FiNK glaubt indess 6 Arten vom Gcschlechte 3 ohoe 2 Loitgeraden crhalten zu 
haben. Er gebt abcr von der unricbtigCD Voraussctzung aus, dass eine eindmtige Cor* 
respondcnz zwiscbcn den einfachen Schnittpunktcn einer beweglichen Tangente einer cbenen 
C^ vom Geschlechte 3 bestehen könne. Durch einen Punkt gehcn ja IG anderwärts be- 
riihrende Geraden. 



74 D. Sélivanoff. 

et par conséquent 

F{Q = o, F{Q = o , . . . , F(C) = o. 

Ce théoréine a aussi lieu, si les coeflFicients de la fonction F{t) con- 
tiennent des quantités dont Tadjonction n'altére pas Tirréductibilité de 
Téquation ^{t) = o. 

Nous allons démontrer les cinq théorémcs suivants. 

I. Si une, fonction entiére 0{x , /,) est irréductible apres Vadjonction 
de t^y la fonction (l>{x^ti) est aussi irréductible apres Vadjonction de t^, k 
ayant une des valeurs 2 , 3 , . . . , w? . 

Supposons qu'on ait 

En rempla^ant tj, par la racine t^ de Téquation irréductible jr(/) = o 
on obtient la relation impossible 

<^(^.^)= <«^,(^.'i)- V';(^.^x 

0[x ^ t^) étant une fonction irréductible. 

II. Le produit 

0{x,t^)0{x,t,)... 0(rr,O 

est irréductibley sil ne cofitient pas de racines multiples et si la fonction 
0(x , /,) est irréductible apres Vadjonction de t^. 

Le produit 

(1) 0{^,t,)0{x,t^)...0{x,f„:) = ^{x) 

est une fonction entiére en x avec des coejBTicients rationnels. En dé- 
coinposant cette fonction en facteurs irréductibles on trouve 

(2) 5(^) = f?,W5,0T^)...3^.(-O- 

La fonction iy^{x) a des racines communes avec une fonction irré- 
ductible 0{x , t^)y k ayant une des valeurs i , 2 , 3 , . . . , m. 



76 P. Sélivanoff. 

Les degres des fonctions f[x) et 0{x , t^) étant n et v on a la re- 
lation 

-t 

. . ...■•.•• I 

Si n est un nonibre premier, il est nécessaire que m soit multipla 
de n , v étant plus petit que n. 
On peut donc aJBfirmer que 

III. La fonction irréductible du degré premier n ne peut devenir ré- 
ductihle qu' apres Vadjonction d'une racine d'une équation irréductible dont le 
^ degré est multiple de n. 

La racine du degré n de Tunité satisfait a une équation irréductible 
dont le degré est inférieur an. On a donc ce coroUaire du théorénie III: 

La fonction irréductible du degré premier n reste encore irréductible 
apres Vadjonction dune racine du degré n de Vunité. 

Le théorénie II peut prendre une autre forme, si la fonction irré- 
ductible ^[t) a la forme 

(p{t) = V'' — a, 

m étant un nombre premier. 

L'irréductibilité de cette fonction ne sera pas alterée apres Tadjonc- 
tion de 0;, racine de Téquation 

z"^ — I 

= o. 

Z I 

I 

Supposons que la fonction (P{x , t^) reste irréductible apres radjonc- 
tion de 0;. 

Nous allons démontrer que les fonctions 0{Xyt^) itt (p{Xytj)f k Siyant 
une des valeurs 2 , 3 , . . . , m, ne peuverit pas avoir des racines communes, 
si elles ne sont pas identiques. 

Supposons que le plus grand commun diviseur des fonctions (P(rr,/J 
et (P{x , t,) soit V'\x,t^, 1 1). 

Une des quantités t^ et /^ s^exprime pai^ Tautre au moyen de a>. 
On peut donc écrire 



78 D. Sélivanoff. 

Supposons que la fonction V^ — a soit divisible par 

qr{t) = t — b,t^'' + &,<P-^ _... + (_ i)Pb^, 

Le nombre h^ appartenant au domaine de rationalité donné est le 
produit des racines de Téquation ¥{t) = o. Donc 

h étant un uorabre entier. 

Déterminons deux nombres entiers r et s de inaniére qu'on ait 

pr — ms = I . 
On aura la relation 

{b;a-T -= « 

et par conséquent le théorérne est démontré. 

Si le domaine de rationalité contient a>, toutes les racines de Téq na- 
tion réductible 

r — a = o 

sont rationnelles. 

§ 2. On sait que chaque expression forraée avec des radicaux peut 
étre mise sous la forine 

F étant une fonction entiére de Fj , F^ , . . . , F^ avec des coeflficients 
rationnels. Les quantités sont réunies par les relations 

f F"» = F (V V V) 

yjt = p (Y Y Y) 



(O 






ou les exposants n^,n^, ...yti^ sont des nombres premiers; i^^, F^, .,., F,_i 
sont des fonctions entiéres avec des coejBGcients rationnels des arguments 
indiqués et A est un nombre rationnel. 



80 D. Sélivanoff. 

des radicaux et éloignons de nouveau les radicaux superflus. Dans la 
chaine des équations (i) pourront entrer les racines de Tunité, dont les 
degres sont inférieurs a w, , w^ , . . . , w„. Ces racines de Tunité, nous les 
exprimerons de nouveau par des radicaux. 

Gette operation sera enfin terminée, car la chaine finale des équations 
binönies ne peut contenir que quelques-uns des radicaux Fj , F^, ..., F^, et 
des radicaux servant ä exprimer les ra^cines de Tunité des degres Wj , w^, 
. . . j n^ et des degres inférieurs. 

On peut donc supposer que les équations binömes de la chaine 

sont irréductibles apres Tadjonction de 

D'aprés le thébréme démontré Tirréductibilité de cette équation sera 
encore conscrvée apres Tadjonction de Wy. 
La fonction Fy a la forme 



'WvJ.1— 1 



(3) F, = u, + u, F,^, + r/, F^^, + . . . + rr ^^^_, v;iv , 

les coefficients C/^ , C/^ , £/,,..., U„ _i étant des fonctions entiéres de 

^r+a ' ^y+8 > • • • j ^v ».vec des coefficients rationnels.% 

Uéquation (3) peut étre simplifiée en rempla9ant F^^, par une autre 
quantité. 

Si U^ est différent de zéro, nous poserons 

(4) ■ u,v,\, = w,^,. 

En élevant les deux membres de cette équation a la piiissance n^^.^, 
on obtient que Wy^i est une racine d'une équation de la forme suivante 

Fy^i étant une fonction entiére de F+2, Fj.^g,..., V^ avec des coefficients 
rationnels. 

Déterminons* deux norabres entiers r et s de maniére qu'on ait 

hr — Wy^j5=i, r<ny^^. 



Sar les ozpressioDS algébriques. . 81 

On déduit de l'équation (4) que 

Il en résulte que 

(6) F,+, = U'.W^^„ 

V étant une fonction entiére de F^^., , V^^^ > • . . > Vv avec des coefficients 
rationnels. 

En introduisant cette valeuf de V^^^ dans Texpression (3) on obtient 

F, = u, + w,^, + c^;Fr;+, + . . . + C7;^._, tf;^!'-'. 

L'équation (5) reste irréductible apres Tadjonction de 
Dans le cas contraire W^^i serait rationnel en 

^y+l > ^y+« > • • • > ^v J '7-^^ y ^ Y-i-t 5 • • • J ''^v? 

d'apré8 Téquation (6) F^^.^ serait aussi exprimable par ces mémes quan- 
tités, ce qui est iinpossible. 

Supposons maintenant que dans la serie • 

^ r ' -^r+i > -^y+2 > • • • > -^1 > -^ 

la premiére fonction qui contienne F^^j soit 
Cette fonction a la forme 

1"*.*.?.*::::."?:-C* 

Les coefficients G sont des fonctions entiéres de F^^^ , F^^^ > • • » > F^ 
avec des coefficients rationnels. Au moyen de la transformation indiquée 
plus haut pour Fy, un de ces coefficients peut étre mis sous la forme 

Nous dirons (][u'une expression algébrique a la forme normale, si Ton 
a exécuté toutes les transforinations indiquées. 

Les expressions algébriques de la forme normale oht des propriétés 
remarquables que nous allons étudier. 

Ada mathematiea. 19. Iinprimd le 31 janvier 1895. \\ 



82 • . D. Sélivanoff.. 

§ 3. Supposons qu'on ait identiquement 

(i) ^ 0{x , F, , F^+i , . . . , F,) = 0{x , öi^F^ , Fy+\ , . . . , F,), 

(P étant une fonction entiére des arguments indiqués avec des coeflficients 
rationnels. 

En égalant les coefficients des mémes puissances de x on trouve au 
moins une relation de la forme 

m 

F(^r 9 Vy^i , . . . , F,) = 9{^r^r » ^r+i » • • • 7 FJ, - 

f étant une fonction entiére différente de zéro. 
L'équation 

(2) . j.(F, F,^, , . . . , F,) = fP^F, F,^, , . . . , F.), 

dont le degré peut étre supposé inférieur ä w^, est vérifiée pour V =^V^. 
Mais Fy est racine d'une équation irréductible du degré n^. Donc 
réquation (2) est une identité. Par conséquent les coefficients des termes 
semblables dans les deux membres de cette relation sont égaux. En 
égalant deux coefficients 3ifférents de zéro on trouve 

Il en résulte 

ölj = I. 

Cest impossible, p étant inférieur a n^. 
On peut donc affirmer que 

les fonctions 

0{x , Fy , F,+, , . . . , VJ) , 0{x yWyVy, F,+i , . . . , F,), 

9\X , ö>y Ky , Vy^rX , . . . , r J , . . . , (P\X , ö>y r y , Vy^x , . . . , r J 

5on< différentes entré elles. 

En appliquant le théoréme IV (§ i) on conclutque le produit 

*' n ' [x - F{m\^ F, , r, , . . . , F,)] = 0{x , F, , F,„ , . . . , V,) ' 



Sur les expressions algébriques. 88 

est irréductible apres Tadjonction de 

Ge produit ne contient pas de radical F^, et en inéme temps peuvent 
disparaitre les radicaux 

V V V 

Pour la méme raison sont irréductlbles les fonctions suivantes 

U0,{x, ioi^r, , F«+. , . . . , F„) = 0,{x^, F, , F.+, , . . . , F,), c > b; 



U0,{x , ö,trF„ , F„+, , . . . , F,) =. n^)- 

La fonctioTi ^''(a;) est une fonction entiere en x avec des coefficients 
rationnels. Le coefficient de la plus haute puissance de x est egal a un. 
Gette fonction n*a pas d*autres racines que les diflférentes valeurs de Tex- 
pression algébrique 

F(F,, F,,..., F,). 

De la méme maniére on pourra former Téquation irréductible avec 
des coefficients rationnels qui est satisfaite par Texpression 

ip étant une fonction entiere de F^ , F^^^ , • • • , F^ avec des coefficients 
rationnels. 

Supposons qu une fonction entiere de v variables indépendantes avec 
des coefficients rationnels 

(3) ^(^1 , t;, , . . . , i;,) 

8'annule pour 



84 



D. Sélivanoff. 



Réduisons les puissances de v^fV^j...jV^ au moyen des équations 



(4) 












V' = 






La fonction aura la forme 



(5) 



(P = a, + ajVj + a,t;? + . . . + a„,_iV?"\ 



les coeftlcients a^ , a^ , a^ , . . . , a^^_i étant des fonctions entiéres de t;, , 173 , 
. . . y v^ ayec.des coeflficients rationnels. 
En posant 



on trouve 



^1 = ^P ^-i = ^2 ' . . . , t^v = K 



«; + fljF, + a:,vi + ... + <_,Fr^ = o. 



Mais V^ est la racine d*une éqiiation irréductiblc du degré n^. Donc 



«o = Oj 



«, = o. 



ai = o 



a 



»,-1 



= o. 



Par conséquent la fonction (5) devient nuUe, quand on pose 

en laissant t;^ tout a fait arbitraire. 

Apres avoir inis les fonctions ay, , a^ , a^ > • • • > ^nj-i sous la forme 



Ha— l 



au moyen de Téquation 

on démontrera de la méine nianiére que toutes ces fonctions s'annulent 
pour une valeur arbitraire de v^ et pour 



^3 '^ ^J ^4 ^^4 ' . . . , Vy Vy. 



Sur les exprcssions algébriqucs. 85 

Il résulte de ce raisonnemeiit que la fonction (3) 

étÄTit réduite au moyen du systéme (4), devient nulle pour des valeurs 
arbitraires de v^ , v, , v, , . . . , v^. 

Donc en changeant les valeurs des radicaux dans la relation 

on obtient une autre relation 

<p(r; , Fj , . . . , ri) = o. 

Voici une conséquence de ce théoréme. 

Lä fonction V^{x) que nous avons forraée 8'annule pour 

m 

Gette fonction devient aussi nulle pour toute autre valeur de Texpression 
algébrique F(F, , F, , . . . , F,). 
On peut donc afifiriner.que 

toutes les valeurs de Vexpression algébrique de forme normale sont radnes 
de la seule équation f{x) = o. 

Une autre conséquence du théoréine démontré est la suivant^: 

Les équations hinömes 

restent irréductibles quand on change les valeurs des radicaux F^^i , Vy^^y — > ^v 
Supposons que 1'équation 

* 

(6) F"'-i = i^,_,(F:) 

soit réductible. On aura la décotnposition en facteurs 

En rempla9ant T,, racine de Téquation irréductible 

(7) V"' = A, 



86 D. Sélivanoff. 

par F^ on obtient la relation impossible 

F"v-i - F,._,{r,) = tf(F. n) . v>xv, K). 

Il résulte de rirréductibilité des équations (6) et (7) que si Téquation 
(8) f^K-, , Vv) = o, 

f> étant une fonction entiére de v^_i et v^ avec des coefficients rationnels, 
est satisfaite pour 

la fonction ^(t;^_i , t?»,) devient identiqueraent nulle quand on réduit les 
puissances de v^_i et v^ au moyen des équations 

vi'-,' = F,_,{v,\ v"' = A' 

L'équation (8) sera donc aussi vérifiée pour 

m 

Supposons maintenant quon ait 

r-* — F,..,{vi^, , ri) = 0(v, f:_, , v:) . V''(f, f:_, , f,). 

En rempla9ant ici yi_i et F|; par F^_.i et F^ on obtient une dé- 
composition en facteurs de la fonction irréductible 

r"'- — 7*; ,(n.., , K), 

ce qui est impossible. 

L'irréductibilité de Téquation 

est donc démontrée. 

La méme demonstration est applicable aux autres équations biMÖines. 
De rirréductibilité de Téquation 



Sur les expreasioDS algébriques. 87 

résulte que les fonctiona entiéres å coefficients rationnels 

.(^(.,a,»r,,F,,,,...,r.),...,<p(.,.r>,,r,,.,...,r.) 

sont différentes entré elles. 

§ 4. Soit 

f{x) = a;" + /?,rr— ' + p,rc— ' + . . . + p^^.x +p^'=6 

1'équation irréductible proposée, dont les coeflfieients sont des nombres 
rationnels. 

Désignons les racines de cette équation par 

Supposons qu'on ait 

F étant une expression algébrique de forme normale. 

Par le procédé indiqué dans le paragraphe précédent on forme la 
fonction irréductible 9'{x) qui s'annule pour x = x^. 

Les équations irréductibles 

f{x) = re» + p^x""-' + , . . = o 

ayant une racine comniune sont identiqueg. Donc 

f{x) = 9r{x\ 
n^n^n,. . .n„ = n. 

Jjes nombres **i , w. , »^ , . . . , «« ^^^^ l^s exposants des radicaux 
V V V V 

En résuniant les resultats obtenus, on peut énoncer les théorémes 
suivants d'ABEL: 

i) Dans F expression alffébriqtie étune racine et une équation irréductible 
du degré n sont nécessairement contenus les radicaux, dont les exposants sont 
les diviseurs premiers de n. 



88 



D. Sélivanoff. 



2) Vexpresmn algébriqtie satis faisant å Véquation irrédiACtible du degré 
nan valeurs différentes, qui sont les racines de Véquation proposée. 

3) Si une racine de Véquation irréductible est exprimable par radicauXj 
toutes les autres racines sont aussi exprimables par radicaux.. 

Nous allons encore démontrer le théoréme suivaDt: 

4) Les radicaux contenus dans Vexpression des racines de Véquation 
proposée sont des fonctions entiéres des racines de cette équation et des racines 
de Vunité. 



Soit 



.(O 



x, = U,+ 



F.+ 



X, = U:+ toT^V, + 






I a;., = C/o + o)r^"'-"F, + a>T''"-''U, r? + • • • + öT^"' -"'?/».-, VV • 



En ajoutant ces équations apres les avoir multipliées respective- 
ment par 



I y a>i , a>^ , . . . , a>J* ^ 



on trouve 



(2) 



n^V^ = a;, + ö),a;, + oi{x^ + . . . + wj' \t„, 



(3) 



En prenant les autres valeurs des radicaux on aura 

WiF; = x,^ + (o^x^^ + a}\x,^ + . . . + ö>r^'%. 



les nombresÄj , Ä^ , . . . , \^ étant différents entré eux. 
Du systéine (1) résultent encore les formules 

^*i ^0 = ^1 + ^2 + ajg + . . . + rr„^, 

n, C/jFJ = j;, + f»\<i^i + o}\x3 + . . . + ö>?<"'~"a;,,, 



«. C^..-, F?'-' = a;, + ö,:'-»a:, + a,;<"'-"rr, + . . . + a,r'-'^>,.. 



Sur Ics expréssions algébriqucs. 89 

L'expression algébrique 



z=V, 



satisfait a une équation (p(^z) = o dont les coeflficients sont des norabres 
rationnels (§ 3). Les fonctions rationnelles 



I I 



de la racine de cette équation peuvent étre traiisformées en fonctions 
entiéres de Fj. Par conséquent 

(4) v^, u,, u,,..., u„^.., 

sont des fonctions entiéres de ic^ , .r^ , . . . , .r„ et (o^ . 

Toutes les valeurs des expréssions algébriques (4) jouissent de la 
méme propriété. 

Passons au radical F^. 

Si le second membre de Téquation 

(5) F- = F,(F,, F,,..., K) 

contient F,, on peut poser 

FJ» = Wo + n + w. ^2 + . . . + w.,-iFr' , 

^0 > ^2 > • • • > ^««-i ^^^^^ d^s fonctions entiéres de F^ , F^ , . . . , F^, avec des 
coefficients rationnels. 

Supposons que la valeur 

vv = y, 

se change en 

y^ i Vz y * * ' y y»»2' 
quand on remplace F^ par 

^2 2 9 ^2 2 9 * * * ) ^2 2* 

On trouve 

»»'^i = yi + 0*8^2 + öjjys + • • • + ö»J'""'y.,, 
«»Wo = yi + «/!! + ys + • •• + y.,» 

n,M,F* = y, + ö>?y, + wjys + • • • + 0»?"^"^»,. 

«2«».-.^r' = yi + ö';'-Vi + ö'?"'-"^. + • • • + äj^-^v... 

Ada fnathematiea. 19. Imprlm^ le 2 f^vrier 1R95. 12 



90 D. Sélivanoff. 

Il en résulte que les quantités 
sont des fonctions entiéres de 

Supposons maintenant que Téquation (5) ne contienne pas F^. 

Une des quantités f/^ , C/, , CTj , . . . , U„^_^ qui entrent dans les rela- 
tions (i) contient nécessairement V^. Supposons que ce soit CT^. On 
peut poser 

Uh = Aq -{- Fj + -^a^s + • • • + ^p^-i^i^" 9 

^^ , -4j , . . . , A„^^i étant des fonctions entiéres de F3 , F^ , . . . , F^ avec 
des coefficients rationnels. 
Designons par 

les valeurs que prend 

quand on y remplace F^ par 

^2 2 > cclj ' 2 > • • • > 0I2 2* 

On trouve que 

^2^2 = ^1 + ^2^2 + ^»^8 + • • • + (o;'-^z„^ 
et par conséquent F^ est une fonction entiére de 

avec des coefficients rationnels. 

On fera voir de la méme maniére que les radicaux F3 , F^ , . . . , F^ 
sont des fonctions entiéres de 

Le théoréme 4) est donc démontré. 



Les propriétés des exprcssions algébriques que nous avons étudiées 
ont une grande importance. Elles donnent la raéthode générale pour 



Sur les exprcBsions algébriqucs. 91 

résoudrc les équations littérales du deuxiéme, troisiétne et quatriétne 
dcgré. Elles servent pour base a la demonstration de rinipossibilité de 
la resolution algébrique des équations littérales des degres supérieurs. 

Galois a obtenu les conditions de la résolubilité algébrique des 
équations numériques en supposant que toutes les racines d'une équation 
soient exprimables par des radicaux. D'apré8 le théoréme 3) il aurait suffi 
de supposer qu'une seule racine de Téquation soit expriinable algébrique- 
raent. 



93 



DEUX DEMONSTRATIONS 
DE LA CONVERGENCE DE CERTAINES FRACTIONS CONTINUES 

FAB 

ANDRÉ MARKOFF 

i st. PÉTEBSBOURQ. 



En considérant le dévcloppement connu de l*intégralc 



o 

/ 



f^'^ dy 



z — y 



en fraction continue 



a 



«i« + /^i — 



«,» + Ä — 



«3« + Ä - . 



supposons les limitcs a et b reelles de méme que toutes les valcurs de 
la variable dMntégration y et de y/fiy)- 

Nous alloDS démontrer tres sirnplement, que dans ces suppositions 
on aura 



o 

fl^di, = lim. 



^l-^ + fil 



a,z + /9, — 



«n« + Ä 



pour toutes les valeurs de z, qui ne sont pas sur le chemin d'intégration. 

Aeia mathémoHea. 19. Imprimé le 2 février 1895. 



94 André Markoff. 

Rappelons ^ a ce but, que Tcxpression 



«i« + A 



«.« + Ä — 



se réduit ä la fraction 

dont le dénominateur ^„(-2?) est une fonction entiére de z^ de degré n, 
satisfaisant aux conditions 

6 6 6 

o =f^n{!/)f{y)dtj =fv9'n{!/)f{!/)dy = . . . = fy''-'^n{y)f{y)d!/, 

a a a 

et le numérateur ^»(^) se détermine par la formule 






On sait aussi, que Téquation 

n'a point de racines multiples ou imaginaires et que toutes ses racines 

sont comprises entré a et b. 

Il en résulte, que pour chaque fonction entiére fl(y), de degré moindre 
que 2n, on aura 

_ \^ Mvi) 



fmM^o = I gf ; "M: 



en particulier 



/«.)*= I gt; 



^ C. Possé, Sur quelques applications des fractions coniintics algébriques^ i886. 



96 André Markoff. 

et par suite on aura 



J z-y "^ y»(0 ./ (z - y)(z - xy '^J> " L.{z- y,)(z - xr ^;(y,) 



Quant aux expressions 



fd-^^.M"> - If;^^ 



*)'"fi{y() 



leura modules sont plus petits que le produit de Vintégrale 

ffWv 

a 

par le maximum du module de Texpression 

0/ - a^)^" 



(« — 2/)(« — «)'" 

sur le chemin de rintégration. 

Or, X étant constant, ce maximum sera si petit qu'on voudra, pour 
los valeurs de n assez grandes. 

Donc la différence 



o 

f fjy) 
J '-y 






tend vers zéro, a inesure que n croit infiniment. Les considérations pré- 
cédentes peuvent aussi indiquer une limite supérieure au module de la 
différence 



f f(y) 

J z — y 



dy 



z — v ^ 



«,2 + /?, — 



fXnZ + ftn 



Dcux d^moQstratioDS de la convergence de certaines fractions 00DtiDuci<. 97 

A cet effet il est irnportant de choisir le nombre x en sorte, que le ma- 
ximum du module de 

y — X 

Z X 

soit le plus petit possible. 

Conformément ä cette condition nous posons 

a + h 

si z est réel, et 

a + h 



X = — ; dtyj^l, 



si z est un nombre imaginaire: 



z = c + dy]—\j 

en déterminaiit t comme la racine positive de Téquation 

Avec la valeur de x choisie par nous, on trouvera que le module de 
la différence 



«.« + A - 



«,« + Ä — 



est inférieur ä 

- a)' + d''\t+ 1/ •/ ^^^ "^ vV- by + d' \< + 1/ J ' ^^^ '' 



V(c - a) 



""^ Mrh)" f^^^'^'^^ 



sid 

po ur 

z = c + d y/^ITY 

et est inférieur a 

a a 

Je<a ma<A«ifUiMMi. 19. Tmpriin« le 8 janvlcr 1895. 13 



08 André Markoff. 

pour lés valeurs de z reelles satisfaisant å la condition 

[z — d){z — fc) > o. 

A propos de ces resultats, reinarquons que pour les valeurs de z reelles 
un autre calcul nous donne comme une limite supérieure du méme module 
le produit de 



4{b-ay'^ff{y)dy 



\2z — a — b + 2v'(ä — o){z — 6)j*" + } 2« — a — /> ^ 2y/{z — a)(z — 6)}*" 
I I 

par • ou par r. 

CL ~~~ Z Z ~~~ O 

m 

La demonstration précédente suppose les limites a et fc finies. 
Nous allons donner maintenant, pour les valeurs de z reelles, une 
autre demonstration, laquelle s'étend aux plusieurs cas 

de a = — oo ou de i = + co. 

Soit pour fixer les idées 

a<y,<y^ <...'< y„_i <yn<h <z. 



En pösa n t 



^o(y) 



^ s^^(g) — yn(y) 
(« — ?/)fi(^) 



et 



o /..N ^ Cv — yn)vl{^) — (z — yydvl(y) 



on aura 



^o(y)^r-^ pour rt<y<ft, 

^i(.v)^r-^T pour «<y <y«» 



Doux demonstrations do la coovergcnce do ccrtaincs fractions contiouc^. 99 

et par suite 

6 6 b 

J z-y ^ ^ ipn{z) J z-y -^ (b- yn)<p\{z)J z—y-^ 



¥• 



La preiniére de ces inégalités suffit pour conclure la convergence de notre 
fraction continue, cu égard a Tinégalité 

Quant a la formule 



'/''-y a,z + b,- 



«,« + Ä - 



«»z + yJ, 



elle découle iminédiatement de nos inégalités dans tous les cas, ou l'on 
peut déraontrer, qu'une (ou toutes les deux) des quantités 

est infiniment petite pour n = oo. 

Il n'y a pas de difficultéy si a est fini, car 

{b — yn)vl(z) \z — a) 

m 

En passant au cas de 

fl = CO, 

nous posons 

6 = 0, f{y) = ef'{—yf9{y\ 

Å étant constant, et ajoutons les conditions X + i > o et g'{y)> o pour 
— 00 < y < o. Alors, en appliquant a la fonction 



100 



André MarkofF. 



le théoréine premier de ma seconde note ^ Sur les racines de certaines 
équationSj on trouvera, que les racines 



de Téquation 



2^1 J ^3 J •'•yl/n 



9^n{y) = o 



sont plus grandes (f = i) que les racines correspondantes (f = o) 



de l'équation 



Vi j y^ y • • • j Vn 



^~''y~'-^n\^*y'^''\-''- 



Par conséquent dans le cas considéré les valeurs de / ^' dy et de 



y« 






sont respectivement inférieures 



a fl^ 



dy et ä 



C-4;)' • • C-=fe)'C-4:)- °' '''=''""™" 



égale a 



\z-fJ'--\z-ylJ \z-yir 



I ' 



1 + 



n 



^ + 



n{n — i) z' 



k+ \ {X+ i)(>l+ 2) I . 2 



+ .. 



—2 



est plus petite que la suivante 



1 + 



n 



z + 



n{n — i) 



2* n{n — \){n — 2) 

"T 



; + I • (^ + i)(; + 2) I . 2 ' (; + \){X + 2){X + 3) I . 2 . 3 



-z + • . . 



-1 



laquelle 'devient infinimervj petite pour n = oo. Donc Tintégrale 



J « — y 



rft/ 



^ Mathematische Annalen, Bd. 2/. 



Deux démoDstratioDS de la convergence de oertaiDes fractioDS contioues. 101 

se développe en fraction continue 



«i^ + A - 



«.« + A — 



«s« + A - 



convergente pour toutes les valeurs de z reelles et positives, si g{%f) > o 
et si les intégrales 



o 



f^{—yf9{y)dy , fe'{-vf^'g(y)d>/ , ... 



— 00 



00 



ont un sens. 

Et nous pouvons assurer, que cette fraction continue est égale a 
Tintégrale considérée au nioins dans les cas ou Ton a 

A + I > o et ff\y) > o pour — co < y <^ o; 

dans ces cas la différence 



./ 



o 



z — y 



dy 



00 



a,z + /?, - 



a,a + Pt — 



est moindre que 



V yVj z - 



— y)^?(.v) 



y 



dy 



I+T^^+ "^""'^ 



; + I ' (>l + IX-H- 2) 1.2 



yl étant la plus petite racine de Téquation 

n n{n~i) a' 



>l+ I ' {X+ \XX + 2)i.2 



anZ + /9« 



+ .-. 



. . . = O. 



102 André Markoff. 

On peut aller plus loin en démontrant ce théoréme important et 
simple: 

Théoréme. Si deux fonctions reelles 

f\y) et f{y) 
d'une variable reelle y satisfont aux inégalités 

r{y) > m > o 

pour toutes les valeurs de y, coniprises entré a et b; en développant les 
intégrales 



ff^/. e. /m.. 



en les fractions continues 



et 






«S« + /9J - '^ «.» + Ä — 



on aura 




• 


> / *> 

J '-y 

a . 

I 



rfy 



«!«+/?! - 



«s«+A— . 



pöur 4f > 6 (dans le cas de z < a on doit changer le signe > en <). 
Pour démontrer notre théoréme posons 

v(jif , ^ = ny) + my) - ny)] 

et considérons la fraction 



Deux démoDStratioDS de la oonvergeDCO de oertaines fractions coDtiDues. 103 

dont le dénominateur ip^{z , f) est une fonction entiére de ;?, de degré n, 
satisfaisant aux équations 

a a 

a 

et le numérateur ^«(i? , f) se détermine par la formule 

6 
a 

Cela pose, Tinégalité qu'il faut démontrer, deviendra 

Jss — y fn(z , O) J z — y ^ ^„(z , I) 



Or on aura 






et 






a 



M^.^^-f^-^^iy,^)'^"^''^^ 






» 9V{y.^y 



J f J(« , c) • « — .v '^ ' 



a 



d'ou Ton tirera notre inégalité immédiatement. 



104 



André Markoff. 



En s'arrétaiit au cas, ou 



a = — CO, 



h = o, f\y) = e\- y)\ f{y) = e^{- yfgiy), 



A+i>o,^>o et o< g{y) < i pour — oo < y ^ o, 
on trouvera, que la différence entré Tintégrale 



u 



z — y 



— oo 



et la réduite 



dy 



a,z + A — 



a^z + y9, 



««« + Pn 



de la fraction continue correspondante n'excéde pas 



1.2.3. ..nr(Å + I) 
(>l + i)(>l + 2) .. .{Å + n)z 



I + 



n 



^ + 



n{n — l) z' 



Å + l {Å + l)(Å + 2) I .2 



+ ... 



—2 



• 



106 



E. Netto. 



Bedeutet nun, unter Beibehaltung der Bezeichnungen, G eine Determinante 
des Grades v, wobei v > /£ sein soll, dann ist 



(2) 



Ha 



(O 



' n CO 

lfi,...,m|<,„j- ^m, + l,<^j^, pLi^ ^' ^11,22,...,/*;* > 



falls die Summationen in der Formel (2) genau so weit wie in (i) aus- 
geftihrt werden, so dass also bis auf die Folge stets 

> • • • • • j 

^1 ) ^2 ) • • • > ^m, > ^mi+1 > • • • ) ^/i ^^^ ^ > 2 , . . , j fX 

identisch ist. 

Der Beweis fttr diese Verallgemeinerung des Zerlegungssatzes ist 
einfach zu ftthren. Der Ubersichtlichkeit halber gebe ich ihn nur för 
den Fall w^ = m, = 2; /£ = 4; v = 6 wobei der Satz dann 



(3) 



^11,22^83,44 "T ^12,23^81,44 "T ^18,21^82,44 + ^18,24^81,42 H" ^11,24^82,48 I ^\^,iA^ZZ,A\ 

n n 

^ • ^11,22,88,44 



lautet. Entwickelt man die Determinante 8^ Ordnung 



^31 ^82 ^33 ^34 ^35 ^3C ^ ^ 



^41 ^42 ^43 ^44 ^4« ^46 ^ ^ 



^öl ^62 ^53 ^54 ^66 ^5C ^ ^ 



^Cl ^62 ^63 ^64 ^65 ^CC ^ ^ 



^11 ^12 ^13 ^14 O O 



^21 ^22 ^23 ^24 ^ O 



^»1 ^62 ^»3 ^54 O O 



^61 ^62 ^«3 ^64 O O 



16 ^'l 



25 ^20 



»« *^«6 



'C« ^66 



nach dem LAPLACE^schen Satze in die Summe von Producten aus Deter- 
minanten der vier ersten und der vier letzten Zeilen, dann entsteht die 
linke Seite der obigen Formel (3). Eine leichte Umformung fahrt die 
aufgestellte Determinante in die Gestalt 



108 



E. Netto. 



und ebenso erhalt man umgekehrt durch Multiplication die Determinanten- 
beziehung 

^^U^U y ^^7x^2x I ^ J • • • > ^21 » • • • 5 ^2* 



(5) 



u 



11 



t« 



12 



• • • • • vJ • • a • • V^ 



M 



Al 



a 



k2 



f • > • « v^ • • • • y \J 



^11 > • • • > ^In j O , O , O , . . . 



^nl > • • • > ^nii j O , O , O , . . . 
O,..., O, I, O, O,... 

O,..., o,o,i,o,... 
o,..., o, o, o, I,... 



^11 H" ^11 > • • • J ^iM "T ^Iw > • • • J ^11 J • • • J ^U 

^wl "T ^nl > • • • ? ^nn I ^nn J • • • J ^nl ) • • • ) ^nk 
-^^U^U > • • • > ^'^Ik^nk > • • • > O , . . . , O 

^"^nk^lk ) • • • > ^^nk^nk > • • • J O , . . . , O 

Da die Determinante der b^^ den Werth + i besitzt, so folgt aus den 
beiden Gleichungen (4), (5), dass das System der Ä^" Subdeterminanten 
von Jäxa + ^xaI g^"z, linear und homogen durch dasjenige der Ä^®° Sub- 



determinanten von 



Sr^Ax^/u + ^ 



;x,t darstellbar ist, und umgekehrt jenes 

durch dieses. Hier bedeutet S;^,, .wie gewöhnlich o öder i, je nachdem 
fi von A verschieden öder gleich A ist. J)er Satz gilt natOrlich auch ftir 
k = o. 

Mit den a^^^ und b^^ biidet bekanntlich auch ^a^xbf,^ gleichzeitig ein 

orthogonales System, und wenn | a^^;^ | = j 6^;^ | ^ i ist, so ist auch die De- 



110 



E. Neuo. 



die Relationen 



(6) 



AD= A, 



bezw. 



A,. (I + I>) = A 



oder statt der letzteren allgenieiner 



(7) 



A,,(i + I>) = A. 



Ebenso liefert 



I , O , O , 



^14 > ^24 > ^84 



41 



O 



• • • • 



* • • 



^18 > ^23 > ^33 I ^ J ^43 ? • • • 



> ^44 I ^ > • • • 



Cji ,^12,. 
^21 > ^22 > • 



^'11 I I > ^'l2 > ^*18 > • • • 



6*11 + I I j Ci2 , 



13 7 



C 



81 



'41 



j C-^»2 > ^38 I I j • • • 



, ^• 



42 J 



C 



43 9 



die Relation 



A„J) 



= — A 



21 



oder ebenso allgemeiner 



(8) 



Avii> =^ — Aiv. 



xA 



Ax 



(Ah-x) 



Die angegebene Methode fnhrt in derselben Weise auf weitere Gleichungen, 
deren Bildungsgosetz durch die folgenden Resultate leicht erkannt wird. 
Es ist 



Zur Theorie der orthogontlen Determinanten. 111 

DA = A, 

DA„ = A — A„, 

D A,i = — Ai» , 

I>A„xx = A — ( A„ + Au) + A„,u , . 

"A„,jp = A„i + A„_,,i , 

(9) X>A,i^ = Aj,,„,., 

-DA„,a,;.... = A — (A„ + Au + A^^) + ( Aj,.^;. + A„^^ + A„,u) 



^^xx,AA,/»/»> 



-^^xx,ÄA,jnw ^^y/» I V^^xat.w/t I ^^AA,vjtt/ ^^xx,AA,w;» > 



-^^^xx,A/»,wp ^^fAX,pv ^^xx,/»A,py > 



"*^^^xA,/ty,pff ^^Ax,v/i,r;; * 



Hier bedeuten x ^ X ^ /x , v j p y a von einander verschiedene Zahlen. 

Aus den erhaltenen Gleichungen wollen wir nun die auf unser 
Theorem beztiglichen Schlösse ziehen. Wir hatten D = i und A = o 
vorausgesetzt. Dann zeigt (7) sofort, dass alle A,,^ verschwinden, und 
zwar liegt dieses Resultat in der Form einer identischen Gleichung vor. 
Multiplicirt man ferner die bekannte Relation, die Ubrigens auch aus (2) 
entnommen werden känn, 

A;,, Aa — A^x^Xx = ^ • ^xx.AA 

mit (i + ^y ^^^ trägt in das Product die Resultate (6) und (7) ein, 
so folgt 

(10) AlD{i + Dy = A{(i + Z))'A^,a- A} 



112 E. Netto, 

öder auch 

(,o') AL(i + BY = A{2(i + D) A„,a^- A} 

öder endlich mit Hölfe von (9) 

(10") A^,,(i + J9)^ = A{A — 2 A,, - 2 A,, + 4A,,,u}. 

Durch jede der Gleichungen (lo) ist der noch tibrige Teil des Stieltjes'- 
schen Satzes in unserer Form mit Httlfe identischer Gleichungen aus- 
gedrtlekt; denn es wird klargelegt, dass bei A = o, D = + i alle A,;^ 
verschAvinden mtlssen. Will man auch die Voraussetzung der Orthogona- 
lität in die Formel selbst aufnehmen, so reicht es aus, nach Kronecker'- 
scher Art zu schreiben: 

A,,(i +J9) =A, 

A^,(i +D)'=A{2(i +D)A,,,,,-A}, 

(modd. c«,c^, + . . . + c^^c^^ — s^). (a,/9=i,2 i.) 

Wir können aus den aufgestellten Formeln noch weitere Schltlsse 
ziehen. Wir woUen voraussetzen, dass D = — i sei. Dann rauss wegen 
(6) die Determinante A = o Averden; wir wollen weiter annehmen, dass 
auch noch die Subdeterminanten (n — i)'^"" Ordnung von A verschwinden. 
Dann liefert (9) die 3 Gleichungen 

^ XX, A/t ^^ I ^xx,/tAJ 

deren erster wir das Resultat A,;,;^;^ = o entnehmen. Die zweite liefert 
wegen der schon einmal benutzten Beziehung 



^xxM^^^tN»^ ^xXyhK^xxM — ^xl^xxMy 



N*- 



in gleicher Weise A„ ;i^ = o. Es erscheint wahrscheinlich, dass auch alle 
A;eA./*y verschAvinden. Um diese Vermutung belegen zu können, greifen 



114 £. Netto. 

Endlich möge noch erwahnt werden, dass, wenn man in (4) und (5) 
fttr die a^^ ^^^ Einheitssystem einföhrt, eine Reihe von Beziehungen 
zwischen den Subdeterminanten von A sich ergiebt. So findet man 
z. B. fftr Ä; = I 



X 



Giessen d. 19. Mai 1894. 



116 S. Kantor. 

Der unschätzbare Vortheil der neuen Theorie besteht darin, dass sie 
nicht die Kenntniss der Fundamentalsysteme nöthig hat; man känn sogar 
umgekehrt alle arithmetischen Eigenschaften der Fundamentalsysteme 
daraus herleiten. Andererseits wird die gegenwärtige Theorie die von mir 
als illusorisch bezeichneten Characteristiken nicht liefern und um so be- 
merkenswerther ist die Controle der existirenden Typen, welche durch die 
einfachen Methoden dieser Arbeit geliefert wird, während die ältere Theorie 
mOhsam und Irrthttmern unterworfen war. Die Entdeckung der Typen 
ist gegenwärtig auf drei beröhmte Probleme zurtlckgeföhrt, an welchen 
die möderne Algebra emporgewachsen ist und ihre Tragweite erproben 
konnte: 

1. Die Berechnung der 27 Geraden einer cubisehen Fläche, welche 
hier aber particulär ist, 

2. Die Berechnung der 28 Doppeltangenten einer Curve 4. Ordnung, 
welche ebenfalls particulär ist, 

3. Die Berechnung gewisser dreifach bertlhrender Kegelschnitte einer 
bereits von Herrn Nöther bemerkten Curve 6. Ordnung ^ = 4. 

Ich habe jedoch diese KalktSle durch die Vergleichung mit meiner 
Preisschrift ersetzt, umsomehr, da dieselben Kalktile in der Theorie der 
Gruppen birationaler Transformationen Aviederholt werden mössen. 



I. THEIL. 

Untersuchungen tiber die invarianten Curven in einer 

birationalen Transformation. 



§ 1. Allgetneines. 

I. Obzwar ich keinen directen Gebrauch davon mache, schicke ich 
einige Theoreme (iber die eindeutigen Correspondenzen in den algebraischen 
Curven i. A. voraus. Die Untersuchungen von Riemann tlber die ein- 
deutige Transformation einer algebraischen Function enthalten implicite 
ein Theorem, welches ausgesprochen werden möge: 



118 S. Kantor. 

2. Jede Transformation (i) ändert die Schnitte von C mit den c,_s 
in die Schnitte von C" mit den er' dieser, aber da eine adjungirte fr,_, 
eindeutig durch die Schnitte mit C bestimmt ist, findet man so^ dass die 
Transformation eine lineare Transformation U unter den c,_ , und c^^^ (als 
Individuen betrachtet) hervorbringt, während sie die c,., selbst in ein 
anderes System als die c:'._3 verwandelt. ' 

Sobald es möglich ist, den Singularitatencomplex der jr zu einem 
unicursalen Netze zu ergänzen (also im Systeme der c? eine solches Netz 
zu construiren) wird man unmittelbar eine Transformation (i) von C in 
C haben. Denn das Netz und das ihm entsprechende (nicht unicursale) 
von ^' bestimmen eine wahre Punkttransformation der Ebene, welche 
auch die Punkte von C in die entsprechenden Punkte von C verwandelt. 
Aber diese Ergänzung ist i. A. unmöglich, z. B. wenn der Singularitaten- 
complex eine Dimension ?/ < o hat. 

Ein beliebiges Netz von Curven (f„_.^ und das entsprechende Netz 
von if'„ 3 bestimmt eine Punkttransformation 

(3) '/».(.'/) : <t>,{y) : <t>Å!f) = 'l'\{x) : V\(x) : 'i'\{x) 

m 

welche die Correspondenz zwischen C und C enthält und man hat 

V. Theorem. Wenn zwei Transformationen (3) fur dieselbe Correspon- 
(lenz existiren, existirt eine Unendlichkeit, 

Beweis. Man schreibt ihre Formeln wie folgt: 

<i>,{y)<p{y) + <i>i{y)f'{y) = U<^)4>{^) + ''''Mfi^) 

wo ^ , ^ zwei willkörliche Functionen sind. 

* Herr Painlevé bcgeht in seiner Abhandlung: Mémoire sur les équations diffc- 
rentielles du jrremier ordrCf Ann. de 1'Ecole Normale, 189 1 — 92, einen Irrtbum, wonn 
er sagt, daHS die einfach rationalo Transformation die adjungirten (pn—z von C in die ad- 
jungirten <f'n'—z von C Uberftthre. Sie fttbrt die <pn-z in ganz gleicbgiltige Curven Uber, 
nur der Schnitt der <pn—2 mit C wird in den Sebnitt der <fn-2 noit C ttbergefttbrt. Aus 

dieser Verwecbslung stammt seine falscbe Formel fi =■ — -- . Die Transformation z. B. 

' 2; — 1 

Xi = x\ fubrt eine 6\ 2^ == 3 ^^ ®i°^ ^8 V ~ ^' ^^^^ ^°^ ^® ^^^/^ =^ 4- ^^^^ ^^'* P ~ ^ 
n willkUrlicbe Wertbe annebmen känn, ist gewiss; aber es ist durcbaus nicbt bewiesen, 
dasM eine I-£i-deutige Correspondenz in ciner elliptiscben öder auch nur in einer cu- 
bischen Curve stets aucb in einer l -/^-deutigen Transformation der Ebcnc entbalten wäre. 



120 S. Kaotor. 

VIII. Theorem. Die Zdlil p des Theorenies VII hann nicht > i sein. 
Beweis. Man känn auf 

(^ )(^ ^) ...(): I .../ 

Arten p — i Punkte in / Gruppen zu v theilen und dies ist die Zahl 
der Curven f, .3, welche durch die p — i Punkte bestimmt sind, während 
doch durch die p — i Punkte nur eine ^„__3 gehen soll. 

IX. Theorem. Im zweiten Falle van VII mussen die (p^ rationcd seiUj 
loefin p> 2. 

Beweis. Der 2. Fall der Zerlegung känn nur eintreten, wenn die 
Zahl p' fttr die Basis der ^ < o ist. Mittelst einiger Hilfssatze, welche 
in der nächsten Nummer folgen, beweist man nun, dass die Basispunkte 
vollständig unabhängig sein und die ganze Basis des Btischels einschliessen 
mUssen. Dann rauss dieselbe Eigenschaft auch in Bezug auf die einzelnen 
Bestand theile gelten, was ftir diese nur statt haben känn, wenn sie ratio- 
nal sind. 

X. Theorem. Im 2 . Falle von VII ist fur p > 2 die Curve C hy- 
perelliptisch. 

Beweis. Das Bttschel von rationalen Curven, welches die Matrix der 
adjungirten jr„_3 ist, känn birational in ein Btlschel von Geraden (iber- 
tragen werden und hiermit nothwendig die Grundcurve in eine Curve C, 
mit (n — 2)-fachem Punkte, also hyperelliptisch. Förp=2 sehe man XII. 

Man kennt das umgekehrte Theorem, dass fttr jede hyperelliptische 
Curve p> 2, u>o die adjungirten jr^.g sich in mehrere Curven eines 
BQschels theilen, Avoraus sofort folgt: 

XI. Theorem. Jede hyperelliptische Curve mit p > 2, u > o känn bi- 
rational in eine Curve der Ordnung n mit einem [n — lyfachen Punkte träns- 
formirt werden. 

Eine Consequenz dieses Theoremes, dass lineare Systeme hyperellip- 
tischer Curven p > 2 birational äquivalent sind mit Systemen C\a'^~^ be- 
weist auch die von allén g] eines Bttschels gebildete Transformation. 



122 S. Kantor. 

Beweis. In diesem Falle muss die Zahl der Schnittpunkte von ^„_8 
mit einem der Bestandtheile excessif sein; dies gilt dann umsomehr för 
(7„, Avelche also dieselbe Curve als Bestandtheil enthalten mtisste. ^ 



§ 2. Die Äquivalenztheoreme. 

I. Ich werde also jetzt eine Curve C^ mit p> i voraussetzen, welche 
durch eine birationale Transformation reproducirt sei. In der Collineation 
H unter den ^„_3 existiren p invariante Functionen, wenn nicht eine Un- 
endlichkeit, wobei der Fall eintreten känn, dass alle p Curven sich in 
eine einzige vereinigen und auch der, dass keine ^ invariabel sei, welche 
p > I hatte. 

Meine Methode besteht nun darin, dass ich auf die invariante Curve 
f> des Systemes denselben Sehluss wie den iiber C^ gemachten anwende 
und es nur als ein scheinbares Hindernis betrachte, wenn in Folge einer 
particularen Eigenschaft der C^ die feste Curve fp nicht p> 2 haben 
sollte. Denn die wahre Wichtigkeit ist den allén Curven fp gemeinsamen 
Singularitäten zuzuschreiben und statt also mich einer einzigen Curve jr 
zu bedienen, und däran die Bildung adjungirter ^' zu kntipfen, sage ich, 
weil das System ^* dasselbe ist ftir jede allgemeine unter den ^, dass die 
^' das zweite adjungirte System der C^ bilden. Es versteht sich von 



^ Ich mache bei dieser Gelegenheit auf das folgende Theorem aufmerksam, welches 
voD gaDZ besooderer Wichtigkeit scheint uod von dem sich nirgends eine Spur findet: 

WeoD p das Geschleeht, u die DimeosioQ, a die Anzahl der Punkte cines Singu- 
laritätencomplexes sind, so ist der Rang K des adjuDgirten Systemes ^ 

^p — u — <r + 6. 
Beweis. Es ist 

6p = 3(n—i){n — 2) — s'E{a— i)a, 

a 

2u = n(;n — 3) — 12{a + i)a 

und 

K = (n — 3)'^ — r(a — i)'^ = (71 — 3)' — 2:a»'+ 2i:a — a 

woraus die Formel folgt. 



t 



124 S. Kantor. 



1:24 ». J&antor. 

merksam zu machen, in deren adjungirter Reihe ein System hyperellip- 
tischer Curven p> 2 vorkoinmt. Man känn sie Jonquiéressche Curven 
nennen. 

3. Ich verfolge also die Reihe der successiven f> bis zur Ordnung 3 
öder 2 öder i , falls nicht zuvor ein hyperelliptisches System auftritt und 
mit Benutzung meiner Bemerkung tiber den Fall i® des VII. Theoremes. 
Dieser Verfolg känn jedoch unterbrochen werden, und wird bei einer 
nicht typischen Transformation stets unterbrochen werden mQssen, auf 
folgende Weise. 

i) Es sei an einer gewissen Stelle jp = 2, j)' = o, also ein BQschel 
rationaler Curven jp eingetreten. Die birationale Transformation, welche 
es in ein GeradenbQschel verwandelt, zeigt, dass C eine Jonquiéressche 
Curve ist und aber es gilt: 

XX. Theorem. Eine birationale Transformation^ welche eine Jonquiéres- 
sche Curve in, sich selbst verwanddt, ist äquivalent einer Transformation von 
Jonquiéres mit zwei coincidirenden (n — i)'fachen Punkten. 

2) Wenn an einer Stelle sich findet p = 3, jp' = o, also ein Netz 
rationaler f>, so verwandle ich dasselbe in ein Geradennetz und hiermit 
die Transformation in eine Collineation. 

3) Wenn p> o und p' = o, reproducirt die Transformation ein 00''"^ 
System von Curven ^ linear und daher wenigstens ein oo^"', ..., 00' System. 
Das cx)' System, welches immer existirt, ist birational äquivalent einem Ge- 
radennetze und die Transformation also öbertragbar in eine Collineation. 

4) Wenn an einer Stelle jp = 2, 2>' = i, so reproducirt die Trans- 
formation ein BQschel elliptischer Curven und ist äquivalent einer Trans- 
formation, welche ein Btischel von Curven C3, mit 9 5-fachen Punkten 
in sich transformirt, ^ sodass alle Grundcurven ebenfalls elliptisch wÄren. 

^ Der Bcweis dieses Theoremes möge hier aogedeutet werden. Die bekänn te Formel 

von NÖTHER 

— å[d + 2(r, +r,+ r,) - Sr,] — 2(r,r, — r') — K{r, — 1)^0 

^0 n = Tj + r, + r, + 5 und K der Rang des Systemes, gibt fUr Jf = O, indem man 
r^r^ = rl und r^ = r^ = r, voraussetzt, zwei Fälle n = ^r^ eder n < 3)^. Mittelst 
XXV beweist man fUr w = 3rj, dass das einzige mögliche BUschel jenes ist, wo alle 
Scheitel gleich vielfach sind und fUr n <. $r^^ dass Reductibilität cintritt. n > ^r^ ist 
unmöglich wegen XXXI. 



126 S. Kantor. 

FUr i) ist das folgende Theorem entscheidend: 

XXII. Theorem. Eine birationdle Transformation, welche ein System 
von C^ mit 5,6, 7,9 gemeinsamen Punkten in sich verwanddty hat alle 
ihre Fundamentalpunkte unter diesen Basispiinkten. 

Beweis. Man hat 3w — Sa, = 3, wo q < a, die Zahl aller Funda- 

mentalpunkte, aber auch 3(w — i) = Sa,, was q = a erfordert. 

4. Bevor ich die Consequenzen hieraus ziehe, will ich von einer 
Formel sprechen, welche ich in der citirten Note erwähnt habe. ^ Es sei 
^ 9 J/i • ' 'l/a öin Singularitätencomplex mit den Zahlen p y n. Wenn p', n' 
die Zahlen des i. und jp", n" jene des 2. adjungirten Coraplexes sind, ist 

2p = (n — i)(« — 2) — YJiH — 0. 

a 

2p' = (n — 4)(n — 5) — 2:(y — i)(y — 2), 

2p" = (n - 7)(n - 8) - i (y - 2)0/ ~ 3) 
und nach Subtraction 

P' —P + 3(^ — 3) = 2:(j/— i), 

P" — P' + ?>{n — 6) = Y(j, — 2) 
und durch neue Subtraction 
(i) 2p' — p—p" = tr—g. 



* Cf. auch die citirte Preisschrift IV. Theil § 4, p. 303. Id n° 28 Beiner Ricerche 
etc,, welcho er 189 1 publicirt hat, schreibt Q. Castelnuovo eino zweitheilige Formel, 
welche mit geänderten BezeichnaogeD dieselbe ist wie 2) im Tezte. welche ich bereits 
1885 in dcD Comptes rendus erwähnt hatte. Ich constatire, dasH der eben citirte § 4 
im Monate März 1 889 in Neapel gedruckt wurde (dass ich die Ricerche im April 1 892 
erhalten habe) und dass die Formel von Castelnuovo viel weniger sagt, weil sie eine Uii- 
gleichheit ist, während ich eine Glcichung gebe; dass er niemals die Zahl ^ einfuhrt, welche 
den Angelpunkt meiner Thcorie biidet, und dass selbst so scine Formel ungenau ist, indem 
das eine Glied seiner Disjunction zu eng ist, und dass er wie natUrlich sur Formel (3) 
picht gelangt ist. 



Neue Theorie der eindeutigon periodiacheD TransformatioDen in der Ebene. 127 

XXIII. Theorem. Zmschen drei sticcessiven Zahlen p j p' , p" existirt 
die Belation 

(2) 2p'—p—p" = (7— 9. 

XXIV. Theorem. Zunechen viersuccessiven Zahlen p , p'^ p'\ p'" existirt 
die Belation 

(3) i{p'-P")=p-p'"^ 

[Wenn man will, känn man aus (2) eine neue Methode för die Frage 
der maxirnalen Dimension bei gegebenem p herleiten, denn damit fQr 
gegebenes p' das p ein Maximum sei, muss a + p" ein Minimum sein, 
woraus äusserst leicht die bekannten Resultate folgen.] 

Damit die Zahlen p gleich seien, muss ^ = 9 sein. 

XXV. Theorem. Unter den Singularitätencomplexen mit denselben Zahlen 
p und a hat jener die kleinste Zahl n , fur welchen die Werthe y am nächsten 
einander gleich sind. 

Beweis. Ich verweise auf Sturm: Vber die Curven auf Flächen 3. 
Ordnung, Math. Ann, Bd. 21, p. 457, wc die anzuwendenden Formeln 
sich bereit finden. 

XXVI. Theorem. Man känn nur auf 4 Arten auf 9 Punkte einen 
Singularitätencomplex derart vertheilen, dass er p = n habe, 

Beweis. Fiir die Curven n = 31; hat man einen Complex p, . . . p, 
welcher gibt jj = «^ = i, also gibt jeder andere u> p. För die Curven 
u= ZV+ I gibt der Complex y^=y^ = ]^+ i, y^ = ... = y^^ p = u = p. 
För die Curven u=iu+2 hat man einen SingularitÄtencomplex y^ = ... 

= y« = J^ + ij ^6 = ^7 = ^8 = y» = ^> welcher gibt j) = w = v, od» 
y^ = i^ + 2, y, = ^3 = v + I, y, = . . . = y, = p, also p = u = 2p. 

XXVII. Theorem. Die Beihe der Complexe p = jp' = . . . = i ist nicht 
constructibel. Die einzige constructible Curve Cg^ mit 9 i^-faehen Punkten 
besitzt eine adjungirte C^ [u — i)'fach gezählt durch die 9 Punkte. 

Beweis. Mit Hilfe der elliptischen Parameter för die 9 Basispunkte 
genommen auf der Cg, welche sie bestimmen. 



128 S. Kantor. 

5. Ich fohre noch die folgenden nQtzlichen Theoreme an: 

XXVin. Theorem. Es existirt kein Buschd von p— i mit toeniger als 
9 Punkten. 

XXIX. Theorem. Es existirt keine Curve mit p = 2j u <2 mit tee- 
niger als 10 Punkten. 

. Diese Theoreme können fortgesetzt werden und eröflfnen eine ganz 
neue Kategorie von Problemen. 

XXX. Theorem. Es existirt keine Curve, wdche i>= i, p'= i, l>"< i 
Jiahen wurdef ohzwar die Formel (2) hieruber nicht entscJieidet. 

Diese Theoreme beseitigen einige leicht zu bildende EinwQrfe, welche 
man gegen das Vorwärtsgehen in der Reihe der successiven Curven ^ er- 
heben känn. Aus dem bei XXI citirten Theoreme schliesse ich: 

XXXI. Theorem. Es giht kein Buschel dliptischer Curven^ uh> nicht ein 
vielfacher Punkt >^- existiren wurde. 

Ich glaube sogar, dass man obere Grenzen der Ordnung angeben 
känn, (iber welche hinaus BQschel mit weniger als 2,3,4,5,6,7,8 

vielfachen Punkten > - nicht existiren. 

= 3 

Ebenso känn man mit Hilfe des Theoremes XXV aus den Formeln 

«* — « + 2 

^ 2 

ur='l±^, k = 9s' — Ss' = s* 
för die Curven Ct,ga' schliessen: 

ohne einen Basispunkt >^-- 

Im 2. Theile wird das folgende Theorem verwendet werden. 
XXXIII. Theorem. Fur die algebraischen Curven mit 5,6,7,8 s-fachen 



Neuo Theorie der eindeatigen periodisehen TraDsformationen in der Ebene. 12d 

Punkten existirt kein anderes lineares Curvensystem^ wdches auf C,, dmelbe 
Reihe amschnitte wie die Curven 6V,_i) {öder (7,,,). 

Es wird durch die Berechnung der Ordnung der Reihen bewiesen 
und hieraus geschlossen 

XXXIY. Theorem. Alle einfach rationalen Transformationen, wdche ein 
System van Cj, mit 5,6, 7,8 s-fachen Punkten reprodudrenj wo sjedenganzeh 
Werth > o annehmen kann^ sind nothwendig Urational. 

6. Ich gehe nun däran, das Gesammtresultat auszusprechen. 

XXXV. Theorem. Wenn eine birationale Transformation eine unend- 
liche Änzahl von Doppelpunkten öder von Cyclen eines selben Indexes i besitzt 
und dieselben wenigstens eine irreductible Curve p > i erfUlleny känn man 
die Transformation birational in eine Transformation einer der folgenden 
Arten Hbertragen: 

1 . Eine Transformation, wdche nicht méhr als 4,5,6,7,8 Punkte 
in der Charakteristik haty 

2. Eine Transformation von Jonquiéres^ wdche zwei coincidirende (n— i)- 
fache Punkte besitzt, 

3. Eine Collineation. 

Indem man sich der Resultate der cit. Abh. bedient, iiberzeugt man 
sich, dass die einzigen Transformationen der n° i, welche eine Curve 
von Doppelpunkten mit p > i besitzen, die zwei involutorischen Typen 
ö, und S^ und der von mir entdeckte Typus des Indexes 3 und der Ord- 
nung 13 sind, dass es keine aperiodische Transformation mit cx)* Cyclen 
eines selben Indexes in einer Curve mit p > i, ausgenommen die 1. c. IV. 
Theil, § 7 n. 7 entdeckte Classe von Jonquiéres^chen Transformationen, 
gibt und dass die einzigen Typen, wo jp > 2, jener involutorische, 2, 
ist. Also : 

XXXYI. Theorem. Wenn eine Transformation eine Unendlichkeit von 
Boppelpunkten, öder eine Unendlichkeit von Cyclen besitztj wdche eine irre- 
ductible Curve von p > i erfUllen, so ist sie periodisch bis auf einen einzigen 
Fall von Jonquiéres' schen Transformationen mit coincidenten (n — i )-fachen 
Punkten, 

Ada nnaitumaHoa. 19. Imprlmé le 16 férrier 1895. 17 



130 S. Kaotor. 

XXXVII* Theorem. Die eimigen bircUionalen Transformationeft, wdche 
oo^ Doppdpiinkte in einer Curve von p > i enthdlten^ sind 0^ und I^j der 
Typus N.^ und eine Classe von Jonquiéres scheti Träns formationen. In dieseni 
letzteren Folie ist die Curve hyperélliptisch. Fur S^ hat die Curve p = 4 
und eine Particularisirung . ^ 

XXXVni. Theorem. Es gibt keine birationale Transformation mit 00^ 
Doppelpunkten öder 00^ Gyclen selben Itidexes i, wdche eine nicht hy per- 
elHptische Curve von i) > 4 erfullen. ^ 

XXXIX. Theorem. Es gibt keine birationale Transformation, wdche eine 
nicht hyperdliptische Curve von p> 4 in sich transformirt^ ohne sdbst pe- 
riodisch zu sein. 

XL. Theorem. Keine birationale Transformation knnn eine aperiodische 
eindeutige Correspondenz in einer Curve p > i hervorbringen.^ 

Die vorhergehenden Sfttze beziehen sich auf die invarianten Curven. 
Ich liabe in ineiner Preisschrift bewiesen und einige Constructionen des 
§ 4 werden es ergänzen, dass jede periodische birationale Transformation 
wenigstens eine irreductible Curve p > 2 reproducirt. So gelangt man 
zum folgenden 



' Ein Theil dieser Frage, der sich auf die Doppelpunkte allein bezieht, ist der 
Oegenstand eioer Note von G. Castelnuovo (A c c. Lincei, Roma 7. Februar 1892), 
gegen welohe ioh 1892 eincD offenen Bricf geriohtet habe. Indem ich das Wesen dieses 
Briefcs hier bei Seite lasso, bemerke ich nar, dass Castelnuovo die Unriohtigkeit seines 
Thcoremcs unter Bcnutzung meincr Preisschrift hatte bemerken können und will von den 
3 mir zu Gcbote steheuden dirccten Bcwcisen fiir die Unmöglichkeit eines periodischen 
Typus Indexes 4 mit Doppelpunktscurve /) >> 2 die folgenden geben. Eine Transformation 
T der bchauptcten Art vorausgesetzt, wUrde man flir T' eine Involution haben, deren 
Doppelpunktscurve sich in zwei Theilc spalten mtisstc, deren einer Ort der Doppelpunkte 
fttr T, der andere Ort der involutorischen Paare fUr T sein wUrde. Eine solche In- 
volution ist stets im Grade reducirbar, sodass nicht 2> > 2 sein könnte. Obrigens da 
cx)' invariantc 6'^ vorhanden sein sollen, jede mit u — iw = 7", so mUsste die Doppel- 
punktscurve dieso Ch in jc zwei Punkten schneiden, also sicherlich hyperélliptisch sein. 

' Odör: ausgenommen i = I ^ 2 , 3 ist der Index in der Curve immer derselbe wie 
der Index der birationalon Transformation. 

Dieses Theorem folgt aus dem vorigen unter Hinzunahme einer Discussion der 
Curven, welche fUr aperiodische Collineationen invariant sein können. Das Theorem ist 
ein Thoil des Theoremes von Schwarz (Orelles Journal, Vol. 87), das in der Func- 
tionentheorie eine so besondere Stelle einnimmt. 



Neue Theorie der cindeutigen periodisohen TraDsformationeD in der Ebene. 131 

XLI. Theorem. Jede existirende periodische birationdle Transformation 
känn birational in eine Transformation der folgenden drei Typen ttbertragen 
werden: 

1° eine periodische ColHneation, 

2° eine Transformation von Jofiquiéres mit coincidenten (n — lyfacJien 
Punkten (afe), 

3"^ eine Transformation mit weniger als 9 Punkten (ef Theorem XXI) 
welche also eine C^Sa^ reproducirt. 

XLII. Theorem. Die geometrischen Relationen unter den Punkten, welche 
als Cyclen des Indexes i in einer penodischen birationalen Transformation 
der Ebene auftreten können^ sind im Wesen dieselben als die, welche bestehen 
unter den i Punkten eines collinearen Cyclus öder eines Cyclus in einer 
Jonquiéres' schen Transformation mit (aJ), ausgenommen gewisse Ketten von 
5,6,8,9, 10, 12, 14 , 15 , 18 , 20, 24, 30 Punkten. 

Mit Hilfe der Netze birationaler Transformationen gelangt man zum 
Resultate, dass jede birationale Transformation als Bestandtheil eines 
Bttschels betrachtet werden känn; deren Cyclen erfQllen eine Curve, för 
welche p > i erhalten werden känn, also: 

XLIII. Theorem. Bie Cycleti in den Correspondenzen auf einer Curve 

« 

p > I sind nicht wesentlich verschieden von den Cyclen, welche in den aperio- 
dischen Transformationen in discreter ÄnzaU vorhanden sind. 

XLI V. Theorem. Jede birationale Transformation^ welche ein lineares 
Ou* System von Curven mit p> 1 reproducirt, i>^ i, ist periodisch, ausgC' 
nommen die Collineationen. 

XLV. Theorem. Eine periodische Jonquiéres^ sche Transformation (ab) 
besitzt niemals ein invariantes 00* System von Curven p = ly i> 1. 

XL VI. Theorem. Wenn eine nicht hyperelliptische Curve von p > 4 
eine eindeutige Correspondenz gestattet und sie in eindeutige Relation mit 
einer der Curven des Theoremes XXXI gesetzt werden känn, so enthält sie 
eine Reihe eines der folgenden Typen: 

welche fur die Correspondenz invariant ist. 



182 S. Kantor. 

Diese drei Zahlen sind geliefert durch die Berechnung der Dimensionen 
eines Systemes von C„ mit 6,7,8 s-fachen Punkten. 

Um die Theorie der existirenden periodischen Transforinationen zu 
vollenden, bleibt tlbrig, die periodischen Jonquiéres*8chen Transformationen 
zu entdecken und jene mit invarianten linearen Systemen von C,, ohne 
sich der Fundamentalpunkte' und ibrer Eigenschaften zu bedienen. Dies 
soll der Gegenstand des 2. Theiles dieser Arbeit sein. 



% 9» ConstrtirCtian invarianter Curven fttr eine periodische 

birationale Transformation. 

1. Fcir die existirenden Transformationen känn man invariante 
Curven auf dieselbe Art wie 1. c. för die Characteristiken herleiten. Jede 
Gerade bestimmt mit allén ihren Transformirten eine zerlegte invariante 
Curve. Alle diese Curven bestimmen ein invariantes lineares System. 

2. Nimmt man fttr ein invariantes System die JacoWschen Curven 
aller Netze desselben, so setzen diese Netze wieder ein anallagmatisches 
lineares System zusammen. 

3. Man construirt eine involutorische Transformation, welche per- 
mutabel ist mit der gegebenen Transformation und man sucht fttr diese 
ein anallagmatisches lineares System z. B. jenes, welches Bertini erhält 
durch Verrainderung einer Vielfachheit einer Fundamentalcurve um eine 
Einheit. Dieses System wird auch fttr die gegebene Transformation in- 
variant sein. Die Construction ist aber nicht immer möglich, z. B. nicht 
fttr B,. 

4. Fttr zwei zusammengehörige Fundamentalsysteme ist der Ort U 
der Punkte, in welchen eine Gerade der Ebene I eine Bertthrung 3. O. 
mit irgend einer Curve des homaloldalen Systemes von I hat, durch die 
Transformation in dieselbe Curve Uj gebildet fttr das Feld I\ ttber- 
geftthrt. Wenn die beiden Fundamentalsysteme wesentlich ttbereinstim- 
men, so haben die zwei Curven 17, U dieselben Singularitätencomplexe. 
Lasst man ttberdies die Gruppen gleicher Vielfachheit (ConstructibilitÄt 
vorausgesetzt) colncidiren, so ist U eine invariante Curve. 



Neae Theorie der eindeutigen periodisoheD TraDsformatioDen in der Ebene. 183 

5. Die absoluten Invarianten einer Curve för lineare Transformation 
sind auch absolute Invarianten far birationale Transformation, wenn diese 
die Curve in eine andere mit gleichen Singularitäten verwandelt Also 
ist die Einhallende der Curven mit constanter absoluter Invariante in 
einein invarianten linearen Systeme invariant. 

6. Wenn man die Geraden sucht, welche eine beliebige der Curven 
des homaloldalen Netzes in einer Gr uppe von n Punkten schneiden, un ter 
welchen 6 existiren, welche auf der Geraden und auf der Curve zwei 
projective Gruppen bilden, so ist der Ort dieser Sextupel invariant, falls 
das homaloldale Netz fOr beide Felder ira Wesen tlbereinstimmt. Speciell 
der Ort der Tangentialpunkte der Undulationspunkte ist eine invariante 
Curve. Statt Projectivität känn man auch eine symmetrische Relation 
unter den absoluten Invarianten der zwei Gruppen verlangen. * 

7. Eine covariante Curve X,^^,, von fi Curvensystemen s^...s^ in 
I ist durch T in die covariante Curve A',...*' der /i transformirten Systeme 

tlbergeftihrt. Haben aber s^. . .s^ und $[. . .s'^ dieselben Singularit&ten- 
complexc, so gilt dasselbe fttr L , L\ Ftlr Coincidenz von I , I' sind 
demnach fi unter einander transformirte Singularitätencomplexe zu finden 
(u. zw., wenn transitiv, von gleichen Dimensionen).' Es scheint, dass fdr 
eine willkQrliche Transformation solche Systeme nicht existiren; ftkr eine 
periodische liefert jede Curve der Ebene eine solche Gruppe. Indem man 
aus fi solchen Systemen durch eine fQr alle Systeme symmetrische Eigen- 
schaft eine covariante Curve herleitet, wird man eine invariante Curve 
erhalten. Ein specieller Fall ist dann der, wo alle fi Systeme selbst 
einzeln invariant sind. 

7. XLVn. Theorem. FUr Jede Transformation des Indexes 3 ist der 
Ort der Punkte, welche mit ihrén zwei Transformirten alineirt sind^ eine in- 
variante Mannig faltigkeit. 



^ Fttr zwei nicht symmetrisolie FuDdameDtalsysteme erhält man auf diese Art sicher- 
lich Systeme derselben OrdnuDg, welohe einander entspreohen. 

' Da die Singularitäten von L ganze Fanotionen der Singularitäten von $^.,,811 
sind, befindet man sich dem Umstande gegenttber, dass die genannten arithlnetiscben 
Functionen durch eine lineare Substitution in sich selbst ttbertragen sind. 



134 S. Kantor. 

Fur jede Transformation T des Indexes 4 ist der Ort der Punkte, 
welche mit den drei Transformirten in einem Kegdschnitte durch ein m- 
volutorisches Paar öder durch z^wei Doppelpunkte von T sind^ invariant. 

XLVIII. Theorem. Der Ort der Punkte in einer periodischen Trans- 
formation des Indexes i {im B,), wélche mit den i — i Transformirten einer 
algébraischen {öder transcenderiien) Bedingung genugen, welche fur die i Punkte 
sowie alle sonst eintretenden Punkte symmetrisch isty ist invariant. 

Z. B. der Ort der Punkte, die mit ihren Transformirten ein i-Eck 
von gegebenem Volumen bilden. 

8. Ftir die Transformationen mit 8 Punkten in der Charakteristik 
erhält man invariante Curven durch die cx)^ Bttschel Cg,ga% von welchen 
8 Scheitel die 8 gegebenen Punkte sind. Die 9. Punkte erfullen eine 
Curve, welche auf jeder C.^ des Btischels Punkte mit den Parametern 

Sa H — hat, von welchen einige auszuschliessen sind. FOr die rationalen 

8 

Curven fällt eine Anzahl dieser Punkte mit dem Doppelpunkte zusammen. 
Die Ortscurve zerlegt sich in Bestandtheile gemäss den 5*^ primitiven 
Einheitswurzeln. 

9. XLIX. Theorem. Ftir eine Transformation der Ebene {öder des B^) 
besteht unter den Punkten p und den Geraden jp^'^^^/*^ {öder den Ä, durch 
j)*' . . . ^^'+') eine einfach rationale Transformatioti, 

L. Theorem. Fur die periodischen Transformationen^ welche eine interne 



i 



/g besitzen, ist die Transformation unter p und der Geraden pfp '* 1-2* 
deutig. 

Beweis. Durch einén Punkt p der Ebene sind der Cyclus und die 

v-\- — 
Gerade p^p ^ bestimmt; die Gerade aber bestimmt, da /g von der i. 

Classe ist, ein einziges Paar, also zwei Punkte jp, je nachdem man den 

einen öder anderen Punkt des Paares alsp^nimmt. Ebenso beweist man: 

LI. Theorem. Fur die periodischen Transformationen der Ebeney wdche 
eine interne Involution l^ haben, ist die Transformation unter den zwei Ge- 



Neue Theorie der eindeutigeD periodischen TraDsformationeD in der Ebene. 135 

ii 

raden y^p ^ und p'p ^ , wo /i und v zwei ganzé Zahlen < i sindy biia- 
lional und periodisch vom Index — — , wo 6 das kleinste Vielfache von i 
und /i — v. 

Ferner: Ftir die periodischen Transformationen, welche eine interne 

Involution i,, haben, ist die Transformation unter den Geraden p^p 

i 

und p"p ^ 4-4-deutig, aber periodisch. 

Die so entstehenden mehrdeutigen periodischen Transformationen ver- 
dienen Beachtung. Man erhalt andere, indem man die Geraden {pp^) und 
(py) eines selben Cyclus in Verwandtschaft setzt. Hier können sie dazu 
dienen, um invariante Curven zu bestimmen, da die in den Tangenten 
einer invarianten Enveloppe enthaltenen Punktepaare eine invariante Curve 
liefern. 



2 



§ 4. Die para/metrische JDarsteUung dei* Curven und die 

periodischen Transformationen. 

L 

I. Damit eine Charakteristik in einer C\ enthalten sei, bestehen 
folgende Bedingungen. Die Projectivität in Cg mit der Spitze als Doppel- 
punkt ist 5w' + 0w + D==o öder u' = —{C : D)u — {D\ B). Drei ali- 

G D 

neirte Punkte w^ , f/j , Wg sind Dbergeföhrt in — ^w< — -^j welche zu den 

Parametern b eines der Fundamentalsysteme addirt geben 

wo y9i die Vielfachheiten der Punkte b. För einen Fundamentalpunkt 
erhält man durch Einftthrung des entsprechenden Punktes in die Funda- 
mentalcurve 

-§ + (äi -^)\ +ÄA + ... + /?,A = o, 



136 



8. Kantor. 



öder unter Voraussetzung der Oolncidenz (fl<,6i) 



-§ + (A.-J)*, +ÄA + --- + /5.A = o, 



was #T+ I Gleichungen gibt, deren Determinante 

— 3 Pi Ä • • • P^ 

D = 



• • • 



c 



I Pa\ P&i • • ' Po, -E 



— 3» 



C 



C 



Ä A • • • 
o 



/5. 



3A, + ]} Al — ^ A» • • ' A, 



C 



~~ 3 A, + B /'i ^rt • • • /5« — ;g 



D = 






Ä 



Ä • • ' A 



o 



A, Al — R A» • • • ^«rt 



P»l f'»» • • • f*»» -D 





3 A A • • • 


A 


+§ 


' A» B A» • • • 

• • • • • • 


A. 

• 




I /5ai /5^ • • • 


^" — B 



Neue Theorie der eiodeatigen periodUohen ' TransformatioDeD id der Ebeoe. 137 



endlichy weil die zweite Determinante — D ist, und mit a;' = — x = — -^ 



O 
B ' 



D = — 



3Ax 

X + I 



3 Ax 



LII. Theorem. Die Determinante, welche uber die Existenz einer CTia* 
rakteristik auf CJ entscheidet, ist bis auf einen Factor x — i proportionäl 
der Determinante fur die fundamentale Substitution der Characteristik. 

Q 

Da der Werth von — — das Doppelverhältniss der Projectivität auf 
C\ ist, 80 erhalt man: 

LIII. Theorem. Wenn eine Characteristik in einer CJ construirt werden 
kanny so ist der Periodicitätsindex in Cl derselbe wie der Index der ebenen 
Transformation. 



2. Derselbe CalcQl gibt fOr C^ p = 
ungen durch Congruenzen modulo der 
terminante dieser Congruenzen 

_3A- 



= I unter Ersetzung aller Gleich- 
2 Perioden von C, fttr die De- 



D = ^ {mod K, iK'l 
wo die Correspondenz in Cg ist w' + äw = /- und gesetzt ist 



A_. = 



n — k 



A 



p^ 



Ph /?n + * • • • (iu 



Pa\ • • • paa "I" k 



Die Vergleichung mit den Resultaten 1. c. lehrt, dass diese Determinante 

fttr die periodischen Typen und för k = yj— i öder + - ( — i ± ^^—3) 

stets einen ganzzahligen Werth hat. Wenn die Determinante verschwindet, 
80 sind die Congruenzen ft\r jeden Werth von ^ verträglich und mit dem 
Werthe von j- rechnet man die Werthe der Parameter der Punkte der 
Characteristik. 



Äeta nuUhtmatica, 19. Tmprime le 18 féTrier 1895. 



18 



138 S. Kantor. 

3. Die frftheren Resultate sind dahin zusamraenzufassen, dass jeder 
Typus eine Cl reproducirt, ausgenommen nur r\jH^ und Hl. 

LIV. Theorem. Fiir jede construirbare periodische Transformation exu 
stirt eine Varietät mit einer eigentlichen anallagmatischen C^. 

Beweis. Wenn der Typus eine C^ reproducirt, kaim man die Fun- 
damentalpunkte der Transposition, welche auf die vorgelegte Characteristik 
fQhrt, so wählen, dass alle Fundamentalpunkte in einer selben der in- 
varianten Cj sind. Also wird die äquivalente Transformation die trans- 
ponirte G^ reproduciren. 

Regel. Um zu untersuchen, ob eine periodische Characteristik einem 
constructibeln Typus aquivalent sei öder nicht, hat man die Construc- 
tibilitat in einer der Curven CJ, 6',, Cf^, C^ mittelst der obigen Congruenzen 
zu untersuchen. ^ 

IL 

Die vorstehende Rechnung ist ein besonderer Fall einer anderen, welche 
sich auf invariante Curven des Geschlechtes p bezieht. 

Die Correspondenz auf C„ verwandelt die p Integrale i. Gattung 
unter einander mittelst der Formeln 

^1 = ^11^1 + ^12-^2 + . . . + yjiplpy 



■^p 7pl ^\ I "^pl -«2 "r • • • I '^pp ^p 

und eine Summe ^/<'^ + • • • + KI\^^ verwandelt sich in 

Es sei nach dem ABEL'schen Theoreme die Summe der Integrale öber 
n alineirte Punkte 

7(1) + ... + i^:^' = K,. (c.,...p) 



^ Ich bczcichne mit Ce , Ch , Ck eine äquianharmonische, harmoDische öder will- 
ktlrliche C,. 



Neue Theoric der eindeutigeo poriodischen Transformationcn in der Ebene. 139 

Die Entdeckung der birationalen Transformationen, welche diese 

Correspondenz enthalten, theilt sich in zwei Theile: 

I^ Sei 

m a^ , . . a. 



'ffj 



(O 



— a^ a^i . . . a^„ 

die Matrix der birationalen Transformation, welche den gegebenen Singu- 
laritätenconiplex der Curve reproducirt. Wenn die Berechnung dieser 
Matrix ohne Erfolg ist, känn die Transformation nicht existiren. 
2°. Seien 

(2) Äf^Äi\ ...,^j:^ (*-^ ^ 

die Integralsummen in den a Punkten der Characteristik. Ferner seien 
I^P . . . i^"^ (i = I . . .jp) die Werthe der Integrale in n alineirten Punkten 
und Ki ihre Summe. Ferner seien [/JS • • • > M" (* = ^ • • -JP) die Inte- 
grale in den Schnittpunkten mit der transforrairenden Curve. Die Con- 
gruenz 

(3) m' + . . . + OT = GtaJSTi + . . . + ot,,Ä, 

liefert 

Betrachten wir das Integral I^. For eine Gerade durch den Punkt b^ 
gilt die Congruenz 

JO) +• /(») + ... + /(-».) + B\ = K„ 

wo ^1^^ die Integralsumme der sämmtlichen Nachbarpunkte von h^ ist. 
Seien If-p , Ä^ , . . . die Integrale der Punkte des ersten Feldes, welche 
durch die Correspondenz in die Punkte i,2,.., n — 6j tibertragen sind. 
Dann wird gelten 

/y\'> + . . . + nr'' + («. - «n)^V' + K - «„)4'' ^- ... = \K, 



140 S. Kantor. 

und weil 

fli*> = a;,i\" + ... + «;,/<», 

wo aj;t der Minor von a,^ in der Determinante der a^, so wird 

//{•>+... + //<"-'■' = a[,{K, - B<'>) + . . . + a\,{K^ - i?*;>) 
und 

aU{K, - ^.") + . . . + a[,{K, — Z?;') + («, - fl„).4<" + . . . = (m - éjÄ-, 

und durch Substitution von (4) 

bj{^ — Zotnjyi^^ — a,,A\'^ — ... — ((,,A\^^ = o. 
Wegen der Coincidenzen der Characteristik wird man haben 

Die j) Congruenzen werden 

p 

(5) rt;,, K^ — Ti a[, ^^^ — an 4'^ — . . . — au^"^ = o <;,» 1. ....p) 

öder 

(6) a,, K, - ?l^ - o,, 4» - ... _ fl,,^jr' =: o. (1:1;:;.; J) 

Die Zahlen a sind bekannt als Resultat des arithmetischen Problemes und 
man hat so pa Congruenzen unter den pa Grössen Ay welche man auf- 
lösen muss. 

Die Congruenzen (6) werden zur Bestimmung der Coeftlcienten der 
Curve dienen können. Dies ist die Form des Problemes, wenn man die 
anallagmatischen Curven in einer gegebenen periodischen Transformation 
sucht, z. B. die Curven C\, mit 6,7,8 5-fachen Punkten. 

In allén Fallen, wo es möglich ist, die a,^ auf die canonische Matrix 
Än .» . . . > OLki zurtickzufQhren, vereinfacht sich die Rechnung. Ein solcher 
Fall ist jener der periodischen Transformation, in Consequenz der Theoreme 
der Herren Weber und Fkobenius. (Ann al i di Mat. ser. 2. Bd. 9, 
Crelles Journal, Bd. 95, p. 264.) 



Neue Theorie der eindeutigen periodisohen Transformationen in der Ebene. 141 

[i] {m — o„)X, — «! ^V^ — ... — a„AY> = o, 
[2] (m — «„) Ä, — a, i4<,'' — . . . — a„A'^'* = o, 



[p] (»» — Opf) Äp — a, ^;> — ... — fl, A^;^ s o, 
[i , j] fl,,Xi — a„4'> — ... — (rtu. + a„)^\*'> — . . . = o, 

[|) , /] (i^^ K^ — a,,A^^^ — ... — (a^, + a J ^^/'^ — . . . = o. 

Die CJongruenzen [i],[i,i],...,[i,<t] dienen dazu, die Ä^;^ und 
ifj zu bestimrnen. Der Nenner dieser Grössen ist A^^^, der Werth von 
A, ftlr o; = »jj. Damit die A nur eine endliehe Anzahl von Werthen 
haben, muss A^,, eine cominensurable Zahl sein. Also liefert die De- 
terminante A^^, gleich Null gesetzt eine Gleichung mit ganzzahligen Coeffi- 
cienten, welche durch die Wurzeln der bekannten Gleichung von Herrn 
Wbber befriedigt wird. 

Die einzigen Ausnahmen der vorhergehenden Kechnungen sind die 
zwei besonderen Curven C3, 7a' und C^ 8a'. 



III. 

Es bleibt öbrig, för eine der typischen Transformationen die Gleich- 
ungen der invarianten Curven zu suchen. 

I. För die Typen mit 6 Punkten hat man 4 invariante C^j:^^,^^, 
^3 , ^^ und kennt (cit. Abh.) die Indices in der Collineation unter den 
co' (7j, welche sein wird 

Man biidet eine ganze Function F{(p^ ? F2 > ^'s ' Pi)y welche durch die Mul- 
tiplication der ^ mit den e nicht geändert wird und, indem man die f) 
•durch die Ausdröcke in den x ersetzt, erhält man eine Function, welche 
invariant ist för die gegebene birationale Transformation. 



142 S. KaDtor. 

2. Ebenso fOr die Typen mit 7 Punkten: 

LV. Theorem. Älle algehraischen Functionen, welche durch einen Typus 
mit 7 Punkten ungeåndert bleiben, sind eds game Functionen dreier inva- 
rianter C3 und ihrer JacobiscJien Curve H darstettbar. 

Die Coefficienten der CoUineation unter den f2??,^<^^ und H er- 
geben sich aus den Resultaten der citirten Abhandlung. 

3. Fttr die Typen mit 8 Punkten hat man eine leicht zu schreibende 
Curve 6. Ordnung (p und die Curve D^, Jacobiana der Cg (8a'), welche 
invariant sind. 

LVI. Theorem. Als Functimi von (p , D^ und zweier invarianter C^ 
sind alle invarianten algebraischen Functionen ausdruckbar. 

4. Fttr die periodische Transformation des Typus von Jonquieres 
drttckt man jede invariante Function durch x^^ , x^ und C^f aus, wo C^ 
die Curve der Hemicyclen ist, und die CoUineation ist 

Xi : X.2 ' Ojj = Xi : Bf^^lX2 1 ^A+i^ir» 

Mittelst Quotienten solcher Functionen F wird man in allén Fallen Func- 
tionen haben, welche absolut invariant sind. 



IL THEIL. 

Methoden f&r die Auffindung der existirenden periodischen 

Transformationen. 



Nachdem in § 2. I. Theiles 6 Classen gefunden wurden, unter 
welchen die Typen der algebraisch existirenden, periodischen Transforma- 
tionen zu suchen sind, nämlich jene von Jonquieres, dann jene mit 4, 5, 
6,7,8 Punkten, schliessen wir von Anfang an jene mit 4 und 5 Punkten 
aus, welche nothwendig quadratisch öder cubisch sind. Man verschafft 
sich nämlich sehr leicht die Bedingungen fftr die Lage der Fundamental- 
punkte und erkennt ttberdies, dass alle diese Typen in Wahrheit Colli- 



Neue Thcorie der eindeutigen periodischen TraDsformationen in der Ebene. 143 

neationen öder quadratischen öder cubischen Transformation mit (ab) äqui- 
valent sind. 

Die grösste Schwierigkeit in der Entdeckung der existirenden Typen 
trifft man bei den Typen mit 6,7,8 Punkten. Ich gebe also directe 
Methoden, um diese Typen zu finden und a posteriori die Identität mit 
den auf ganz verschiedene Weise in der Preisschrift construirten Typen 
herzustellen. 



§ 1. Die Typen mit 6 Punkten. 

1. Das CO® System von C^ durch 6 Punkte ist bereits oft ftir die 
Untersuchung der Flächen 3. O. angewendet. Ich habe zuerst eine Me- 
thode gegeben, ^ um umgekehrt die cubischen Flächen zur Auffindung 
von Eigenschaften der 6 Punkte in der Ebene zu verwenden. 

2. Eine birationale Transformation, welche ihre Charakteristik in 
den 6 gegebenen Punkten hat, verwandelt die oo^ C^ unter einander und 
man känn sich eine Transformation des i?j denken, welche dieselbe Ver- 
tauschung auf der F^ hervorbringt wie jene, welche als ebenes Bild die 
birationale Transformation der Ebene hat und man sieht sofort, dass als 
diese Transformation der i?g eine Collineation genommen werden känn. 
Statt nun wie soeben aus der Ebene heraus* auf die Collineationen im R^ 
zu schliessen, stelle ich zuerst die Collineation auf und mache dann die 
Abbildung der durch die Collineation in F^ hervorgebrachten Umwand- 
lung auf die Ebene.' 

3. Zur Entdeckung der Collineationen bediene ich mich derselben 
Methode, welche ich im § 3. I. 1. c. angewendet habe, um voUständig 
die Collineationen zu finden, welche eine ebene cubische Curve reprodu- 
ciren können. 

Sei 

^ Comptes rendus de rAcadémie des sciences de Paris, 5 janvier 1885. 

"^ Der Erste, der die Untersuchuog der projectiveo Systeme auf Flächen u. zw. auf 
Flächen 2. Ordnung, auf synthetischem Wege unternommen hat, ist Herr Zeuthen, Ma- 
them. Ann., Bd. 26, p. 247. Es ist keine Frage, dass man auch zur Auffindung der 
collinearen Systeme auf Flächen 3. O. synthctisch gelangen känn. 



144 S. Kantor. 

(lie Gleichun<]f einer F, und sei 

(2) x\ = \,x^ 

eine auf ihre canonische Form zurQckgeffthrte Collineation, welche Form 
hier stets vorausgesetzt werden känn, da es sich um periodische Colli- 
neationen handelt.^ Denn die Umwandlung auf F, muss ebenfalls peri- 
odisch sein und da F^ als irreductibel vorausgesetzt ist, muss die Colli- 
neation nothwendig auch periodisch sein. Ich untersuche also die peri- 
odischen • Collineationen, indeni ich A^ gleich Einheitswurzeln setze, die 
Substitution von (2) in (i) mache, wo ein Glied x^^^x^x^x"!^* durch die 
Collineation den Factor ApAJ^AJ^Af* annehmen wird, sodass (i) nur dann 
invariant sein wird, wenn die Grössen 

(3) Ar*A?«ArAr 

denselben Wertli ftlr alle Glieder haben. 

Um hierttber zu entscheiden, theile ich die linke Seite von (i) nach 
der Transformation in mchrere Aggregate gemäss den Factoren (3). Die 
folgende tTbcrsicht ist das Resultat dieser Arbeit. Da allés von den Ex- 
ponenten abhängt und nichts von den Coefficienten, so werde ich diese 
unterdrl^cken. Auch schreibe ich (2) einfacher X^x^ : X^x^ : X^x^ : Å^x^. 

m 

+ jqx, + XJX, + X\X^ + X^X^X^\x\ + x\x^ + x\x, + x\x, + x,x^x, 

+ ^,^8^4 + ^2^3^4||- 



^ H" ^ + -X^i-^^s + ■X2X1 + XgXi + XJXj + XJXj 4" ^-^2 + -^CiXjX^ 

+ X2X3X4 II ^ + XJ + XjXg + X2X3 + ^^4 H" ^2-^4 + ^^4 + ^k^l 

+ XjXjXg + XjX^X^ 



' Was die Reduction cincr Collineation auf die canonische Form betriffr, hat man ia 
neuerer Zeit Arboitco von Netto, Kronkcker, Lipschitz, Prym und neucrdings von R06T, 
welche sic ausscr allcn Zweifcl sctzcn. 



Nciio Thcorie der eindeutigOD poriodischen TraDsformatioDen ia der Ebene. 145 






£»= I 



Aj + ^2 4" ^8 H" ^1^2 4" -^^1 H" -^-^1 ~h -^3-^2 + -^1-^8 "f" -^^8 "t" ^l^^X, 



9 



~Y' A^ ^4*^1 "i »^4 '* 2 l" •*^4 •*^3 ■ Ou^CC*^CO^ "J" ♦*'ii<^3i'p4 "i **^2*^8*'^4 "l "^i»*^4 |" •*^2*^4 i" •''8**'4 



4. ojj : ojj : ea;, : ea;^, 



£'= I, 



X? + Ä1 + XJ + XJ + X\X, + X^X, II xlx, + x-a;, + a;>, + x\x, + a;,a;,a;, 

~y~ ^i*<^2**^4 I '''3 "- 1 ~l *<^3**'2 1" '^'A \ i" •'^4»*'2 ~| •CjiZ/g»!/^ ~j~ X^Ou^X^ 



5» ipj 2 u/j ! ^^3 • ^ »^^j 



e'= I, 



+ XjX^Xg + X;Xj + XJX2 + ^-^4 ^^i + ^^2 + X1X2X4 + XJXj 



+ ^^4 H" •^2-2^4 j- 



l^ = — I, 



•3^1 + ^3^1 + ^^1 + ^^3 + ^2-^4 H" ^1^8^4 11 ^^8 + ^^4 4" -^-^^l 

+ XjX^ + XJXg + XJ + XJ ; x\x^ + xlx^ -i- xlx^ + x^x^x^, IXyX^X^ 



8 ; 



-p XiX^X^ -j" 3/2 • 



y. »Z'. • ii/„ • iXn • fX.j 



i* = — I 



^\ 4~ ^Xj 4" X2X3X4 + XjÄj + ^Xo II XjXj + Xj + X1X3X4 + XyXj 

"T~ -^4-^1 ' »^l-^S I ^2*^8 I ^1*^4 I ^2*^4 OC^X^X^ -j- X^X^X^ I »^3 I »''4 l" ^Z^^i I •^4*'^J 



ö. 3/- I ~~~ 3/q • ^^o • 



?^4' 



l^ = — I 



XJ + XoXi + XjXgX^ + X5X2 + XJXj II X2 + XjXj + X3X1 + XjXj 
+ X2X8X4 II X4 + X, Xj + X5X3 + ^^4 + XiX2X4 II Xj 4" ^^i 

-f" X., Ai + XjX., -t" Xi AoXo I. 



y» i7/| ! Xa • ^•*^3 • * '4' 



£"= I, 



»"^l "1 X2 "1 X^X^ "y~ X^X-^ ~J~ X^X^ X*^ "y~ X^Xt^X^ "^ ''^2 3 4 I "^4 l" *'^\*^i "l »^2 8 

"T ^1^2''^3 j ''^I'''^4 "T ^2*^4 "T '^S*^! I •''^:J'^'3 I XiX^X^ X^X^ 4" •'^i^l 4" ^4''^2 I • 
Ada ynathematiea. 11). Imprimé le VJ férrier IROö. 19 



140 



S. Kantor. 



I O» »C. I BOOn I S 00^ ', S 00 . y 



e'= I, 



fl/J ""y" Ou^X^ "7~ Ou^Ou^ "J" (X/^QO^(C^ l o/j "|~ 00^00^ —y^ *^'A**''\ l" •*'2**'3»*'4 00^00^ i" 3/3«*'j ~y~ OOyiC^ 



4 2 



iCj ~j~ o/i o/^ ~j~ OO^X^ "Y" OO^vO^X^ I 3/j "^ X^X^ ~j~ •''3 •*'i "i" wCj .*^2 •*^4 '• 



II. ic, : e:i;, : e'a;, : e^a;^, 



6'= I, 



•IPi ~j~ X^X^ i" Xj^X^X^ X^ "^ X-^X^ ~j~ X^X^ "j^ »Tjii/j ~j* X^X^X^ I 3/^ "y" X^X^ i* X^X^ 
-p ^8*^1 /l »^1^3 ^4 •'^4 I ^1^3 "l X^Xi -f- X^X^ -J- XfX^X^ 1.^2 -f" X^X^ -p fl/4iri 

~J~ XyX^X^ 3/j 3/4 ~y~ 3/2 »Ts i" X^X^ 

12. x^: x^: — 3?3 : so?^, 
ZJ + :^ + X?X, + X»X, + XJX, + Z?Z, + XJ a;» + a;?a;, + a;|a?, 



"p X^X^X^ j X^X^ "^^ X^X^ ~j~ X^X^ ~j" X^X^X^ X^X^X^ ~y~ XoX^X^ X^X^ "p~ X^Xq 



X^X^ 



I 3» »^i • ^»"^o • ^ •*'3 • 



3? 



4' 



Xf + XJ + X? + XJ^j + XjX^Xg II xj + 3;?:r4 + x,x,x, \ x\x, 
+ aJjrraOJ^IlXJX^ + X^X3 + XJX^ + XJX^I XJX^ + X?X, + X^X, 



+ XJXsl x\x^ + x\x^ 



x^x^ 



14. x^ix^i — x^: — ex^y e" = i, 

^f + ^2 + oo\x^ + a^jrci + rrJiTi + x\x^ || XJ + XJ + XjXjX, + XJXg 
+ X2X3 II x\x^ -f x\x^ II 3^^3:3 II rCi3;8a;4 + x^x^x^ || 3;i3:-2^4 + ^1^4 + ^2^4 + ^8^4 



I 5 • 3/| I SXq • ^»"^j • ' X. 9 



e" = I 



Xl+ XI + XI + XJX, + X,'X, + XIX, I zj + aj?j:, l| x^x, + .r?a;, + x]x 



""|~ XäXo i X^X^ "y" XqX^ "j~ Xj 3/2 3^3 I 3/2 3^4 i" 3/33^4 ~p 3^2**^3*^4 X^^X^X^ ~y~ X^X^X^ 



16. 3^, : s3?2 : — si^g : — s 3^^, e = i, 

3/1 "|~ 3/2 |~ X^X^ |~ X^ X^X^ 3/3 "|~ 3^4 "y~ X^X^ "y~ X^^X^X^ ' XyX^ "y* X^X^ 

+ !■ 2 I 2 I ,2 r 2 I ,2 I 'I 2 I 2 i 2 

XqX^X^ I 3!^i 3^3 , 3^2*^4 -p '^s-^^ 1 1 •^i''^4 I •^4'^3 I •^'\'^2'^':i 1 1 ^2'^l I •'^:J'^i i .^43*0 



Neue Theorie der eiDdoutigen periodisohen TransformatioDeD in der Ebene. 147 



^1+^2 + ^1^2 + ^2^1 II ^8 + ^4 + ^4^8 + ^8^4 || ^8^1 + ^8^2 + ^4^1 + ^4^2 

+ x^x^x^ + x^x^x^ XyX^x^ + x^x^Xi + ^1^3 + x\x^ + rcJflJs + ^2^4 1|« 

* . 

1 8. x^ : x^ : sa^g : e^iP^, £*^ = •! , 

*C| ~|* 3/2 "i Xt^Xy^ ~j" 3/ j iCo "^ X^X^Qu^ ~j~ X-^X^X^ X^ X^ X^OC^ ~j X^X^ "^ X^X^ 
~j~ X^XqX^ X^X^ ~|~ X^X^ "7~ X^X^ "j^ XyX^X^ X^Xi ~j~ X^X^ X^Xy "I" x^x^ 



8, 



19. a^j : rr, : eajg : e^a;^, s^ = i, 

•*^i "1 »^^ "1 XyX2 "i X^Xy ~j" X^X^ X^ "^ XyX^ '^^ X^X^ ~j~ XyX^X^ X^ "^ X^Xy 



"y~ iTg 3/2 3/ 1 37g ~j~ X^X^ ~j~ XyXt^X^ X^X^ i CC^X-^ "^ X^X^ X^X^^X^ "^ X^X^X^ 



2 3 
2 O* 3/| I S3/a i c ^« * S 3/^9 



e'=i, 



3/j ~j~ »^^s •*'4 1" »^4 •»'j *'^2 "i X^X^ "j" X^X^X^ X^ "^ X^Xi ~j~ X^X^X^ X^ ~j" X^X^ 

+ a;? 0^3 IrriOJa + ojJiTa lajjrrj + ajjOJi + iria:jir4 |a;2a;4 + a^Jo?, + flJ,a;8a;4||. 



2 4 

2 1 . 3/. ! £Xn * S 3/g ! £ X. y 



37j i" 3/2 3/3 ^4-4 .'i/J "j~ 3/43/3 ~| 37j»t/23/3 0/3 "y" X^X^ ~j" X^X^X^ I 3/^ "^ X^X^ 



e* = I 



.3 



+ iPia?2^4 i •'^1^2 + ^8^4 II ^2^1 + x\x^ + a?4a?2 1| x\x^ + iTja^s + a^srTi || 
und die tlbrigen Collineationen Indexes 7 liefern ebenfalls keine Typen. 



2 2 . 3/. I Xn • 'iCo • yl X. 9 



i' = I 



3/ 1 ~j~ 37^ "j~ XyX^ 1" X^Xi "j~ X^X^ 3>3 ~j~ X^X^ i" XqX^ ~j" X^X^ X^ -f" X^X^ 



~y~ X^X'2 I 37^ 37 1 373 ~^ 372 3>3 ~j~ X^X^Xq 37j 37^ ~j~ X^X^ "j^ X^X^X^ 



X^Xi 



"t" •'^8^2 II '^3'^4 X^X^X^ -J- XyX^X^ . 



23. 



37 



1 • 



a:^ : — i373 : y/io;^, i^ = — i 



37| -j- iTo'^! 1" »^8*^2 I *''4*^8 »^2 I XyX^ "T" X^Xi 3/3 -f- X^Xi -\- X^XqX 



'8 



a; 



I .'^2i'^j^4 II '^i^^y 1 *^2*^3 I »^.1^'i II X^X^ -f- 375374 X^X^ -p XyX^X^ II 37j 373374 j 



148 



S. Kantor. 



c — 1, 



24. x^ : sx^ : e^rTg : s*x^j 
XI + XIX, + XIX, + XIX, I xl + xl + xl + x,x,x4x]x,\\xlx. 



I 2 



^2 1 



! .W.2 



! o 



I ^1^S^4 \\ *^2*^3 I ^8^'2 I ^4^3 I ^J^l "T ^1 3/2 2!/4 il iC^ä/i -J- X^X^X, 



e'= I, 



2^. 3/- r — - u/„ ! ^^3 • ^ **^4> 



verlaiigt einen Doppelpunkt in der L\; ebenso die ttbrigen Collineationen 
des Indexes lo wie 



26. x^ : — sx^ : s^OJg : £*J^^, £* = i, 



^? + a;^^3 + xlx, II ir? + x,,x,T, \\ xl + ir^a:^ jl xl + rr^irr, || rr^T^ || rr^o;., + .^Jrr, 



2 7. ic/j I ~~~" X\j I '^*^s * '45 



e'= I, i* = 






X? + :X» + X,' JC, + A'-X il J-» + ;r;:r, + iCi^:, j .-rj x',x, + a^^r, ij a;i.r, 



Il o 



•^'2 »^4 II '^S^^l J ^3-^2 j[ *^3*^4 II '^'A'^'6 I •'*1'^2'''^3 |.. •^•.»^a^^^ »^1*^3 »^4 'J •^'l«''2'^4 '• 

Hierinit endigen die Collineationen, welche irreductible F^ invariant 
lassen. Unter den obigen sind die zerlegten und jene mit Doppelpunkt 
auszuschliessen, wenn dieser invariant ist. Denn diese können keinen 
Typus liefern, weil die aus dem Doppelpunkte von F^ gemachte Pro- 
jection dieser F^ als Abbildung ersichtlieh eine Collineation in der Ebene 
liefert. Es bleiben nur die in grossen Lettern geschriebenen Formen, 
unter welchen noch n° 6 i . Form einen invarianten Doppelpunkt auf 
a:, = o, a;, = o hat, ebenso wie die zvvei letzten Formen if 5 und n° 13, 
und aber die zwei Formen n° 2 o-leichwerthicr sind, ebensowie die zwei 
n** 7 und die vier n° 8. Die erttbrigenden cubischen quaternJlren For- 
men sind: 



I. Xl + Xi + -Xg + ^1-^2 + ^'1^3 + -^2^1 + ^-2^3 

+ ^3^1 + ^4^1 + ^4^2 + ^1^3 + ^1-X^2^3J 

2. -Aj -j- X, -p AjAo -}- A.jAj -}- AjjAj -f- A3A2 "}" -X4A1 

+ X, X,2 4" ^1 ^3 X, 4" -^2 ^3 ^4 y 



I, I , I, — I. 



1,1, 



I. 



* Die Ubrigen Collineationen mit dem Index 9 verlangen Doppelpunkt oder De- 
comp.osition der 1'^, 



Neue Thoorie der ciDdeutigen pcriudischen TraDsformationen in der Ebenc. 

3. x? + x; + xj +. xj + x?x, + x?x. + XIX, 



U9 



4. X^ -{- XI •}- X^ -{- X^ -\- XfXj -t- XlXij 

5. X^ + ^ + X3 4-^+ ^^2 + ^^l 

+ X1X3X4 + X2X3X4. 



8 



I , i , ^8 



6. Xl + Xl + XlX, + XlX, + XlX, + X',X,+ XiX,, I, i ,-i 
7' -^ + XjA, 4" X1A3X4 + X3X, + XjXj, 



I-, - I , t 



8. X? + X? + Ä1+X?X, + X.JX, + X3^Y, + x^x,; I, I ,-i 



9. Xi + Xo + X3 + X4X1 + X1X0X3, 

10. X? + XJ + XI + X^X, + XI X3 -f XIX,, 

11. X; + XJ + A'j'X, + X;X„ 

12. -Xi + X^X^ + XjXg + X4X3, 

13- ^1 + X2X3 + XJXj + XJXo, 

14. X? + Al +.X^\, + X?X, 



8 9 



^3 > 



8 



£ 



8 



I , I , Cj 



I , — I , -t 



T C »c' 



1,-1. £3 



■3- 



£» 



c* 
w3« 



— I. 

— 1. 
£3 . 

— I. 

— I. 

£3. 

st- 

^ sich 



I. Theorem. TF^^/^/i c/>/e Vollineatiou einc (Jeradc a^ von I'\ h 
sélbst verwandeltj so ist (lie abhUdende ehene Transformation äquivalent einer 
Chardkteristik mit 5 Punkten. 

Beweis. Nininit niaii ii» das abbildende Sextupel die r/, , so erscheint 
das Bild von a^ als Doppelpunkt der Ebene w. z. b. w. Ebenso wird be- 
wiesen : 

II. Theorem. Wenn die ColUneation zwei öder drei windschiefe Ge- 
raden von P\ unter einander transformirt, so ist die Ähbildung dqidvalent 
einem Typus mit uenif/er als 6 Punkten, 

Da es mir hier nur auf die Typen ankoninit, so wende ich diese 
beiden Theoreme sofort auf die vorhergehenden 14 Formen an. n° i 
liat stets eiiie iiivariante (ierade durch X^, n° 2 die Doppelgerade XjX^, 



150 S. Kantor. 

n** 7 (lie Gerade X^X^, n° 6 und n** lo drei invariante Geraden in der 
Ebene x^ = o, n° ii und 12 die Gerade X^X^, n° 4 enthält raehrere 
cyclische Tripel windschiefer Geraden; denn die Directricen sind im AU- 
gemeinen von keiner Geraden der F^ getroflfen und die drei Geraden 
können niemals in einer Ebene sein. n** 5 und n** 6 gestalten ebenfalls 
windschiefe cyclische Tripel. 

Es ertibrigcn die Formen n° 3, 8, 9, 13, 14. Stellen wir zuerst fest: 

III. Theorem. Die Transformationen, welche man d^rch Abhtldung der 
coUinearen Systeme auf F^ erhult, * indem man verschiedene Doppdseehsen 
verwendety sind hirational äquivalent. 

Es ist immer möglich, derart abzubilden, dass man den Typus erhält. 
Die Transposition mittelst der 6 Punkte liefert namlich in der Ebene 
eine Transformation, welche wieder das Bild einer Collineation in F^ ist. 
Diese Collineation muss aber wesentlich dieselbe sein wie die erste, es 
känn sich also nur die Art der Abbildun^r oreändert haben, also entweder 
die Directricen von Clebsch öder das Sextupel von Reye. 

IV. Theorem. Unter den Geraden eines Sextupels sind o öder 3 öder 
4, welche zwei und 1,3,6 welche 5 des transformirien Sextupels schneiden, 

Denn die Thatsache, dass o öder 2 öder 5 Geraden eines Sextupels 
eine der ftbrigen Geraden treifen, Uberträgt sich in die andere, dass die 
einzigen Fundamentalcurven, welche die Transformationen' mit den 6 
Punkten besitzen können, Gerade öder Kegelschnitte sind u. zw. in den 
beztiglichen Anzahlen. 

• 

V. Theorem. I)ie Collineatlonen auf der F.^ n° 3 hat als Bild den 
Typus vom 4. Grade und Index 3, welcher 1. c. als Ag hezeichnet ist. 

Beweis. Man känn zwei successive Geraden wählen aa\ sodass die- 
selben in zwei conjugirte Sextupel eintreten, a' wird eine Fundamental- 
gerade liefern. Zwei successive Geraden können sich nicht im selben 
Sextupel finden, weil sie sich immer schneiden; daher sind alle 6 Punkte 
fundamental und die Transformation ist biquadratisch. Die drei Geraden 
a, welche in Doppelsecanten transformirt sind, bilden ein windschiefes 
Tripel, cbeiiso die drei l)()[)pelsecanten und da zwei successive Geraden 



Ncuc Thcorie der eindcutigcD periodischen TransformatioiicD Id der Ebcne. 151 

sich schneiden, ist (d^e^) , {d^s^) , {d^e^) bedingt. Die andere Doppeldrei 
hat gleiche Verkettung. tj berdies: Die Schnittcurve mit rr^ = o ist Ort 
von Doppelpunkten und gibt als Bild eine Cg, Ort von ^oppelpunkten. 
Die Cg, deren Ebenen durch X^ gehen, sind C\ und liefern in der Ebene 
das Netz, welches 1. c. fnr Aj gefunden wurde. Die Geraden der Doppel- 
sechs schneiden x^ = o in 6 Punkten zweier Inflexionsgeraden, welche 
sich als zwei Tangentialcyclen abbilden. 

VI. Theorem. Die Collineation auf der F^ n° 8 hat als Bild den 
Typus B^. 

Beweis. Die Collineation ist die Zusainmensetzung der vorhergehen- 
den mit einer involutorischen Collineation, welche die zwei Doppeldreien 
der abbildenden Doppelsechs unter einander vertauscht was die Wirkung 
hat, dass niemals zwei successive Geraden sich schneiden und dass nie- 
mals eine Gerade in eine Gerade des conjugirten Sextupels transformirt 
ist. n° 8 beweist die Existenz einer Cg mit oo^ involutorischen Paaren 
und zweier invarianter Geraden tri pel, deren Ebenen durch X^X^ gehen. 
So erkennt man die Figur, welche 1. c. ftir a' in i, J' in c, c' in a 
öder B^ gefunden ist. 

VII. Theoren). Die CoUineation auf der F^ n"* 9 hat als Bild den 
Typus /;. 

Beweis. Die Ebene x^ = o schneidet F^ in einer Cg, welche eine 
Correspondenz u' — u^y vom Index 3 trägt; durch X^ gehen drei Ge- 
rade der -Fg in x^ = o, welche ein cyclisches Tripel bilden und sich in 
die Ebene ebenfalls in drei solche Gerade abbilden. Da man zwei Ge- 
raden finden känn, welche successiv und windschief sind, so erhält man 
ftir die Ebene eine Verkettung und indem man beweist, dass nicht mehr 
als eine Gerade des Sextupels sich in eine Gerade des conjugirten Sextupels 
verwandeln känn, beweist man, dass T cubisch wird. Ohne ausfttrlich die 
Configuration der 27 Geraden aufzuschreiben, ist es unmöglich, aus ihr die 
Characteristik (aij , (ftaj , [ä^h^ y (^3^3) ? ^4 i" ^4 ^^ construiren, während 
man aus der Ubereinstinimunor der invarianten C^ die vollständige Iden- 
titilt erschliesscn känn. 



» 



152 S. Kantor. 

VIII. Theorem. Die CoUineation auf F^ v!" 12 hat als BUd die B^ L c. 

Beweis. Ohne die Configunition der 27 Geraden zu studiren, will 
ich n^ 12 in 'diese andere Form bringen x] + ^2 + ^s + ^L ^^^^ immer 
durch eine lineare Substitution x^ ^ x^ , x^ allein möglich ist, indem 
xlx^ + ip3^4 + ^4^2 = o äquianharmonisch ist. Die CoUineation wird die 
Form haben sx^: s^x^: s^x^: sx^, wo s^ = i. Die Sextupel dieser F^ 
schneiden die Ebene .Tj=o in zwei alineirten Tripeln von Wendepunkten, 
woraus man im selben Sextupel zwei Vcrkettungen und also die Ordnung 
der Transformation ableiten känn. Die 4 invarianten 6^3 stellen die Iden- 
tität mit B^ fest. 

IX. Theorem. Die CoUineation auf F^ n° 13 hat als Bild die B^^. 

Die Ebene x^ = o enthält eine 6^, x^ = o enthalt drei Geraden 
durch X^, welche ein cyclisches Tripel bilden, x^ == o eine 0,^ und x^ = o 
eine C^. Man sucht unter den Geraden 4, welche eine Succession bilden 
und hat hiermit Reduction auf die Ordnung 2. 

Conclusion: Die existirenden periodischen Transformationen mit 6 Punkten, 
welche nicht unter einander äquivalent sindy sind die folgenden: 

A,, B,, B,, B,, , r, öder XXVII, , I, , II, , III,, , XIV,, 

also die in der citirten Ahhandlung aufgeschriebenefi Typen. 

Der Anwendung halber soll das Resultat der Abbildung der 14 
Collineationen auf p. 148 vollständig angefuhrt werden: 

I. liefert die cubische Involution (cc') , (a,ft^), 2. zwei Doppelpunkte 
und zwei involutorische Paare einer CoUineation, 3. XXVII^j 4. drei 
Doppelpunkte und ein cyclisches Tripel einer CoUineation, 5. zwei cy- 
clische Tripel einer CoUineation, 6. liefert (cc'), a' in b, i' in a nebst 
einem Doppelpunkte, 7. ein Quadrupel und ein involutorisches Paar einer 
CoUineation, 8. 7c? 9- ^I^gj 10. a' in a, b' in b, & in c, 1 1. (aft'), (ic'), 
(ca') mit einem Doppelpunkte und einem involutorischen Paare, 12. (aJ'), 
(b&)j a' in a[ in c mit Doppelpunkt, 13. 7/g, 14. i//j2. 

Anmerkuny. Die Flächen 4, 11, 13, 14 gestatten, linter der Form 
(^ + ^ -t f 3 + ^ geschrieben zu werden. — Ferner sind die Flachen, 
welche durch jede der Collineationen reproducirt werden, co^ und wenn 



Neue Theorie der eindeutigeD periodischen TransformatiooeD in der Ebene. 153 

man die Abbildung aller gleichzeitig macht, was wegen der Vertheilung 
der Geraden möglich ist, erhält man in der Ebene ein co^ System von 
birationalen Transformationen. 



§ 2. Die typischen Trän 8 for mation en mit 7 Punkten. 

I. Das Netz der C^ durch dié 7 Punkte ist invariant, also auch die 
Jacobische Curve D^, auf welcher eine Correspondenz entsteht. Umgekehrt: 

X. Theorem. Durch die Correspondenz auf der Jacohischen Curve D^ ist 
die ebene Transformation bestimmt. 

Beweis. Jede C, des Btlschels schneidet D^ in einem Quadrupel von 
Punkten und diese Reihe g\ ist in sich transformirt wegen des Theoremes 
XXXV, Die so entstehende 2-deutige Transformation zerlegt sich in 
zwei eindeutige Theile, von welchen der eine die Zusammensetzung des 
anderen mit der Involution (von Geiser) ft^ ist, und der eine die Wieder- 
holung des anderen ist, wenn der Index des einen ungerade ist. 

Man känn jeder D^ mit 7 Doppelpunkten eindeutig eine Curve L^ 4. O. 
p = 3 entsprechen machen. Die eindeutigen Correspondcnzen auf C^ 
haben als Bilder in L^ eindeutige Correspondenzen. Diese aber sind stets 
in einer Collineation der Ebene enthalten. Ich wende nun die Umkehrunff 
der Frage an, wie ich es im § i för die cubischen Flächen machte. 

XI. Theorem. Fur eine gegebene Curve L^ erhält man sofort eine Curve 
Cg mit 7 Doppelpunkten, wdche zu jener in i-i-deatiger Beziehung ist, 
mittelst eines Septupds unabhängiger Doppeltangenten. 

Beweis, Es ist die Umkehrung des Theoremes von Aroniiold, welcher 
vom Netze der C^ ausging. Die 7 Doppeltangenten bestimmén das Netz, 
welchem eine Jacobische Curve C^ (dual) angehört und der Ort der Be- 
rfthrungspunkte ftlr die Böschel mit Berlihrung ist die gegebeiie Curve 
L^. Die eindeutige Relation hat also hier ttberdles die Eigenschaft der 
Incidenz, d. h. dass jeder Punkt von L^ mit der entsprechcnden Geraden 
von C^ incident ist. ^ 



* Solches eindeutiges Entsprechen einer Curve C„ und ciner Knveloppe F"^ mit 
Bedingung der Incidenz erhält man schr einfach durch Yerhindung entsprcehender Punkte 

Äeta mathematiea. 10. liuprlm^ le 2t» févrler 1895. 20 



154 S. Kantor. 

XII. Theorem. Jede birationale Transformation öder Giuppe von bi- 
rationalen Transformationen, wélche 7 Punkte in der Charakteristik hat, hringt 
gleichzeitig eine ColUneation öder Gruppe von CoUineationen unter den Geraden 
der Ebene hervor. 

Denn die Transformation bringt eine Correspondenz auf D^ hervor, 
welche wegen des Theoremes XI zum Biide eine Correspondenz in der 
Curve 4. Classe von Ahonhold hat und diese ist in einer Collineation der 
Ebene enthalten, deren Index also die Hälfte des Indexes der Trans- 
formation sein känn. 

XIII. TheoiiBm. Wenn man jeder C\ den Schnittpunkt der Tangenten 
in den 4 Schnittpunkten mit D^ zuordnet, erhält man eine lineare Beziéimng 
mit Inoidenz. 

Der einzuschlagende Weg ist also der folgende. Ich stelle die bi- 
quadratischen Curven L^ auf, welche eine Collineation gestatten, nehme 
unter den 28 Dqppeltangenten ein Septupel von Aronhold und verfolge 
die Verwandlung dieses Septupels durch die Collineation. Die verschiede- 
nen Doppeltangenten ent«prechen nach Theorem XI. (dual gesprochen) Ge- 
raden öder Keg^lschnitten öder C\ öder den 7 Punkten des Septupels selbst. 

So leiten sich die Characteristiken der zwei annexen birationalen 
Transformationen mittelst der Verwandlung unter den 28 Doppeltangenten 
der Curve i^ her, und linden in dieser Verwandlung ihren voUständigen 
Ausdruck. 

3. Zur Auffindung der CoUineationen mit invarianter L^ wende ich 
das dritte Mal die Methode der canonischen Formen an. 



I .• X^ , J/n • "~~ X^ y 



X1X2 



^\ + ^2 + ^8 + -X^Xj + XjXg + XJX2 + XjXJ + XiXjX^ + x?x 

"r* ^2'^'d I »^l^^S "T ^2*^3 I ^2*^3'^1 I XiX^X^ 

zweier eindcutig bezogener Curven. Umgekehrt känn jedes Incidenzpaar C« , F^ auf un- 
cndlicli vide Arten so cntstandcn gedacht werden. Es giebt stcts unendlich vide einfach 
rationale Transformationen, fUr welche Cn , /^"* die beidcn Incidenzcurven sind. Ks giebt 
aber nicht immer einfach rationale Nullsysteme, in dencn aie sich ent^prechen. 

Diesdben Aussprliche gelten auch fUr eine Mr—\ und eine Envcloppe JW^-i von 
Rr-i ina 7?r. 



Ncuc Theorie der ciodoutigCD poriodiachen TranHformatioDcn in der Ebcne. 155 



«V. • •4/',. • wiA/^f 



e-= I, 



X\ + XJ + XJjq + X,Xl + X^XJ + XJX, + X,Xl xU, + x^x, + xl 



.2^2 



■^ .T?j i/z-^iZ-jj "J" Ol/iCC^'^/^ ♦*^l»*^8 i" •t/é^O/y ~f" tZ-jU/jil/j I 






c*" = I 



X\ + T,X,X, + X.X", + X,Xt + r,Xl\\xl + x^x, + x\x, + xU.x, 



X* ^ X', + Xl + XiXi + X?X, + X,X?| a;ia;"^ + r?xj + x^x^xHx^x^x] 



r ^i^a^2 "T" 3/1^/3 -(- X^X^ \X^Xi -]- ^siCj . 



.» 



^» vC. I "~"~ u/^ ! CO/ 



3' 



»'= — I 



A I -|- A.J -f- Ajj -j- Aj Aj "f- AJA2A3I XIX^ "T" XiX^ + 3/1 ^2 "T •'^2^3 J/jiCj^^a 

~f" X^X^ "j" X-^X^ X^yX^X^ "j~ XqX^ ~f" 3/1 u/j 



O. iT/, I w3^A I S 3/-, 



8 



^ = I, 



./'I -p ''''i "^3 I* i^i J^2*^3 "^1 »^3 "i 3^*2 3?3 "1" 3/1 3/2 I X^X^ "1 3/j 3/3 "J" 3/3X3 3/3 "^ 3/i»C'2 3/ 

*-j~ X^X^ I 3/2 "1 3/j 3/3 —j" 3^1 X^X^ 



X-, I SXa • S 3/g f 



c == I 



3/| "^ ;J/i3/.j3/3 "j" X^X^^ I 3/1 ./.^ ~| XiXnX^ ~f" 3/3 3/13/2 "f" X^X-^ \ X^ ~f" X-^X^^ 1" X^X 



.3 

'3 



-p 3/1 3/2^3 I »^l-^S ' »^2 "l »^l^^S 
O. 3/, • *—"' Xn • ^3/j. ^ 



£'=l, 



Aj -|- Ao -f- Al A2 "7" Aj^ A3 II 3/i3/j -p 3/3 -}- 3/1 3/23/3 3/2 •^;r 1 »'^i-^a |3!Ji 3/23^3 



3 



"y~ 3/1 3/3 3/1 3/2 1" X^X^ ""i" X^X^ XyX^X-^ I • 

9. a?, : srr, : — e*a;3, s* = i , 

•'■{ + ^?.'^' + --»i;^?!! X* + X* + XfX* + X?X, \\x1xl + XiX.xl\\x\x,x, 

"■j" XaXo i »C'iU/3*v2 i" •t'2*v3 ' »^i »*'3 ~| »to it/3 ! * 



156 



S. Kantor. 



I 0« CO, I £Ju. I S 'JO^ 



£' = I 



•l/| "J" ^ja/2*<^3 ^2 l" •*^1**'2**'3 •*^3 |" OO^CO^X^ jOyOC»^ ~|" 00^'JU^ ^\j u\q ""j" .Åi .Å< 



'3 
^2 



"y" ^^2 -^8 *'^\*^z "l" vCyQu^ I *«/2«vj "j~ «Z/j o/j 



.2^2 
'8 



II. ^. S U!/« ! yl J/, j 



t' = — I, 



Xj "j~ iZ/2 I »Ä/j ""j" CC^Ou^ "i tC^JCt^Cl/^ I »Z/j u>2 i" X\CC 



,2 
'3 



XIX2 



•^1 *''3 I "^2 »^S I »''2 •''. 



3 



—^ X^X^X^ X^X^ X^X^X^ |« 



12. rCj : sjPjj : c 'ajg , 



^l + J^i^l I ^'J^2 + ^2^3 II ^1^2 ^2 + X^X^Xy I XJ + X|-XJ + -XJX3 



*^3 2 



+ 



X^X-^ 



x^x^ 



•A/2 *^ 1 *^8 3 *^ 1 *'^2 



13» ^1 • ^^2 • S^3 j 



*' = — I 



£^=^ I 



A| + AjAj + A2 



XyX2 



XyX^ d/3 -j- ^ii^3 



•*'2 **^3 



2 2 



2 3 



+ 



»A/J •1/2 



2 2 1 2 II 3 

12 8 X\X>yJu9 I ^ii£'2*^3 I XnJ^n 



XIV. Theorem. Wewn rfie Collineation eine Doppeltangente der L^ in- 
variant Icisstj ist eine der birationalen Transformationen, wdcJte ihr etitsprechefiy 
äquivalent einer Transformation mit 6 Punkten in der Charactemtik. 

Beweis. Man känn ein Septupel nehmen, in welchem die invariante 
Tangente vorkoinrat. Dann entspricht der Basispunkt der C3, welcher 
diese Tangente abbildet, sich selbst öder ist ein Doppelpunkt der Ebene. 

XV. Theorem. Alle Transformationen, tvelche man aus einer Collineation 
von L^ durch die Variation des Septupels der Doppeltangenten erhält, sind 
hirational äquivalent und umgekehrt. 

XVI. Theorem. Unter diesen Transformationen känn man stets auch 
den Typt4S erhalten. 

XVII. Theorem. Jede Collineation auf L^ gibt zwei birationale Trans- 
formationen der Ebene, Man erMlt die eine aus der andereuy indem man 
mit der involutorischen Transformation Jg zusammensetzt. 

Wenn das unabhängige Septupel einmal angenomrnen ist, so hat 
nian die folgende Regel, uni die Curve zu finden, in welche ein Doppel- 



Ncue Theorio der eindcutigen periodisohcn TraDsfunsatioDen in der Ebeoc. 157 

punkt a^ von L^ durch die birationale Transformation verwandelt ist. 
Man sucht den Doppelpunkt /*, in welchen sich a^ durch die ColHneation 
Verwandelt. Derselbe sei in einein gewissen Kegelschnitte durch 5 Punkte 
a. Dann känn man a^ entweder diesem Kegelschnitte öder der comple- 
mentären Geraden GtUj^ entsprechen machen. Aber hierdurch ist die Trans- 
formation bestimmt und man muss einem anderen Punkte a^ entsprechen 
machen, was bedingt ist. 

XVIII. Theorem. Wenn sich das Septupel a^ , . . a^ durch die ColHnea- 
tion in ein anderes verwandelt^ das mit a^. , . a^ X Punkte gemeinsam hat, so 
hat die entsprechende birationale Transformation 7 — A Fundamentalpunkte. 

Beweis. Jedes Paar von entsprechenden Punkten unter a^ . . .a^ 
liefert eine Verkettung in der Characteristik und einer dieser beiden Punkte 
känn nicht fundamental sein ftlr das eine System. 

Um die Doppeltangenten von L^ nicht berechnen zu mQssen, begnöge 
ich mich hier, tlber die birationale Transformation durch Vergleichung 
mit meiner Preisschrift zu entscheiden, indem ich einige Bemerkungen 
ttber die Doppeltangenten einflechte. Die aus obiger Ubersicht resulti- 
renden L^ sind: 

I. ^t + ^'1 "h ^3 + -^1-^3 + ^2^3 + ^^2 "I" ^-2^1 



^1 + -^ ^1 + ^ -^1 + ^1 ^2 -2^3 + ^ ^3 > 
^l + ^2 + ^3 + ^l ^2 + ^i ^3 + ^^2^1 J 



8 



10 



^l + ^2 + ^3 + ^1-^2 + ^l^i^i 
^l + ^2 + ^ ^ + ^1 ^3 5 
Aj A3 + A3 Ao + ^2 -^1 ? 

^3 + ^^l + ^i^a? 
^1 + ^S^l + ^4? 



S*^= I, 



e^=i, 



!» 



£ = I, 



£•*= I 



I 
S 
I 

— I 

— I 



v/J 

£ 



5. 



e\ 



t. 



i. 



I. 



e\ 



158 S. Kantor. 

Leniina. Der Identität der Ebeiie entspricht der iiivolutorische Typus 
Ö3 (öder Jg). 

XIX. Theorem. Die Gurve L^ n^ i liefert durch ihre CoUineation eine 
involutorische Transformation von Jonquiéres. 

Beweis, Unter den Tangenten von X^ existiren i. A. 4 Doppel- 
tangenten, welche fest bleiben, also ist eine der Transformatlonen re- 
ductibel in der Zahl der Characteristikpunkte. Sie besitzt eine Cg mit 
Doppelpunkten, ist also von der Ordnung 3. Dann ist die andere noth- 
wendig eine involutorische CoUineation, was anzeigt, dass man auf L^ 
ein unabhängiges Septupel finden känn, welches durch die CoUineation in 
sich transformirt ist. 

XX. Theorem. Die Gurve L^ n"^ 2 liefert durch ihre GoUineation den 
Typus A3 und uberdies P^ {cit. Abh.). 

Beweis. Die zwei Transformationen haben ein Böschel invarianter 
6V, die Tangente im Punkte X^ an L^ ist undulatorisch und invariant. 
Also ist eine der Transformationen auf 6 Punkte reductibel. Da jene 
des Indexes 3 eine Curve G^ mit Doppelpunkten besitzt, welche durch 
den Punkt geht, welcher der Inflexionstangente entspricht, folgt, dass diese 
Transformation jene ist, welche man auf 6 Punkte reduciren känn. Der 
Vergleich mit Tafel I meiner cit. Abh. lehrt, dass die andere P^ ist. 

XXI. Theorem. Die Curve L^ n° 3 liefert durch ihre GoUineation eine 
ebene GoUineation und den Typus -Tg. 

Beweis, Die Gerade x^ = o ist Doppeltangente und eine Trans- 
formation känn also äquivalent gemacht werden einer Transfqrmation mit 
weniger als 7 Punkten. Es ist leicht zu sehen, dass man mit zwei cy- 
clischen Tripeln von Doppeltangenten ein unabhängiges Septupel ergänzen 
känn. Die Vertheilung der invarianten Cg, nämlich G^ + G^ und zwei 
Gg beweisen dann die Identität der zwei ten Transformation mit T^. 

XXII. Theorem. Die Gurve L^ n° 4 liefert durch ihre GoUineation den 
Typus E^ und die quadratische Transformation [cc'), a' in b, b' in a. 

Beweis. Das BOschel invarianter Gf, enthält vier Cg mit tacnode. Man 
känn zwei der Undulationstangenten in das Septupel nehmen, was die 



Neue Theorio der eiDdcutigen pcriodisohen TraDsformationcD in der Ebcne. 159 

Zahl der Characteristikpunkte einer Transformation um 2 reducirt. Man 
beweist aber auch, dass man nicht um mehr reduciren känn und also 
diese Transformation mit cx)* involutorischen Paaren in einer C, die im 
Theoreme genannt^ ist. Die andere Transformation ist ebenso vom Index 

4, besitzt co^ Doppelpunkte in einer C^ und ausserhalb ein involutorisches 
Paar, entsprechend dem Punkte Xg, das in die Basis eines Böschels von 
6\ eintritt. Ein Septupel ohne Undulationstangente enthalt zwei succés- 
sive Doppeltangenten und, da die Verkettung der ersten Transformation 
angehört, besitzt sie einen dreifachen Punkt und ist also sicherlich von der 

5. Ordnung etc. So schliesst man auf die Identitat mit E^. 

XXm. Theorem. Die Curve L^ n^ 5 liefert durch ihre ColUneation 
eine cubische Transformation [ah] , {aj)^) , {a^b^) , b^ in a^, b^ in a^ und eine 
mit {c&) y {ab') , a' in b äquivalente Transformation. 

* Beweis. Wegen X^X^ besitzen beide Transformationen eine C>, Ort 
der involutorischen Paare. In der einen entspricht X^ ein involutorisches 
Paar, X^ und X^ Paare von Doppelpunkten, in der anderen entspricht 
X3 ein Paar von Doppelpunkten und X^ und X^ involutorische Paare. 
Also ist in der ersten die Correspondenz in C^ von der Art w' + w = ^ 
und in der letzteren von der Art u^j-. Diese letztere Transformation 
känn von der auf p. 223 1. c. beschriebenen nicht verschieden sein und 
hieraus ergibt sich die andere Transformation. 

XXIV. Theorem. Die Curve L^ n° 6 liefert durch ihre ColUneation 
zwei Transformationen y welche mit B^ und A^ äquivalent sind. 

Beweis. tr, = o ist eine Undulationstangente, also känn eine Trans- 
formation auf 6 Punkte reducirt werden und die Existenz der Ortscurve 
mit u' '•\'U = Y beweist die Aquivalenz mit B^. Die andere Transforma- 
tion hat eine Cg mit u' — u^y und da man F^ nicht erwarten känn, 
weil der einzige Doppelpunkt von F^ mit zwei Punkten der Charakteristik 
alineirt ist, ^ muss ein anderer Typus supponirt werden. Ich besitze die 
Rechnungen, wonach die Zusammensetzung B^ . 0^ auf A^ föhrt, welche 
Characteristik also constructibel ist und eine Cg mit u' — u^j- besitzt. 



* Man känn auch (cc) , a in a[ in 6, h' in h[ in a nicht erhalten, weil die 6 
Ictsten Punkte iwmer in eincro Kcgelschnittc sind und also die D^ zerfällt. 



160 S. Kantor. 

XXV. Theorem. Die Ctirve L^ n^ T ^ liefert durch ihre CoUineation 
mittélst eines anallagmatischen Septupels eine ebene CoUineation und die B^^. 

Beweis. Dass man ein solches Septupel finden känn, ist leiclit zu 
beweisen und B^^ ist die Zusammensetzung dieser CoUineation mit 0^. 

XXVI. Theorem. Die Curve L^ n° 8 liefert durch ihre CoUineation die 
zwei Transformationen {ab') , {be') , a' in a[ in c und {cc') , {ab') , a' in a\ in 
»i in c. 

XXVII. Theorem. Die Curve L^ n° g liefert durch ihre CoUineation 
die zwei Transformationen B^ und B, g. 

XXVin. Theorem. Die Curve L^ n^ lo liefert durch ihre CoUineation 
die zwei Transformationen B^^ und ZJJj- 

Beweis. Die eine ist sicherlich auf 6 Punkte reductibel und die drei 
Curven C^^Cf^yCl beweisen, dass sie J^,^ mit einem Doppelpunkte ist. 
Die andere hat dieselben invarianten C^ und durch passende Wahl des 
Septupels känn man B\^ erhalt^n. 

Conclusion: Die existirenden typischen Transformationen mit 7 Pmihteny 
welche nicht Jonquieres^sche mit {ab) sind, sind die folgetiden: 

öder V,, , VI,, , XV, , XVI, , XXIX, , XXXIV, , XLIIl,. 

Anmerkung, Die Formen i. — 10. enthalten unbestimrnte Coefficienten 
und jede gestattet Qberdies 273 Septupel (abgesehen von particulfiren 
Doubluren). Man erhjllt also durch Bildung der birationalen Transforma- 
tionen för alle diese Septupel co* Systeme von periodisc^hen birationalen 
Transformationen, welche sich in mehrere Systeme niederen Grades zerlegen. 



% 3. D/e Ti/pen mit 8 RiinJcten. 

Eine Transformation mit den 8 Punkten a^. . . a^ bringt unter den 
6'.j eine Projcctivitat hervor, lässt den 9. Schcitel a^ vollstilndig invariant 



* Dicso Curve wurdc von Herrn Klein in seincr Darstellnng der Transformation 
7. Ordnung der elliptischcn Functionen angetroffen und dann von Herrn Gordan untersucht. 



Neue Theorie der eindeutigen periodisohen TraDsformatioDeo in der Ebene. 161 

vertauscht je 12 C, mit gleicher absoluter Invariante 5" : T' unter einander, 
transformirt auch die 00' C'g(aJ...aJ) unter einander und also ihre Ja- 
cobische Curve D^{a\ . . . aj) in gich selbst. Die I>, hat i. A. keine Singu- 
larit&ten ausserhalb «< und also p = 4. Daher mit Bezug auf I. Theil 
XXXVII: 

XXIX. Theorem. Die Curve D^ eines Buschels von C\, wélches die Cha- 
racte^-istik einer birationdlen Transformation {ausser S^) zulässty ist derart 
special^ dass sie eine eindeutige andlytische Correspondenz tmter ihren Punkten 
gestattet. 

Lemma. Eine Correspondenz unter zwei elliptischen Curven, welche 
selbe absolute Invariante w haben, ist auf zwei Arten bestimmt för will- 
körliche o), auf 4 oder 6 Arten för S* = i öder 0)'= i, sobald man 
zwei entsprechende Punkte kennt. 

XXX. Theorem. Durch die eindeutige Correspondenz in D^ sind im A. 
zwei Träns formationen bestimmi, welche ihre Characteristik auf ai...a^ haben, 

Beweis. Jede C, schneidet auf D^ ein Tripel aus und da D^ keine 
andcre gl besitzt, so sind diese Tripel unter einander transformirt. Dies 
gibt eine lineare Transformation unter den C^ und man hat för jedes 
Paar entsprechender Cg gemass dem Lemma zweierlei Correspondenzen, 
bestimmt durch die Schnittpunkte mit D^. Die Gesammtheit dieser Cor- 
respondenzen biidet die 2 Transformationen der Ebene. 

Wenn jedoch in Folge besonderer Beschaffenheit von D^ das Cj-BOschel 
panharmonisch oder panäquianharmonisch wird, so sind 4 oder 6 Trans- 
formationen durch Dj, bestimmt. 

2. Das Problem ist also darauf reducirt, die Curven D^ zu linden, 
welche eindeutige interne Correspondenzen zulassen. Es ist also passend, 
D^ durch eine Normalcurve zu ersetzen, nach Riemannscher Terminologie. 
Hierzu känn die Transformation unter den Punkten einer Doppelebene 
und den Paaren der Involution 2^2 (aj . . . a^) dienen, vermittelt durch die 
Cg(ai...a8), welche durch ein festes Punktepaar von 2^ gehen. Die Cg 
schneiden D^ in 6 Punkten, weshalb die Obergangscurve von der 6. Ord- 
nung sein wird, Z^. Die CJ durch das feste Punktepaar biidet mit den 
co^Cg 00^ Cg, welche D^ nur in drei variabeln Punkten schneiden, weshalb 

Ada inathematiea. 19. lupriiné le 20 février 1895. 21 



1 1 



162 S. KuDtor. 

Zg einen dreifachen Punkt hat. x\ber die Cl schneidet D^ nur in 3 Punkten, 
welche 'die unendlich nahen Punkte des dreifachen Punktes darstellen, 
Aveshalb sich Cl in die Gerade verwandelt, in welcher die drei Tangenten 
des dreifachen Punktes B coincidiren. Die drei Zweige mössen also unter 
einander eine Osculation haben, öder in R sind zwei dreifache Punkte 
unendlich nahe gcrttckt. Also (ef. auch Nötiiek, Erlanger Berichte 1878).^ 

XXXI. Theorem. Die Curve I)^ ist derart particulär unier den Curven 
/? = 4, dass die Normalcurve Z^ zivei unendlich nalie dreifache Punkte besitzL 

3. Man wörde die Ordnung bis auf 5 verniindern können, indeni 
man eine quädratische Transposition anwendet, welche zwei unendlich nahe 
Hauptpunkte in R längs der Tangente in 7? und den 3. Hauptpunkt 
willktirlich auf Z^ hat. 

XXXII. Theorem. Bie Curven p = o, u = o mit a^ . . , a^ sind durch 
die zweideutige Transposition in die Kegelschnitte verwandelt^ welche in R 
die Zg tangiren und uherdies eine dreifache Bemhrung mit Z^ haben. ' 

Denn jede dleser Curven schneidet B^ in 3 Punkten, etc. 

XXXIII. Theorem. Eine hirationale Transformation mit a^ . . . a^ uber- 
trägt sich durch die zweideutige Transposition in eine quädratische Trans- 
formation, tvelche zwei Paare {aa') , {bb') in R längs der Tangente hat und 
Zg in sich transformirt. 

Beweis. Die Geraden der Doppelebene sind verwandelt in Curven 
Cg und diese in andere Curven C^ ausserhalb des transponirenden Netzes 
und diese gegen die Doppelebene in die beschriebenen Kegelschnitte. 

* Die wahre Particularität dieser Curve ist neuerdings durch Herru Schottky im 
Journal von CrcUo, Bd. 103, p. 185: IJhcr specielle ÄbeVsche Functionen 4, Ranges 
klargestellt worden. 

* Die Curven /> = O, n = O sind jene, welclie Herr Schottky 1. c. als Gg^ 
(Ordnung 2), Ha,j (Ordnung 3), Ja^ (Ordnung 4), Ka^ (Ordnung 5), La^r (Ordnung 6), 
bezeichnet und fiir welche die Relationen bestehen La^^ ^= t\fiJ^afi ^ La/iy ^= Gg^yJa^^^ 
J^^a,^7T = J^a^H/ia uutcr BerUcksichtlgung von ^ = 0, d. h. im Schnilte mit Dj,. 

Herr Schottky erwähnt auch am Ende seiner Abhandlung die Darstellung von 
0(= Z>o) als Function von A^ B ^ U^ von welcher ich am Ende des T. Theiles gesprochen 
hahe. Ich habe seine Arbeit am 8. Februar d. J. kcnncn gelernt, wiihrend jener Paragraph 
bereits im Winter 1 892 geschricben war. 



Ncuc Thcoric der eindeutigcn pcriodischen Transformationcu io der Ebcnc. 163 

4. Das Problem, alle Typen zu linden, ist so redueirt a uf das Pro- 
blem, quadratische Transformationen zu finden, welehe eine Curve Z,^ der 
besehriebenen Art in sich transformircn. 

5. Wenn es sich nur um die einzelnen Typen handelt (nicht um 
die Gruppen) känn man sich auf die UntersucHung von CoUineationen 
beschränken. Denn wegen der Periodicität ist es unmöglich, dass beide 
Doppelgeraden der ProjectivitUt in B sich in der Tangente vereinigen 
und ebenso dass beide Doppelpunkte auf einer solchen Doppelgeraden 
nach B rocken. Ist d ein Doppelpunkt in endlicher Entfernung von i2, 
so wird die quadratische Transposition BB'dy wo BB' = t^j die perio- 
dische quadratische Transformation in eine CoUineation tibertragen. Die 
Curve Zg wird in eine Curve derselben Art verwandelt. Man känn sich 
nicht auf den Fall einer Curve Zj mit tacnode beschränken, denn in dem 
Falle, wo der Index der Transformation auf Zg durch 3 theilbar ist, 
wäre es möglich, dass Z^ gar keinen Doppelpunkt der quadratischen 
Transformation tröge und also die Transposition neuerdings Z^ giebt. 
Man muss sogar andererseits nicht nur die Zg, sondern gleichzeitig die 
Z5 betrachten, denn för einen Index > 3 wäre es möglich, dass alle Dop- 
pelpunkte der Transformation auf Zg gelegen wären, sodass die Reduction 
der quadratischen Transformation auf die lineare und der Zg auf die Zg 
stets gleichzeitig einträten. 

XXXIV. Theorem. Um die Typen periodischer Transformationen zu 
finden, muss man die ebenen CoUineationen suclmi, welche eine Curve Zg mit 
zwei unendlich nahen dreifachen Punkten BB' und jene, welche eine Curve 
Z5 mit zivei unendlich nahen Doppélpunkten reproduciren. 

6. Ich wende also das 4. Mal die Methode der canonischen Formen 
der CoUineationen an, u. zw. auf die algebraische Form 

^6 ^^^^ ^\ *^3 T" »^l V*^2»^8 I '^'i^Z I »^2^3 "T" ^t) I '^1 V^2*^3 I ^'l^Z I ^2*^8 I ^2*^8 "T" '^z) 

I *^2 I •'^2'^3 I *^2*^8 I *^2*^Z I •'^2*^3 T" ^2*^8 i "^S ^^^^ O. 

XXXV. Theorem. Wenn in Folge der linearen Substitution Zg öder 
Z5 einen ferneren Doppelpunkt öder in B einen vierfachen Punkt annehmen 
öder sich zerlegen wiirde, dient die Form nicht mehr zur Bestimmung einer 
typischen Transformation mit 8 Punkten. 



164 S. Kantor. 

Beweis. In diesern Falle kntipft sich die birationalc Transformation 
an ein BUschel a^...a^, dessen D^ zerlegt ist Dies hat nur statt för 
particuläre Lagen dieser Punkte, welche immer erlauben, die Transforma- 
tion in eine andere zu öbertragen, welche einen öder mehrere der Punkte 
a< als gewöhnliche Doppelpunkte hat. 

Es muss jedoch bemerkt werden, dass man mittelst der D^ alle Typen, 
auch jene mit 6 und 7 Punkten herleiten känn. Aber hiezu muss man 
der Zerlegungen und der Verminderungen des Geschlechtes Rechnung 
trägen. Denn es existiren Typen, wo man nicht i , 2 öder 3 unter ein- 
ander transformirte Punkte hinzufögen känn und von solcher Lage, dass 
die zu den 8 Punkten gehörige Curve sich nicht zerlege. Diesen Typen 
entsprechen dann die degenerirten Falle, welche also in der folgenden 
Cbersicht Platz finden mtlssten. 



4- 


*,: 


5- 


x,: 


6. 


a;,: 



I. »I : — a;, : — a;, icjfp, + x^^p^ \ xi^^ + jPg |. 

-p X^X^ -p X^X^ -|- ^2^8 II • • • 

+ ^ + ^\^ + ^^\ + -3^8 II • • • 

ex^ : sx^ . . . . Aj Ag + Aj -}" ^2 ^3 "h ^2 ^ "f" ^2 ^ "f* ^2 ^3 

+ Xj -XJ + X j II . . . 
X,: ea:, ....X»XJ + X?X,X» + ^i:X»XJ + XS + XJX|+X|||... 

sx^ : j' . . . . Xj Ag + A[ XJ Xg + -^1 -^2 -^ 4" ^i ^8 "f" ^2 



+ X'X5 + X 



7. a;, : sx, : s\ .... XfXJ + X\XIX\ + X,(X5X, + X,XJ) + X 



+ XJXJ + X. 



ö» **^i • ^Xa • X\^ • • • • J/| U/g "y* X^^X^ "J" X^X'^ ■'i a/;j "y* XyX^X^ ""J" X^X^ 

v^» •t/. • it/q • cJ:/rt • • • • XyXo "y" XyXnX^ "p •*/j»*'2«*^g "| XnXo ""i" XlX^X^ 



I O. iT, • o^n • ^**^a • • • • »''^i »^^s "1 vCjuyjiCj ""j" XyX^X^ "y* X^^;; "j" XqX^ 



Neuo Theorie der eiodeatigeD periodischeo TransfortDationcD in der Ebene. 105 



I I. 
12. 

13- 
14. 



17. 
18. 

19. 
20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25- 
26. 



a/, r 



X,: 



X,: 



•A/. • 



16. X. 



X. 



X. 



X. 



X, 



X. 



X. 



X. 



X. 



X. 



X. 



27, X, 



%X^ \ ""~~ iXn • • • • X^X^ "1" •il/ju/2»*^3 "T* X^X^Xo "1" X^X^X^ "f" 3>j fl/jj 



XXn • ^•''^M • • • • •*'l **^z "1 1 v 2 3 i" •*^2 **^3/ • • • 

sa;, : £ V . . . . :X?:X» + X? JS[| jq + X. XJX3 + X,X* + X» 



• • • 



• • • 



SXn • w X^ » . . • 3/j •*/ j ""J" X2 X^ 



SXn • S i(/g • • • • X^X» "^ X^X^X^ —j" X^X^ 



^* = I 



£"= I 



£"= I. 



sa;,: 



2/jj .... X^X^ "]- XiX^ -f- X^X^ "7" X^X^ "f~ il/J 



• • • 



i4/« * ^^M • • • • X^X^ "i X^Xt^X^ ~f" X^X^X^ "^ x^x^ I • • . 



8 



.2^3 



.8^8 



•Tq • ^~~ ^X^ • • • • 3/| »l/j "y* 3/j il/jii/g ""j" yl/j i!r2 *Cj "^ . . • 



s' = 



s^r^: 



I. 
SwCj, .... JSLj -Ag -f- -Xj -f- Xq A3 -f- A3X3 -|- -Xj II . . . £ = I . 

I. 
I. 
I. 



— £X^: s x^ . . , . jS^Xl'\'X2-{'XiX2X^'-\'XlXlXl-\'Jil\\.., s = 



EX^ l ^j . • • . Jlj Jlg -7- -Äj Jig -p -ZLj • • • 



s = 



8/V.8 



SXn • ^~~ ^**'a • • • • **^l »'^s "1 X2 X^ "y" «4>2 •«/8 "t •*'2 , 



'8 



• • • 



Ed/n . """C »^3 • • . • X^X^ ~p X-^X^Xn ""i" XnX^ • • . 



s = 



ff == I 



a?j : £X^ .... Jvi -Ag -|~ ^2 "4" ^1 ^2 ^8 "h A 



3 



I. 



ex^ : s*x^ . . . . gibt keine irreductible Form. 



£' = I. 



ix^: v/i X3 . . . . sowie alle mit dem Index 8 liefern reduc- 

tible Formen. 



28. x^ : s^x^ : s^^x^ .... gibt keine irreductible Form. 

29. X. * EX q * E U/jj .... XyX^ ~y~ X^XqX^ i" X^X^X^ "J" iCj 



£"= I. 



£-= I. 



30. a;, : kx^ : — x.^ X^Xl + XJ + X,X5 



31. x, : sjya?, : srj''x^ .... XJi^ + XJ + -^2-Xi 



•2 3 

^^ = — I, E = I. 



e = I, 7=1 



Invariante Z., welche in Betracht zu ziehen sind, finden sich 5, welche 



166 



S. Kantor. 



ich gleich an die hicr folgeiide Cbersicht als 14 — 18 anschliessc. So 
entstehen also die folgenden Formen Z^^Z^ mit CorrespondenzeD: 

+ X0X3 + -X3. 

2. Xj A3 + -Xj + X2X3 + ^2^3 "t" ^2^3 "f" ^^3 

+ ^2^3 4~ ^3' 

3. Aj^ + XjXjXg + ^1X2^3 + ^2 + ^2^3 4" -^3- 






•Y • 



s.r„ C wCC* 



.T,: 



i^Q • ^'''3 • 



5. XJAJ + XJX2X3 + ^\{^\^z + ^2^3) H" ^2 



+ x?x? + x« 

6. X, Xj + ^i^s + ^i-^^s + ^ä-^s 4" X2' 

7 . A I A3 + -Xj Aij Xj + ^1 A2 X3 + A2 A3 + A2 . 

8Y3 Y3 1^ Y6 _i Y* Y2 _L_ Y2 Y4 i_ Y^ 
Aj A3 -f- Aj "t* A2 A3 -j- A-jAg -(- A3. 

9. X?A^ + Xj + -XiXjXg + X1X2X3 + X3. 

10. JL-^JL'^ "j- JL^ "7" A1A3. 

II. Xj X3 + X2 + Xj X2 X3 -|- X3 . 

I 2. Xj X3 + X2 + Xi X3 . 

^3* XjXg 4" X2 4" XoXg. 

14. XjX^ 4" X1X2X3 + Xj 4" XoXy. 

15. XjXg 4- XjXg 4- X1X3 4- XoX, 4~ XjXg. 

lo. J!L} ^3 4~ X2 4" -^3X2. 

17. XjXj 4" X2 4- XjXg 4" XjXg. 

18. Xj X3 4" Xg 4" Xj Xg . 



»i/| • ^*^*2 * ^ ä * 



x^: 



t'>M'n • "A^Q • 



«... 



:y = I, .o;,: lya;, : 5yv;, 



X, • '^**^<} • ci*/- • 



*2 



7=1. 



■n = I- 



a;,: 


— siTj: 


a^g. 


•</. • 


•^2 * 


S^3- 


a;,: 


?ea;j : 


^3. 


a;,: 


ejya;,: 


TjX^. 


^r- 


X^ • 


^. 


J!/| ! 


ix,: 


^8* 


X,'. 


- £07,: 


«^^3- 


X^'. 


TjX^: 


dl/j. • 


X, • 


ax,: 


X3. 



Um au8 diesen Formen die Transformationen zu erschliessen, welche 
einem Btischel angehören, dessen D^ die hier definirte Correspondenz trägt, 



Ncue- Theorie der eiodcutigeD pcriodischen TraosformatioDcn in der Ebene. 167 

karm man so vorgehen, dass man die dreifach beröhrenden Kegelschnitte 
rechnet, unter ihnen ein unabhängiges Octtupel wahlt und die Vertauschung 
dieser Kegelschnitte durch die oben erwähnte lineare Transformation ver- 
folgt. Statt der Rechnung bediene ich mich einiger Merkmale, welche 
uber die Identität mit den 1. c. gefundenen Typen entscheiden; nament- 
lich: wenn eine der unveränderlicben Geraden durch E xl liefert, be- 
zeichnet dies eine CJ, wenn x\ + oc^j bezeichnet dies eine CV 

Hier bietet sich jedoch eine wesentliche Schwierigkeit, welche bei 7 
Punkten nicht vorhanden war. Es existirt immer eine Transformation 
mit den 8 Punkten ^j, welche als Index das Doppelte des Indexes der 
Correspondenz V in D^ hat. Diese Transformation ist nicht immer die 
Zusammensetzung von S^ mit einer Transformation, welche denselben 
Index wie V hat. Dies hat nur dann statt, wenn der letztere Index 
ungerade ist. Ich erhalte also die folgende Vertheilung der Formen 1° 
bis 18° auf die Typen. 

XXXVI. Theorem. Bie Curven D^, welche in eindeutiger Beziehung auf 
die Curven Z : \ — 6,8 — 13, 16 — 17 eindeutige Correspondenzen trägen, 
liefern mit ihren 8 dreifachen Punkten auf die in Theoreni XXX beschriébene 
Art periodische birationale Transformationen, welche respective äquivalent 
sind den folgenden Typen: I^\ N^ und E^; Ag und E^; CoUineafion und 
-Eg'; Ag; B^ und H^; B^ mit zwei DoppelpunJcten und Hl; B^^; B^^ und 
i?3o; jE?4 und Transformation von Jonquiéres; Z^ und F^^; J?2o- 

Es ist hieraus ersichtlich, dass man die Formen 3. und 4., 7. und 
17., 12. und 16. als äquivalent betrachten muss, u. zw. auf Grund des 
oben zum Theorem XXXIV hervorgehobenen Umstandes. Es ist nämlich 
in diesen Fallen ein in sich transformirtes Bttschel von Kegelschnitten 
vorhanden, welches durch die Transposition in ein in sich transformirtes 
Geradenbt^schel verwandelt wird, wodurch eine Collineation mit anderen 
Doppelverhältnissen erscheinen känn. 

Conclusion. Die isolirten typischen Transformationen, welche in der 
Ehene construirt werden können, sind die folgenden: 

^^6 > ^'9 ? ^12 > A3 , / 6 ) -'^12 ? ^^14 > ^18 J ' G } ' a J ^6 » -^4 > "2 > -^16 ? ^^20 > ^24 ) 

-^30 ? ' 10 ) ' 12 J ^8 ' -^« ? ''^6 y -^6 ) ^5 ? "g J ^^C > A > -^3 J ^2* 



\ 



168 S- Kantor. 



S 4. Ehie Abänderung der vtyi^hergehenden Methode. 

In den in § 3 discutirten Collineationen war stets eine Doppelgerade 
vorhanden, welche das Bild einer Cg (aj . . . ejg) ist. Die Collineation, welche 
co^ Doppelpunkte in dieser Geraden hat, känn keinen Index >3 haben 
und die birationalen Transformationen werden ein Btlschel anallaorniatischer 
C^ besitzen, sind also ^3 und E^. Abgesehen von dieser E^ wird es hin- 
reichen, eine Curve D^{a]..,al) mit eindeutiger Correspondcnz zu unter- 
suchen. Durch diese Correspondenz ist die birationale Transformation 
der Ebene bestimmt, indein durch sie die Projectivitat unter den C^ und 
die Correspondenz unter den Punkten zweier successiven C^ geleitet wird. 
Deranach : 

XXXVII. Theorem. Alle periodischen Transformationen mit 8 Punkten 
sind durch eine invariante GuiDe C^ mit 8 Doppelpunkten bestimmt . 

Indem man Q mittelst der Cg durch 7 der Punkte a öberträgt, 
erh&lt man eine C4 mit Doppelpunkt, wobei die birationale Transforma- 
tion nicht mehr in eine birationale Transformation öbertragen wird. 
Jedoch känn man sägen: Jede Correspondenz in eincT C4 mit Doppelpunkt 
ist in einer ebenen birationalen Transformation enthalten. 



9 6. Andere Methode filr die Abl^Uung tytHscher Transformationen 

mit 7 öder 8 Punkten. 

Wenn man einen Typus mit 6 Punkten kennt, welcher einen Dop- 
pelpunkt rfj besitzt öder einen Typus mit 5 Punkten, welcher zwei Dop- 
pelpunkte öder ein involutorisches Paar besitzt und man eine Trans- 
formation Ö2 mit «! . . . a^ydi öder a, . . . a^, i^i^ anwendet, erhält man eine 
typische Transformation mit 7 Punkten. Ein Beispiel war im § 2: ^^ 
und rf, gibt mit 0^ die Ag. 

Wenn man einen Typus mit 7 Punkten kennt, welcher einen Dop- 
pelpunkt rf, besitzt öder einen Typus mit 6 Punkten, welcher zwei Dop- 
pelpunkte öder ein involutorisches Paar besitzt öder mit 5, welcher drei 
Doppelpunkte öder ein involutorisches Paar und einen Doppelpunkt öder 



Neae Theorie der eindeutigeD pcriodisoheD TransformatioDeD ia der Ebenc. 1G9 

ein cyclisches Tripel besitzt, und man eine Involution S^ mit diesen 8 
FundamentalpuDkten anwenden känn, wird die Zusammensetzung eine 
Transformation eines neuen Typus sein. 

In der Anwendung muss man darauf achten, dass die neuen Punkte 
keine particulären Lagen .haben, damit die Transformation ö, öder 2^, 
sich nicht zerlege. Wenn z. B. d^ der Doppelpunkt einer C^{ai...aj) 
ist, wird I^ (ö^i . . . fl? , d^) sich zerlegen, ' weshalb man also I.^ nicht an Bi^ 
anwenden känn. ^ Da die Typen mit 7 Punkten mit aller Sicherheit ge- 
funden sind, bleibt nur I^ anzuwenden. Es ist hiezu nöthig: 

XXXVin. Theorem. I^ ist mit jeder Transformation vertauschhar, 
wdche alle Charakteristikpunkte unter den 8. Punkten von I^ hat, 

Beweis. Diese letztere transponirt das C^ BQschel in sich selbst, also 
a,, aber auch die Involutionen w' + w = ^ in Involutionen u' + u = j' und 
ihre Doppelpunkte in Doppelpunkte, also alle Involutionen des Btischels 
in sich, daher 1\ in sich. 

1. -B12 mit einem involutorischen Paare liefert mit 2^ eine zu J5J, 
mit einem Doppelpunkte äquivalente Transformation. 

2. I\ mit Doppelpunkt liefert mit S^ eine zu {ab') , {a'b) , c' in c 
nebst cyclischem Tripel äquivalente Transformation, wäs sich widerspricht. 

3. jTg und involutorisches Paar liefert mit 2', Äquivalenz zur Col- 
lineation und die 8 Punkte mtissten in dieser CoUineation ein Cyclus 
und 2 Doppelpunkte sein. In der That findet sich 1. c. p. 225, dass 
das involutorische Paar conconisch mit 4 Punkten von I\ ist. 

4. Ag mit Doppelpunkt liefert mit 2^, Äquivalenz zu B^ mit in- 
volutorischem Paare, was sehr interessant ist, da auch B^ und d^ mit 
ö, die A4 liefert. 

5. ^^4 und Doppelpunkt liefert mit 2'^ Äquivalenz zu {cc'), a' m J, 
b' in c nebst Doppelpunkte und involutorischem Paare. 



^ Diese Thatsaohe erweist sich öfters als identisch damit, dass man in einer perio- 
dischen Transformation des Indexes i einen Cyolus voraussetzt, dessen Index kein Divieor 
von i ist. So z. B. wenn man zu P'^' einon Doppelpunkt hinzunimmt, känn die Zu- 
sammensetzung* mit 2*, in As Q^bst einem involutorischen Paare Ubertragen werden, was sich 
widerspricht. Das rtlhrt davon her, dass die Doppelpunkte von /«' theils Spitzen von Cl^ 
theils mit 2 Charactcri^tikpunktcn alincirt sind. 

Aeta matkematiea. 19. Iinprimé le 16 mars 1895. 22 



\ 



170 S. Kantor. 

6. {ab') , (6c') , a' in a[ in c mit d^ , rf, liefert durch Zusanmnensetzung 
mit öj eine Transformation, welche äquivalent ist zu (aö') , {be') , a' in a[ in 
c mit ijij. 

7. -Hg mit I'^ liefert wieder eine zu H^ äquivalente Transformation, 
wie man rasch mit Hilfe der Invarianz von m — v (Cf. Crelles J., Bd. 
114, p. 68) entscheidet. 

8. Bq und zwei Doppelpunkte liefert mit 2^, eine zu Hl Äquivalente 
Transformation, welche also existirt. ^ 

Anmerkung. Man känn die Anzahl der Typen vermindern, indem 
man nicht als Typen betrachtet: i. Die Zusammensetzungen zweier ver- 
tauschbarer Typen, sodass nur tlbrig bleiben J?^ , Ag , Z^ , i7^ , /^ , iV, , A,, 
2'j , öj, die CoUineationen und die eTonquiéreschen Transformationen des 
Indexes 2**. 2. Die durch Coordination der Cyklen eines anderen Typus 
entstehenden Typen, sodass nur tibrig bleiben Z^ , -N3 , A3 , 2'j , ö,, die 
CoUineationen und die involutorischen Typen von Jonquiéres. Man känn 
diese die Architypen nennen. 



§ 6. Die zweideutige Abbildung des quadratisehen Kegels. 

Der Methode des § 3 känn ein anderer Ausdruck gegeben wcrden. 
Die in B die Z^ bertthrenden Kegelschnitte bilden ein 00^ System und 
man känn sie durch die Ebenen eines linearen B.^ darstellen. Dann 
liefern die Geraden durch B die Geraden eines Kegels, dessen Scheitel 
das Bild der Tangente BR ist. Die dreifach bertihrenden Kegelschnitte 
haben als Bilder dreifach bertihrende Ebenen einer Curve p^ auf dem 
Kegel und die quadratisehen Transformationen des Theorems XXXIII sind 
durch die CoUineationen in B^ dargestellt, welche den Kegel und die p^ 
reproduciren und man känn sie durch stereographische Projection des 
Kegels erhalten. Umgekehrt: 



'. Theorem. Die CoUineationen des B^ , welche den quadratisehen 
Kegel und gleichzeitig eine cubische Fläche reproduciren , liefern durch die 



* Dio BegrtlnduDg, welche ich io der Preisschrift gegeben, und Crelles J., Bd. 1 1 4, 
p. 105 n. 5 reproducirt habe, ist bis zum Schlussc richtig, wo aber eben die Verträg- 
llchkeir der gefundencn Bedingungen, also die Rxistenz von UTj^ geFolgerfc werden rouss. 



Nouc Thcoric der ciodcutigcn periodischen TransformationeD io der Ebcne. 171 

aweideutiffe Abbildung des Kegds die typischen Träns formationen mit % Punkten 
öder atich alle isolirten typischen Transformationen. 

Wir haben also bereits drei algebraische Gebilde, welche durch ihre 
Correspondenzen zu den ebenen periodischen Transformationen ftihren: 
Die Curve C^, die C^ mit Doppclpunkt, der quadratische Kegel zusammen 
mit einer cubischen Fläche. 



§ 7. Die unicursalen Flächerif tvelche in einer Collineation 

des Raumes invariant sind. 

I. Die Methodé des § i gestattet die folgende Vcrallgemeinerung. 
Wenn eine Collineation des Raumes eine Fläche reproducirt, welche ein- 
deutig auf eine Ebene abbildbar ist und man die in der Fläche ent- 
haltene Vertauschung auf die Ebene abbildet, erhält man eine birationale 
Transformation u. zw. eine periodische, wenn die Collineation periodisch 
ist. Umgekehrt: 

XL. Theorem. Jede periodische birationale Transformation känn als Bild 
einer collinearen Umwandlung auf einer Fläche betrachtet werderij welche in 
einem Raume R^ enthalten ist. ^ 

Beweis. Man känn arithmetisch und geometrisch beweisen, dass jede 
periodische Transformation ein lineares System von Curven mit demselben 
Periodicitätsindex reproducirt, dessen Dimension willktirlich gross gemacht 
werden känn. Dieses System dient zur Abbildung der Fläche des Theoremes. 
Ebenso : 

XLI. Theorem. Jede periodische birationale Transformation des Äj känn 
als Bild einer collinearen Umwandlung untet den Punkten einer Mannig- 
faltigkeit M\ (i Dimensionen^ Ordnung k) in einem Raume R^ erhalten werden. 

XLII. Theorem. Wenn verschiedene Äbbildungsarten einer Mannigfaitig- 
keit Mi verschiedene Transformationen liefern^ sind letztere unter einander 



* Es ffibt zwei Corollarc dieses Theoremes: I. Ein Cyclus einer periodischen Trans- 
formation des Rr ist stets die Projeclion eines collinearen Cyclus in einem noch höhcrcn 
Raume. II. Die Cyclen in u — u=:Y einer elliptischen Curvo sind stet« die Projectionen 
collincarcr Cyclen cl nes höhcrcn Ruumc;:. 



172 S. Kantor. 

birational äquivalent und die Transposition wird nach der Mefhode von Sturm 
erhalten. ^ 

Beweis. Jedes Panktepaar von T^ entspricht algebraisch einem Pankte- 
paare in M\ und dieses einem Paare der zweiten Transformation T^. Unter 
Tj und T, besteht also eindeutige Beziehung und sie ist auch eindeutige 
Transformation unter den zwei Trägern i?^, indem diese als Zusammen- 
setzung der i. Abbildung von M\ mit der 2. Abbildung des Bi auf den 
M\ erscheint. 

2. Wenn man fttr R^ eine Form in x^^-^x^j^i kennt, welche ein- 
deutig auf einen JS^_, unabhängig von der Natur der Coefficienten ab- 
bildbar ist, wie im 7?^ die cubischen quaternären Formen, so känn man 
sehr leicht die Methode der canonischen Formen der Collineationen an- 
wenden, um die M^_^ auszulesen, welche durch eine Collineation repro- 
ducirt werden, und hiemit birationale Transformationen im Rr-i ^^ finden.* 
Als Beispiel diene: 

XLIII. Theorem. Bie SchnittmannigfaUigkeit von zwei Ml__^ im B^ ist 
eindeutig ahhildbar auf einen linearen i2,._2; "^enn r> i. 

Beweis. Ich bediene mich der eindeutigen Abbildung einer der zwei 
-Mr-i ^"d construire die Bilder der Schnitte mit den anderen Ml_^ des 
B^. Diese Mll^ mit Doppel ilf^^s sind abbildbar, was man beweist, in- 
dem man ein Fundamentaltheorem von Nöther Uber die Flächen, welche 
Schaaren rationaler Curvcn enthalten, auf M\ verallgemeinert. Ebenso 
känn man die folgenden Theoreme beweisen: 

Der Schnitt von drei Ml_^ im B^ ist eindeutig abbildbar auf eine 
Ebene {und gestattet also die Anwendung der Methode der canonischen Col- 
lineationen), wenn r > 5. 

Von einem gewissen Minimalwerthe von r angefangen ist der Schnitt 
von k il/?_i im B,, eindeutig auf einen B^^t abbildbar. Bis zu einem ge- 
wissen Maximum von r ist der Schnitt von r — k Ml_^ des B^ abbildbar. 

XLIV. Theorem. Die Typen mit 7 Punkten sind die Bilder von col- 
linearen Umwandlungen auf Flächen 8. O. des linearen Baumes B^. 

^ Dics gilt auch fUr mehrdeutige TraDsformationco in 3f< . 
' Dics gilt auch uoch (Ur Mi iui Bi+a» 



Noue Thcorie der oindeutigen periodischen TraDsforuiatioDen in der fibooe. 173 

Beweis. Die Curven C^{a\...a^) schneiden sich gegenseitig in 8 Punkten 
und haben die Dimension 6; sie dienen zur Abbildung der genannten 
Flache. 

XLV. Theorem. Die Typen mit 8 Punkten sind die Bilder von col- 
linearen Umwandlungen auf Fläcken 9. O. des iJg. 

Beweis. Die Curven Cg(aJ...aJ) schneiden sich gegenseitig in 9 Punkten 
und haben die Dimension 6, etc. 

XL VI. Theorem. Jede Collineation des B^, welche eine abhildbare Ml 
reproducirt, reproducirt auch eine cubische Flache öder eine Flache 6. O. 
öder eine Ml mit (n — 2)-facher Geraden, falls das Ahbildungssystem nicht 
ein vollståndiges ätts x\x\x^^ linear zusammengesetztes ist. 

Beweis. Dies ist ein anderer Ausdruck des Aquivalenztheoremes. 
Denn die Collineation des B^ ist durch die Punktsysteme in der M^ in- 
dividualisirt, woraus folgt, dass wenn eine ebene Transformation gleich- 
zeitig zwei verschiedene Curvensysteme reproducirt und nian beide Systcme 
zur Construction von zwei Collineationen im B^ verwendet, diese zwei 
CoUineationen dieselben sein mtlssen. 

3. Ein wichtiger Fall sind die Formen 2. Grades. Hat man im 
B^ eine M^^^ mit einer Hermiteschen Substitution, so känn man eine ste- 
reographische Projection auf den Ä^j machen, um eine quadratische 
Transformation zu erhalten, deren M^_^ coincidiren, während die Scheitel 
S'y 8 verkettet sind.^ Ftir ungerades r hat man gemäss der Determinante 
+ I öder — I zwei Arten von quadratishen Transformationen, indem 
jedesmal die Kegel 5C, 5'C in Collineation sind, aber in der einen Art 
die Br_i jedes Systemes von C den B^^^ durch S' entsprechen, welche C 

im selben Systeme schneiden, in der anderen Art den B^^i durch 5', welche 

C im anderen Systeme schneiden. Die stereographische Projection liefert 
eine particuläre Transformation, wenn Ml__i singulär ist. Hat sie einen 
Doppel-Äi, so hat auch die fundamentale -M^_3 einen Doppel-jR, und jede 
Gerade, welche diesen i2< schneidet, ist in eine Gerade verwandelt, welche 

^ Gf. meine Note in den Rcndiconti des R. Ist. Lomb. 8. November 1894 Sopra 
le trasformationi quadratiche periodiche ndlo spa^iö a r dvncnsioni. 



174 . S. Kantor. 

den Doppel-jRf des anderen R^ schneidet Wenn itf^_i einen Doppel- 
7J^_4 hat, so zerlegt sich Ml^^- Wenn Ml__i einen Doppel-i2^_8 hat, so 
ist M^_8 ein doppelgezählter Br-s- Das homaloTtdale System besteht dann 
in co''"'' Hyper-(r — 2) Kegeln, welche den i?^_3 als geineinsamen Be- 
rtlhrungsraum haben. Wenn der Transfonnirte des stereographischen 
Centrums mit dem Doppelraume des Kegels Ml_i in einem erzeugenden 
Raume ist, so ist das Centrum S der quadratischen Transformation un- 
endlich nahe an M^_3. 

5. Die bekannte Clebschische Abbildungsart der F^ durch wind- 
schiefe Projection ist zu verallgemeinern auf ein co' lineares System 
windschiefer Curven, welche die Fläche und die Ebene in einem variabeln 
Punkte treflfen, was bereits Herr Sturm angebahnt hat. 

XLVII. Theorem. Jede homalofdale Fläche gestattet die Ahbildung auf 
eine Ebene mittélst einer windschiefen Projection durch Raunicurven eines 
cx^^ Systemes. (Cf. § 13. n. 3.) 

Der Beweis wird wie folgt gefUhrt werden können. Die Fläche ist 
die Projection einer gewissen Normalfläche, welche ich mir nebst der Ebene 
im selben R^ denke. Dann gibt es zwar i. A. kéinen i?,, welcher beide 
enthält, wohl aber eine il/g, welche monoKdal ist und beide enthält. Diesc 
Mannigfaltigkeit wird durch die projicirenden Cliflfordschen Räume in 
Raumcurven eines Systemes getroffen wié jenes, von welchem das Theorem 
spricht. Ich verhehle nicht, dass dieser Beweis den Unterschied zwischen 
homaloldaler und abbildbarer Fläche nicht ins rechte Licht stellt. 

6. Das Theorem XLI. tritt an die Seite einer Methode von Sturm 
und gibt Anlass zu einigen Betrachtungen, welche ich nicht unterdrticken 
will. Sturm bedient sich zweier windschiefer Projectionen derselben F^ 
auf zwei Ebenen, um unter diesen eine birationale Transformation zu 
erzielen. Fiir die periodischen Transformationen känn man an eine An- 
wendung dieser Methode nicht denken. Ich will aber beiden Methoden 
einen gemeinsamen Ausspruch geben, indem ich sie verallgemeinere: Man 
transformirt eine abbildbare iH/J' in eine andere J/" durch eine wenn 
auch nur einfach rationalc Transformation der umgebenden Räume und 
biidet beide il/, auf zwei R, ab. Diese zwei JR^ werden so durch eine 



Neue Theorie der eiDdeutigen pcriodischen Transformationcn in der Ebcne. 175 

birationale Transformation verknQpft sein. Lasst man die itf< und die 
Ri je zusammenfallen, so erhält man die zwei Methoden, je nachdem man 
die Systeme auf 3f, identisch macht, die beiden Abbildungsarten aber 
verschieden lässt, öder die beiden Abbildungsarten identisch macht, aber 
die beiden Systeme auf M^ verschieden lässt. Ein Obergang wäre also, 
beides verschieden anzunehmen. 

7. Ein wesentlicher Fortschritt erscheint dann, wenn man beide 
Abbildungen als Theile einer Transformation denkt, welche den ganzen 
umgebenden linearen Raum beherrscht, insbfern dies möglich ist. Eine 
Transformation Q^ ftihrt iJ, in eine 3ff, eine Q^ Ml in ikf* und Q^ die 
itff in R[. Das Resultat Q^Q^Q^ ist die birationale Transformation -R^jRJ, 
welche aber nun in einer Transformation zwischen zwei R^ enthalten ist. 
Um das Verfahren von Veronese, welches eine nicht ganz voUendete Ver- 
allgemeinerung der Methode von Sturm auf R^ ist, als speciellen Fall 
hievon zu erhalten, hat man die Projection durch eine birationale Trans- 
formation der zwei Räume zu definiren, welche itf^und den R^ umgeben, 
in welchen projicirt wird. 

XL VIII. Theorem. Man känn jede centralé Projection einer ilf" in 
R^ auf einen Ri als Bestandtheil einer biratiönalen Trahsformation des ganzen 
Raumes definiren.^ 

Beweis. Man känn in jedem projicirenden Raume die beiden Punkte 
als einander entsprechend in einer sogar nicht ganz bestimmten .Colli- 
neation betrachten* 

• IL. Theorem. Man känn jede windschiefe Projection einer M^ auf 
einen Rt, welche durch ein lineares System von M^..^, iöelche M^ und R^ in 
je einem Punkte schneiden, geleitet wird, als in einér hirationalen Träns- 
formation des ganzen Raumes R^ enthalten betraöhten, gewiss in dem Falle, 

» 

wo die Mr_i jede cx:>""* eindeutige Correspondenzen gestalten. 



^ Es ist Dicht möglich, in der Ebene jede rationale Curve duroh. birationale Träns 
formation der Ebene in jede andere zu verwandeln. Ebenso ist im IZ, nicht jede abbild- 
bare Fläche und im Rr nicht jede abbildbare Mr—i homaloYdal. Aber mit Hilfe des 
obigen Satzes beweist man: 

Irgend zwei eindeutig bezogene Mi haben die Correspondenz enthalten in einer ein- 
deutigen Transformation jÄweicr Käumc 7?r, wo r ein gewisses Minimum haben wird. 



170 S. Kantor. 

Hieraus folgt auch, dass wenn eine Transformationen ein invariantes 
Btlschel von M^^^ hat, sic birational tlbertragbar in eine andere ist, welche 
ein invariantes Btischel von i?^_i hat. Und das Theorem: Wenn eine 
Transformation ein lineares co* System von -3f?«i mit einem gemeinsamen 
Punkte invariant lässt, ist sie birational tlbertragbar in eine andere, welche 
ein lineares co' System von 7J^_< invariant Iftsst. 



% 8. Veret/nfachung der vorigen Methode. 

Die vollständigen invarianten Curvensysteme werden i. A. nicht die 
Dimension 3 haben. Aber fOr eine effective und periodische Transforma- 
tion gilt, dass die Collineation unter den oo* Curven eines Systemes immer 
auch ein invariantes co' System hervorruft. Also: 

L. Theorem. Jede periodische biratiandle Transformation känn als BUd 
einer collinearen Umwandlung unter den Punkten einer abbildbaren 3f J des 
7J3 betrachtet werden. 

In den meisten Fallen reducirt sich gleich*zeitig die Ordnung der M^y 
was ich in zwei wichtigen Fallen nachweisen will. 

1. Fttr 7 Punkte bilden die C^{a\..af) durch 3 invariante Punkte 
d^d^d^ ein co' System und bilden eine M\ mit 7 + 21 + 21 + 7 = 56 
Kegelschnitten ab. Die G^ durch a^...a^y d^d^ bilden drei gegen einen 
Punkt convergirende Doppelgeraden ab. Die Anwendung der Methoden 
von Clebsch und Nöther ist ohne Schwierigkeit. Es sind dann die 
CoUineationen zu suchen, welche eine solche M\ reproduciren. Man känn 
so das 5. Mal die Methode der canonischen CoUineationen anwenden, 
indem man die M\ unter der Form mit willktlrlichen Coefficienten schreiben 
känn: 

*y* ^3/2 3/3^1 "T* jO^jT^yXq i" •<'1 »*^3 "T* *<^i »Tq *y* X^tC^ ~j" »Tiju-j *y* OO^JOy "J" OC^tC^ ^^^ O. 

2. Ftir 8 Punkte bilden die C^{al...al)j welche doppelt durch einen 
invarianten Punkt der Transformation gehen, eine M^ des R^ ab. Die C» 



Neue Theorie der eindeutigen pcriodischen Transformationen in der Ebene. 177 

durch ai ,. . ag, d ist das Bild einer Doppelgeraden, welche vielmehr cus- 
pidal ist, Og das Bild eines dreifachen biplanaren Punktes der Flftche, 
welche 8 + 28 + 56 + 56 + 56 + 28 + 8 = 240 windschiefe (7, enthalt, 
die eine Configuration bilden, welche ein treues Abbild der von den Fun- 
damentalcurven mit den 8 Punkten a gebildeten Configuration ist.' 

3. Die C^{a\ . . , alyd^d^d^) bilden eine M^ in iZ» ab und wenn man 
d^d^d^ auf einer A^ des Btischel nimmt, känn man noch einen Punkt d^ 
hinzufOgen, so dass die Fläche ilfj wird. A^ ist Bild eines dr.eifachen 
uniplanaren Punktes, die Cj durch e?4 Bild einer Doppelgeraden d^. Die 
osculirende Ebene in A schneidet M^ in d^ und drei einfachen Geraden 
dudi) 9z durch A. Wenn durch d\ nicht ein Bttschel von C^ geht, so 
sind alle C^ in Ebenen durch d^ inflectiv in A an d^ und der unendlich 
nahe Punkt ist das Bild von a^. Die Gleichung der Fläche ist in diesem 

Falle 

11 111 

sodass man ein 6. Mal die canonischen Collineationen anwenden känn. 



§ 9. IHe Fläcken Ml mit (n — 2yfacher Oeraden, tvelche durch 

el/ne CollinecUion reprodudrt werden. 



—2 



Die Abbildung geschieht durch eine cxd' System von Curven C^ a" 
durch 3n — 4 einfache Punkte, eine C„_i a"~' biidet die (n — 2)-fache 
Gerade ab. Die Gleichung ist 

(i) orl^^^-^x, , x^) + rr?frr'(^i , ^2) + ^i^c.^r^^i^i j ^2) + x^x,ip\^\x, , x^) 

+ ^4Fr'(^i j ^2) + <fi{^i y ^2) = o. 

Die Discriminante der Form in A, nachdem x^ = Xx^ gesetzt wurde, 
liefert die Ebenen der zerlegten Kegelschnitte. Eine birationale Trans- 
formation, welche das 00^ System reproducirt, ist das Bild einer Colli- 
neation, welche Ml reproducirt und umgekehrt. 

LI. Theorem. Die typischen Transformationen mit {ab) sind Bilder von 
collinearen Umwandlungen eines Punkt esystemes in Ml mit {n — 2yfacher 
Geraden. 

Äeta mathemoHea. 19. Iroprimé le 18 mars 1895. 23 



178 S. Kantor. 

Denn jede solche Transformation besitzt ein invariantes <X)^ System 
von 6\ a**""'. Man känn also ein 7. Mal die Methode der canonischen 
CoUineationen anwenden, welche die (i) reproduciren sollen. 

2. Dass die Collineation periodisch sein musS; folgt daraus, dass die 
3n — 4 Tangentenebenen unter einander transformirt sein mtlssen und ihre 
Beröhrungspunkte ersichtlich nicht in einer Geraden, aber aiich wegen 
der Anzahl der Tangenten an die Schnittcurve von M\ mit dieser Ebene 
nicht in einer Ebene sein können. 

Die Curve C7„_i a*""* känn sich in m Geraden und eine Curve (7^_„«i 
^n-s-m 2erlegen, bis zu w = n — 4 . In diesem Falle hat die Flache M\ eine 
(n — 2)-fache Gerade mit m stationären Tangentenebenqn und n — m — 2 
variabeln Tangentenebenen. In (i) werden ^^ und ip^ einen gemeinsaraen 
Factor m Grades haben. 

Ziehen wir endlich die Schlussfolgerung aus den §§ i und 4 — 9: 

Ln. Theorem. Jede periodische birationale Transformation ist das Bild 
einer collinearen Umwandlung unter den Punkten einer Fläche 3. öder 5. O. 
öder n. O. mit (n — lyfacher Geraden im R^. 



g 10. IHe durch eine rationale Transformation des umgebenden 

Jtautnes invarianten abbildbaren Flächen* 

I. Unter den Punkten zweier abbildbarer Flftchen öder unter den 
Punkten einer einzigen besteht eine Unendlichkeit eindeutiger Correspon- 
denzen. 

Sei L das Abbildungssystera von M\ und sei durch die ebene bi- 
rationale Transformation, welche das Bild der Correspondenz auf Ml ist, 
L in ein System L^ verwandelt, dem auf Ml ein System A entsprechen 
möge. Nach dem Restsatze sind die Curven von A corresidual und es 
existirt ein 00* System von Flachen, welche die A als Restcurven ausschnei- 
den und welche, geleitet durch die Correspondenz auf ilifj, eine einfach 
rationale Transformation bestimmen, welche in Ml diese Correspondenz her- 
vorruft. Wenn das Flächensystem in speciellen Fallen homaloldal ist, so 
ist diese Transformation birational för den ganzen Raum.^ 



Neue Theorio der eindeutigen periodischeo TraDsformatioDen in der EbeDO. 179 

Diese Methode, Transformationen zu construiren, welche eine gegebene 
abbildbare Fläche reproduciren, ist ganz verschieden von jener, eine ge- 
gebene abbildbare Flache in ein co* homaloTtdales System einzureihen. 
Sie erstreckt sich auf alle Flächen, während diese nur die homaloldalen 
triflft. Sie känn einerseits dienen, uui die periodischen Transformationen 
des Raumes zu construiren und andererseits, um ebene periodische Trans- 
formationen zu entdecken. Das erste Verfahren existirte bereits in der 
Ebene, aber das zweite war ohne Werth, da das Resultat im binären 
Gebiete p = o kein anderes als die binären Projectivitäten sein konnte. 
Sogar die nicht abbildbaren Mi der R^ gestatten die Ansvendung dieser 
Methode, sofern man nur die Geometrie ihrer Curven kennt. Ein Beispiel 
hat man in den C,, cit. Abh. I. TheiL 

2. Eine Anwendung der Methode im zweiten Sinne ist die folgende. 
Man känn Reciprokåltransformationen * finden, welche eine gegebene Fläche 
2. Ordnung reproduciren, z. B. indem man mit F^ eine C^ {p = o) 2. Art 
und dann mittelst der Methode des § 4 der Preisschrift eine Transforma- 
tion construirt, welche C^ reproducirt, und in Folge dessen auch F^. 
Man känn auch eine Transformation construiren, welche C^ (|? = 1) repro- 
ducirt, und hiemit das Böschel von F^ und also zwei dieser JP,, welche 
Kegel sein können. 

Ebenso ist es möglich, Flächen F^ mit Doppelgeraden zu construiren, 
welche invariant in einer Reciprocaltransformation sind. Sie mtlssen min- 
destens zwei Doppelpunkte besitzen. Eine PlQckersche Complexflache känn 
invariant sein in einer Reciprocaltransformation, welche in jedem Raume 



^ Dieselbe Methode lässt sioh auch noch fUr Mr—i im Rr anweDden ; iadem ja der 
Restsatz auch fttr Mr—i gilt. Man kaDo sogar genau so vorgehen, um Transformationen 
zu finden, welche eine gegebene abbildbare 3f< des Rr reproduciren. Fttr jede abbildbare 
Mr—i öder Mt wird man sich die Frage stellen mttssen, welcher der niedrigste Rang einer 
Transformation sei, in welcher eino Correspondenz in Mr—i öder Mt als Bestandtheil ent- 
halten sein känn. 

Der Orundgedanko dieser Methode ist schon in meiner Note in den Comptes Rendus 
vom 5* J&Duar 1 885 gegebeo. Im November 1893 bemerkte ich, dass dieselbe Methode 
auf einige Specialfulle von Dom. Montesano, Atti delf Istituto Veneto, 1888, p. 1425, 
angewendet ist, ohne irgend einer Erwähnung meiner Note zu begegnen. 

* Ich nennc so die Transformation Xi = r=- ^ vro Li homogene linearo Function der ^, 



180 S. KaDtor. 

zwei Gegenkanteii hat, die die Uoppelgerade schneiden und die 8 Funda- 
raentalpunkte in den 8 Doppelpunkten der FlÄche. ^ 

3. Um diesen Gedankengang weiter zu ftthren, sei bernerkt, dass 
wie in der Ebene auch iui R^ der Satz besteht, dass eine abbildbare 
M"_i im R^ nur dann diirch eine birationale Transformation in sich Uber- 
gefiihrt werden känn, wenn 3/"_, einen Bestandtheil eines co* Systemes 
biidet, wo k ein Minimum und dass allgemein das Minimum des Ranges 
einer solchen Transformation von den Zahlen p , u der Systeme abhängt, 
in welche iV/J!_i als solche eintreten känn. 

Lin. Theorem. Jede birationale Correspondenz unter den Punkten einer 
homaloidalen M^ des R^ ist in unendlich vielen birationalen Transformationen 
des R„ enthalten, 

Beweis. Es existirt wenigstens eine birationale Transformation T, 
welche die M,^ in eine Ebene uberftthrt und die Correspondenz in eine 
birationale Transformation der Ebene. Th. LV beweist, dass diese in 
einer Unendlichkeit von birationalen Raumtransformationen enthalten ist, 
welche durch T"^ die Transformationen des Theoremes geben. 

LIV. Theorem. Jede quadratische Transformation Q^ der Ebene ist in 
einer Unendlichkeit cubischer Transformationen mit 4 Fimdamentalpunkten 
und in einer Unendlichkeit cubiscJier Transformationen mit 4 Fundamental' 
geraden und von quadratischen Raumtransformationen enthalten. 

Beweis. Man iiberzeugt sich zuerst, dass diese Transformationen 
Ebenenpaare mit Q'^ gestatten und construirt sie dann gemäss der Angiabe. 

LV. Theorem. Jede birationale Transformation der Ebene ist in einer 
Unendlichkeit birationaler Transformationen des Raumes enthalten, ^ 



^ DcDu die 8 FuDdamcDtalpunkte bildeu ciue CoDfiguration von MöBius, fttr welche 
die Doppclgeradc von F^ eine der Sehröterschen Geradeu ist. Cf. Schröter, Jour Dal 
fttr Mathematik, Bd. 91. 

' Wenn cs nicht auf den Satz LIV ankommt, känn man LV sofort fUr Hr bcweiseo. 
Die Rr—i eines BUschels mogen birationale Transformationen enthalten, welche sämmtlich 
Projectionen einer unter ihnen sind; dann ist die Qesammthcit eine birationale Trans- 
formation des Hr- 



Neue Theorie der eiodcutigeD pcriodisohen TransformatioDeD in der Ebene. 181 

Beweis. Man zerlegt die ebene Transformation in Q^ und construirt 
för jede.eine der Transfonnationen aus LIV. Deren Zusaramensetzung 
gibt die gewtlnschte Transformation. Hieraus: 

LVI. Theorem. Jede birationdle Transformation des Raumes, welche 
eine Ebene in eine Ebene mit nicht degenerirter Correspondenz verwandelt, 
ist zusammensetzbar durch eine Beilie elementarer Transfonnationen, welche 
i) Tran^ formationen mit zwei collmear und 2) Transformationen mit zwei 
quadratisch bezogenen Ebenen sind. 

Die Transformationen i) und 2) sind in endlicher Zahl von Arten 
vorhanden, welche man elementare Arten nennen känn, und wir erhalten 
das wichtige Resultat: 

Die Transformationen unseres Theoremes sind alle zusammensetzbar 
durch Transformationen einer beschränkten Anzahl von elementaren Arten. 
Ich beweise ferner: 

LVII. Theorem. Jede Transformation des li.^ , welche ich oben elementar 
genannt habe, ist in einer Unendlichkeit von birationalen Transformationen 
des R^ enthalten und Jede dieser in einer Unendlichkeit von Transformationen 
des R^ u, s. w. und scMiesse hieraus: 

LVIII. Theorem. Jede Transformation des R,.j ivelche einen i2,._i in 
einen R^_^ eigentlich verwandelh känn, und in diesem einen R^_,2 in einen 
Rr'-2 w- ^- w;.j endlich einen R^ in einen R^, ist zusammensetzbar durch 
Transformationen einer beschränkten Anzahl von Arten, welche man elementar 
nennen känn. 

4. Es niöge noch die Methode der n° i im ersten Sinne u. zw. auf 
die Transformationen mit 7 und 8 Punkten angewendet werden. Ein co^ 
System von C^ durch 6 der 7 Punkte, wird in ein System von Curven 
der Ordnung 3m — Sy» verwandelt werden. Fttr die Fundamentalsysteme 
mit 6 Punkten känn man die 6 Scheitel auf die 6 Fundamentalpunkte 
bringen und die C3 werden in C^ durch 5 der Scheitel und durch den 7. 
Punkt verwandelt werden, welche auf F^ biquadratische Curven durch 
einen festen Punkt P von F^ liefern. Indem man die C'^ durch eine Cg 
ergänzt, welche al enthält, erkennt man, dass die C^ mit einem festen 
Kegelschnitte den Schnitt von F^ mit F^ durch P und diesen Kegelschnitt 



182 S. Kantor. 

bilden, also eine birationale Transformation liefern. Ahnlich fOr die 
Fundamentalsysteme mit 5 Punkten und fttr die Transformationen mit 8 
Punkten in der Characteristik. 

Jede Transformation mit 7 , 8 Punkten ist das Bild zweier biratio- 
naler Systeme auf einer cubischen Flache des iJ^, welche durch eine Un- 
endlichkeit monolfdaler Transformationen des R^ reproducirt wlrd, deren 
zwei Centren coincidiren oder verkettet sind und deren Fundamentalcurve 
sich zertheilen känn, oder durch Transformationen mit (n — 2)-facher Fun- 
damentalgeraden. 



S 11. Das Bild der typischen Transformationen auf 

den ctibischen Fläcken. 

FOr die Transformationen mit 7 Punkten känn ein anderer Weg als der 
in § 10 verfolgt werden, indem man die F^ von einem Punkte P in ibr auf 
die Ebene U projicirt denkt. Man construirt eine JPg, welche die gegebene 
Curve 4. Ordnung liefert und verlangt die Correspondenz auf JP3, welche von 
P aus in die Collineation auf H projicirt ist. Sei 4/1^1 — <2=o...i) eine der 
unendlich vielen Darstellungen von L^ in dieser Form; xltx+xJ^+tl^=o...2) 
wird eine cubische Fläche der genannten Lage sein. Vm^F^ zu construiren, 
schneidet man den Kegel P{L^) mit einer' Fläche (P,, welche die Geraden 
von P nach den Bertthrungspunkten von t^ mit L^ enthält. Der Kegel 
P{L^) und die Fläche (^2)' bestimmen ein Bdschel, welches auch Pt^ 
und die gewtinschte Fläche vereinigt enthält. Indem man nun die Col- 
lineation in n vom Centrum P aus auf F^ projicirt, erhält man zwei bi- 
rationale Transformationen auf F3, von welchen die eine die Zusammen- 
setzung der anderen mit der centralen Involution P ist. Hiebei ist ös 
wegen § 10 nothwendig, sich gegenwärtig zu halten, dass diese Involution 
in keiner monoKdalen cubischen Transformation enthalten ist, welche die 
Projection A^ der Zr4 auf die F^ als Fundamentalcurve hatte. 

Man findet durch die Discussion der Typen, dass unter den zwei 
Correspondenzen auf F^ stets eine ist, welche in einer Collineation des 2J, 
enthalten ist. Ich bemerke noch, dass man mit dieser Discussion eigent- 
lich eine 2-deutige Abbilduncr der F^ auf die Ebene fl durchftthrt. 



Neuo Theoric der eindeutigeD periodisoheo Transformationcn in der Ebene. 183 



S 12. Dte Methode der Bilschel von Curven 3. O. ftlr dietypischen 

Transformationen. 

I. Die isolirten Typen sind dadurch ausgezeichnet, dass jede von 
ihnen wenigstens ein invariatites Bttschel von C^ besitzt. Ich will daher 
auf das Problem eingehen, a posteriori die Transformationen zu bestim- 
men, welche ein Böschel von C^ reproduciren. Dies fohrt zu zwei Discus- 
sionen : 

1. Wenn ein Btlschel von C^ bekannt ist, auf eindeutige Art in jeder 
Curve eine Correspondenz so zu bestimmen, dass das Resultat eine Trans- 
formation gibt, wo alle C, invariant sind. 

IL Jene BUschel von C^ zu finden, welche unter den C^ eine bi- 
näre Projectivitat gestatten, und unter je zwei successiven C^ eine Cor- 
respondenz auf eindeutige Art festzusetzen, sodass die Wiederholung der 
erhaltenen Transformation auf eine der Art I. ftthrt 

A. Die Buschel von Curven 3. Ordnung. 

2. Eine genaue, hier erforderliche Kenntnis der Btischel verlangt, 
die Probleme zu lösen: 

III. Alle Bdschel zu bestimmen, welche unter einander durch die 
Alineationen und Bertihrungen differiren, d. h. welche durch CoUineationen 
nicht aquivalent sind. 

IV. Alle BOschel zu bestimmen, welche durch birationale Trans- 
formation nicht äquivalent sind. 

Die absolute Invariante der Curve L + ?M = o ist von Wichtigkeit 
und indem man setzt 

^(l +a)«(2 — «)*(! — 2a)« 

liefert die Gleichung S^ — kT^ = 012 Werte von A. Die C^ mit gleicher 
absoluter Invariante bilden Gruppen einer Involution 12. O., der funda- 
mentalen Involution, welche 6 Doppelelemente ftlr die 0,^ und 4 drei- 
fache Elemente f(lr die C^ und 8 Doppelelemente fQr willkQrliche a hat. 
För das syzygetische Bttschel entsprechen diese 8 Elemente den 4 Wende- 



184 S. Kantor. 

dreieckeri. Die Discriminante D^{k) bestiinnvt die Natur des BOschels. 
Wenn S^=^ o öder 7\ == o Doppelelemeiite absorbiren, muss man mehrere 
der Coefficienten von 

gleich Niill setzen. Eine Reduction im Grade der Involution ist nur 
möglich, wenn eine Curve existirt, welche der absoluten Invariante einen 
von k unabhängigen Factor gibt, d. h. eine Curve mit unbestimmter ab- 
soluter Invariante. 

LIX. Theorem. Jede Cl des Buschéls absorbirt 2 Curven der Invariante 
kj I Curve C^ und 1 Curve C^y jede Z^^ {Kegélschnitt nebst einer seiner 
Tangenten) y absorbirt 3 Curven Q, 2 Curven Cf^y i C^, Jede Z^^^ {drei 
conver gente Geraden) absorbirt 4 C^, 2 C^ und 2 C^. 

Die Curven Z^^ (Doppelgerade nebst einfacher Geraden) und Z^ (drei- 
fache Gerade) vermindern den Grad der Involution ura 6 und 8. 

Es miissten nun alle Fälle, wo die vielfachen Punkte von Zg = CJ, 
^111 > ^11 > ^1 ^^* ^^" Basispunkten coincidiren und die Reduetionen der 
fundamentalen Involution aufgezählt werden. Man mttsste ferner die 
Classification der Basisconfiguration mit der Classification der fundamen- 
talen Involution combiniren. Von besonderer Wiehtigkeit sind die Biischel 
mit constanter absoluter Invariante u. zw. nach Weglassung jener lediglieh 
mit Zjj und Zj, sind es diese: 

6Z3 S^n, 2Z,. 4^,, -^, +^n. Z^ + ^Z^ ^., + 2Z., 

C';^ 6 6 6 8 6 6 7 

C, 6 6 4 4 8 5 4 

Z„ + 3Z3 Z,„ + 4^» 2Z,„ + 2Z, 3Z,, + 2Z, 2Z,, + 3Z, 
6\ 6 ■ 6 6 8 7 

C\ 5 ^ 5 5 5 

^IJ + ^111 + ^8 ^111 + 2Z,, + Z, 

C\ 6 7 ' 

C\ 5 5 



Neue Theorie der eindeatigen periodischen Transformationen in der Ebene. 185 

Diejenigen Combinationen, wo beide Zahlen die Normalzahlen 6, 4 
öberschreiten, können nicht geometrisch existiren. Indem man diese Coin- 
binationen ausschliesst, bleiben: ^ 

Panharraonisch /^Z^^ , Z^^ + iZ^^ , 2Z,2 + 3Z3 

Panäquianharmonisch 6Zg , sZ^^, , Z^ + Z^^^y Z^ -f ^^zt^w + 3-^8> 

^111 + 4^3- 

Das grösste Interesse knOpft sich an das Biischel 6Zg. Ich gebe einige 
Eigenschaften desselben: 

LX. Theorem. Die Seiten der co^ Hesseschen Dreiecke umhtUlen eine 
Curve r^ und die Scheitel erfuUen eine Ourve Dg. Die zwei Curven be- 
rUhren sich in den 6 Spitzen des Buschéls, schneiden sich Uberdies in 6 
Punkten auf den 6 Guspidcdtangenten und haben ein- und umgeschriebene 
Dreieckslage. Die Curve F^ ist mit einer anderen Cg die Jacobische Curve 
des Buschels von C^, welche sich in den 6 Spitzen berähren. Die Geraden, 
wélche die Punkte von Dg mit den Beruhrungspunkten der gegenUberliegenden 
Tangenten verbinden, sind Tangenten von j^^ 

B. Die Correspondenzen. 

Nachdem man die 5 Correspondenzen entdeckt hat, ist das Problem 
I zu lösen. Um u' +u^f in den Curven des Btischels zu construiren, 
hat man verschiedene Wege: i) Man bestimmt sie durch das Centrum, 
welches in einem Basispunkte öder in den Schnittpunkten der Cg mit 
einer rationalen Curve genommen werden känn. 2) Durch ein Paar ent- 
sprechender Punkte. Diese können zwei Basis{)unkte sein (was B^ gibt) 
öder einer ein Basispunkt und der andere in den Schnittpunkten der Cg 
mit einer rationalen Curve öder alle zwei in zwei Schnittpunkten der Cg 
mit zwei rationalen Curven. 3) Durch einen Doppelpunkt. Dieser känn 
ein Scheitel sein (J^) öder gelegen in den Schnittpunkten der Cg mit 
einer rationalen Curve. Es ist interessant, diejenigen FäUe zu untersuchen, 

^ Das oinzige BUschel mit constanter absoluter Invariante k ist, wenn h willktirlich. 
wie mir resaltirt, das BUschel, wo eine loflexioDStaogente und die drei Bertihrungspunkte 
der vom Inflexionspunktc ausgehendeD Tangenten gemeinsam sind. Diese 4 Tangenten be- 
stimmen das Doppelvcrhältnis. 

Äeia mathematira. 1?>. Imprlmé le 21 mars 1896. 24 



186 S. Kantor. 

wo die Doppelpunkte zwei Curven erfftUen, von welchen jede die C^ in 
zwei Punkten schneidet. 

Um w' + w~/', ii' '\- sti = Yj u' •{- su = ]f zu construiren, bedient man 
sich derselben Arten, indem man darauf achtet, dass u' + i^^ = J'y ^(' + ^u = T 
nur för panharmonische und panäquiharmonische Btischel anwendbar sind. 
Ich hebe besonders die Transformation lo. O. hervor, welche entsteht, 
wenn man mittelst zwei Basispunkten als Paar u' — u^y construirt. 
Das Aquivalenztheorem von § 2 I. Theil fiihrt nun zum 

LXI. Theorem. Alle Träns formationen, welche in Correspmidenzen auf 
den CO ^ Cg des Buschels hestehen, sind hirational äquivaJent Transformationen 
derselben Art, welche Scheitel des Biischels als Doppelpunkte öder als ent- 
sprechende Paare von Punkten haben. 

Gemäss dem letzten Täfelchen verlangen die panharmonischen Bttschel 
eine Alineation unter den Basispunkten und daher können die Transforma- 
tionen keine Typen mit 8 Punkten sein. 'Unter den panäquiharmonischen 
Btlscheln ist das einzige, welches Typen mit 8 Punkten liefert, jenes 6Z3. 
Fttr dieses gilt nun: 

LXII. Theorem. Die Transformation, welche durch die Correspondenzen 
u' + eu=:Y mit Doppelpunkt auf einem Scheitel des Buschels 6Z3 zusammen- 
gesetzt wird, ist 5. O. mit der Characteristik y in c, »i/Sf+i , ot<&f+i, also E^. 

Beweis. Die Transformation wird die 6 Spitzen der Cl als invariante 
Punkte haben, also insgesammt 7 eigentliche Doppelpunkte. Irgend einer 
der anderen Scheitel wird in keiner Correspondenz sich selbst entsprechen 
können, woraus sofort zu schliessen ist, dass die Transformation 5. O. ist. 
Es ist unmöglich, dass zwei Scheitel ein involutorisches Paar bilden, denn 
dieses Avörde 'svegen den C^ co^ involutorische Paare liefern und die Wieder- 
holung der Transformation wOrde also 00^ Doppelpunkte haben, welche 
eine Curve der 18. O. erfiiUen wttrden. Da aber 6 Fundamentalpunkte 
in Coincidenz treten mlissen, känn die Ordnung der zweiten Transforma- 
tion nicht grösser als 7 sein. Die Characteristik muss also in 8 Punkten 
bestehen und da sie keine uneigentlichen Doppelpunkte haben darf, ist 
sie unmöglich von anderer Art als y m c, ^y/Sj+i , «!&<+! . 

Mittelst des § 2. II. Theil der cit. Abh. beweist man: 



Neuc Theorie der eindcatigen pcriodischen Transformationen in der Fbene. 187 

LXIII. Theorem. Wenn ein Scheitel des Buschéls S-^m als DoppeU 
punkt einer Correspondenz w' + sw = /• genommen wird, werden zwei andere 
Scheitel ein involutorisches Paar dieser Correspondenzen bilden ufid die Trans- 
formation wird quadratisch: a' in a y b' in b^ c' in c. 



C. Methode zur Äuffindung der Biischel von C^ mit particulärer 

fundamentaler Involution. 

1. FOr das Problem II muss man die Bttschel kennen, welche eine 
binäre Projectivität unter ihren Cg gestatten. Es wird sich herausstellen, 
dass hiezu die Lösung des Problemes IV hinreicht. Da die Gruppen der 
Involution unter einander transformirt werden inttssen, folgt: 

LXIV. Theorem. Die fundamentale Involution muss mit der binären 
Projectivitdt unter den C^ identisch sein öder sie als Bestandtheil enthalten. 

Hiebei sind natilrlich die C^ und (7^ je unter einander transformirt. 

2. Da man eine Correspondenz unter zwei C.^ mittelst eines Paares 
entsprechender Punkte bestimmen känn, so verificirt sich: 

LXV. Theorem. Wenn man zwei Buschél haty welche unter einander 
mittelst einer binären Projectivität der Cg als Individuen so beziéhbar sind, 
dass die absoluten Invarianten erhållen bleiben^ hat man immer eine bira- 
tionale Transformation der Ebene^ welche das eine Buschel in das andere 
verwandelt. 

Die fundamentale Involution begreift also alle Invarianten der Böschel 
gegen birationale Transformation in sich. Ich ergänze dieses Theorem 
durch das andere: 

LXVI. Theorem. Wenn man ein Buschel von C^ in it einer gewissen 
fundamcnfalen Involution hat, känn man jeden der 9 Basispunkte als bestim- 
menden Doppelpunht von Correspondenzen auf öder unter den Cg néhmen und 
diese 9 Irans formationen werden äquivalent sein. 

Beiveis. Es existirt immer eine involutorische Transformation, welche 
das Biischel in sich verwandelt und das involutorische Paar a^a^ enthält. 
Sie uberträgt die D^ fQr a^ in die D^ för a^ und daher sind die zwei 



188 S. Kantor. 

Dg birational äquivalent. Aber da die typische Transformation durch 
die zugehörige Curve D^ bestimmt ist, sind auch die zwei Transforina- 
tionen äquivalent. 

Der Beweis bleibt aufrecht, insolange D^ die Transformation bestimmt, 
was noch för zerlegte D^ bestehen bleibt, da eine Zerlegung in 9 Ge- 
raden, welche die 8 Punkte zu dreien enthalten wttrden, nicht Statt hat.^ 



3. Wenn eine birationale Transformation ein Biischel von Q re- 
producirt, ist es nicht nothwendig, . dass die Transformation periodisch sei. 
Aber auch in diesem Falle existirt ersichtlich unter den Curven des 
BOschels eine Projectivität, welche die fundamentale Involution in sich 
selbst verwandeln muss. Also: 

LXVn. Theorem. Wenn eine aperiodische öder periodische Characteristik 
mit 9 Punkten diese 9 Punkte in den Scheiteln eines Biischels von C^ hat, 
werden die 63 unter einander durch eine cydische Projedivität transformirt 
werden, welche den Index < 1 2 hat. 

Ein willktlrliches Böschel von C, gestattet also keine andere bira- 
tionale Transformation als jene des Problemes I. 

4. Unter der Voraussetzung, dass eine eigentliche C^ fest bleibt, 
känn man eine Menge von Characteristiken mit invarianten Cg-BOschel 
construiren und es wird dann eine blosse Consequenz hievon sein, wenn 
die Cg eine solche Vertheilung haben, dass die fundamentale Involution 
reproducirt ist. Dieses ist also die beste Methode, um alle Btischel mit 
projectiver fundamentaler Involution zu finden, u. zw. in Betracht des 
Theoremes LXVII. Man bemerke hiebei noch: 

LXVni. Theorem. Indem man auf ein Biischel von Cg mit projectiver 
fundamentaler Involution eine der Constructionen von B. I. II. dieses Para- 
graphen fiir Correspondenzen unter zwei aufeinander folgenden C, anwendet, 
wird man i. A. eine aperiodische Transformation erhållen, 

LXIX. Theorem. Älh Biischel mit projectiver fundamentaler Involution 



^ Ein ähnlicbcr Beweis fUr die TransformatioDen mit 7 unter den 9 Punkten känn 
nicht gegeben werden und das Theorem fiir die Typen, welohe mit den Septupeln zu 
bilden sind, bcsteht nicht. 



Neue Theorie der ciodeutigen pcriodischen TraDsformationen in der EbeDe. 189 

sind erhältlich, indem man Träns formationen mit 9 Punkten auf einer ge- 
gebenen eigentlichen öder uneigentlichen C, so aufstelltj dass die 9 Punkte 
Basis eines Buschels sind. 

5. Indem man diese aperiodischen Characteristiken mit 9 Punkten 
construirt öder rechnet, wird man in den 6^3 des Bilschels Correspondenzen 
erhalten, welche nicht periodisch sein können, da die ProjectivitRt unter 
den C3 schon periodisch ist. Also muss die Correspondenz u' — u^f 
werden und eine Wiederholung wird alle C^ invariant mit u' — u=iy haben. 

6. Man känn eine wiehtige Anwendung dieser aperiodischen Trans- 
formationen machen, indem man eine beliebige Qber 9 Punkten construirt, 
welche die Basis eines Bttschels von 63 sind, * die Natur des BOschels 
und die binäre Projectivität H studirt. Hernach stellt man eine neue 
Transformation T auf, so dass man einem beliebigen Basispunkte, indem 
man jetzt die Identität unter den C^ verfolgt, die Schnittpunkte mit 
einer durch die vorausgesetzte Characteristik bestimmten rationalen Curve 
entsprechen macht. 

Indem man die ursprQngliche aperiodische Transformation mit T^^ 
zusammensetzt, erhält man eine Transformation, welche die C^ gemäss H 
verwandelt und einen Scheitel invariant lässt und welche folglich perio- 
disch ist. Was die Hilfstransformation T betrifft, känn man sie, ^ei es 
mittelst w' + w = ;', sei es mittelst u' — w^fj sei es sogar mittelst u'-\'mu = Y 
(tn = i , s) construiren. Also: 

LXX. Theorem. Alle periodischen Matrixtransfonnationen ^ werden er- 
halten^ indem man aperiodische Träns formationen mit 9 Punkten mit einer 
Transformation der unter B. 2) gefundenen Classe zusammensetzt, und das 
wiehtige 

LXXI. Theorem. Die besonderen Buscliel von C?, , welche invariant sind 
durch aperiodische Transformationen mit 9 Punkten, sind dieselben als jene, 
welche invariant sind durch die periodischen Matrixtrans formationen, 

LXXII. Theorem. Umgekehrt erhält man alle exiMirenden aperiodischen 



^ Der Schlass io n^ 5 zcigt, dass alle derartig coDstruetibeln Characteristiken mit 
den in B. i) dieses § crhaltenen idcotisch sein mtlssen. 

' Ich nenne so die Transformationen mit weniger al.<< 9 Punkten. 



190 S. KaDtor. 

Träns formationen mit 9 Punkten, indem man die Matrixlr ans formationen mit 
der unter B, 2) entdeckten Classe zusammensetzt, 

LXXIII. Theorem. Es gibt kein anderes Buschel mit projectiver funda- 
mentdler Involution öder panharmonisches öder panäquianharmoniscJies Bmchd 
als die durch die periodisclien Typen gelieferten und also in der cit. Ahh. 
enthaltenen Buschel. 

LXXIV. Theorem. Es gibt Buschel 6 C\ mit hinärer Projectivität eines 
jeden der Indices 2, 3, 4, 5, 6. 

Beweis. Nach dem Vorhergehenden milsste man eine periodische 
Transformation mit diesem Buschel haben. Aber unsere Aufzählung so- 
wohl nach der cit. Abh. als nach der Methode gegenwärtiger Arbeit 
liefert alle diese Böschel. 

LXXV. Theorem. Es gibt kein anderes panharmonisches Buschel mit 
4Zjjj als jenes, tvo die ^Z^^ ein äquianharmonisches Quadrupel bilden. 

LXXVI. Theorem. Es gibt kein Buschel ohne Beruhrung und Alineation, 

G 
wo zwei Scheitel auf allén 63 eine elliptische Entfernung — hatten. 

LXXVII. Theorem. Es existirt kein Buschel, wo die Gruppen des Buschels 
durch Abelsche Gleichungen bestimmt wdren, ausgenommen jene, welche durch 
eine Matrixt råns formation invariant sind. 

D. Die Buschel von C,u niit 9 6-fachen Punkten. 

Man kann.noch die aperiodischen Transformationen verlangen, welche 
ein Bttschel von C\^ (9a') rcproduciren und man Avird sie auf einer vor- 
gelejrten invarianten C^ construiren wie för s= i. ' Jedoch känn man 
hier nicht mehr in jeder Curve eine Correspondenz wie in B. i) 2) be- 
stimmen, weil man die s Nachbarpunkte eines Scheitels nicht trennen 
känn; man gelangt aber zu einer aperiodischen Transformation, welche 
das Buschel reproducirt, in folgender Weise. Man rechne frtr jede l\, eine 
Parametervcrtheiluno; die Summe der 6" Parameter fiir a, und die Summe 

o 1 

der s Parameter fttr a^, dann die Differenz y dieser zw-ei Summen und 
man wird eindeutig eine Correspondenz w' — we:/' auf jeder Curve 63, und 



^ Ich hebc den specielleo Fall hervor, wo dio C^ durch die 9 «-fachcn Puuktc von 
^'si i" 3 Geradcn zeriällt. 



Neue Theorie der oindeutigeo periodischen Transformationen in der Ebene. 191 

in der Gesamintheit dieser Correspondenzen eine birationale Transforma- 
tion haben. Es ist aber nicht raöglich, die tibrigen Correspondenzen in 
diese oo^ G^, zu verlegen, da jede derselben einen vereinzelten ausgezeich- 
neten Punkt besitzt, näinlich y öder y{i — i) öder lye und es aber ^egen 
der Relation A= 35n — 52a = 5(3w — Iol) ftir 5> i keine Curve C„ giebt, 
welche Cg, in je nur einem Punkte schneiden wttrde. Dieselbe Methode 
wie för s = i erlaubt ferner, Biischel von C^, (9a') mit projectiver funda- 
mentaler Involution und, falls es deren geben wiirde, panharmonisehe und 
panaquianharmonische Btischel zu finden. 



§ 13. Eine Classe mehrdeutiger Transformation en. 

Um den § 8 zu ergänzen, bediene ich mich des Umstandes, dass 
jeder Typus ein mit gleichem Index invariantes lineares co^ System von 
Curven besitzen muss und ttbertrage mittelst dieses Netzes in eine andere 
Ebene. Ich spreche den Satz gleich fiir den R^ aus: 

LXXVIII. Theorem. Jede periodische Transformation in R^ känn durch 
einseitig rationale Transposition in eine periodische Collineation dessélben In- 
dexes ilbertragen werden, 

2. In der cit. Abh. habe ich von der MOglichkeit gehandelt, zwei 
Ebenen in Correspondenz zu setzen, sodass den Punkten der einen Ebene 
die Cyclen einer Collineation der anderen entsprechen. Um eine irrige 
Meinung zu widerlegen, bemerke ich, dass in einer Abhandlung: Sopra 
le involuzioni piane F. Chizzoni, wo er von meiner Preisschrift spricht, 
vorauszusehen glaubt, die periodischen Transformationen werden Involu- 
tionen liefern können, welche nicht eindeutig auf die Punkte einer Ebene 
beziehbar sind. Indessen känn ich erklären, dass man för jeden Typus 
ein Netz von Curven finden känn, welche sich gegenseitig in nur einem 
Cyclus der Transformation schneiden. Also: 

LXXIX. Theorem. Alle periodischen birationalen Transformationen theilen 
die Ebene in 00^ Cyclenj welche eine rationale Involution bilden. 

3. Ich ftige bei dieser Gelegenheit hinzu, dass auch der Zweifel 



192 S. Kantor. 

Chizzoni's, welchen er fOr die ebenen Involutionen i. A.' ausspricht, un- 
bogrOndet ist, denn: 

LXXX. Theorem. Jede Involution in dnem linearen Raunie B^ odei' 
also in einer ahhildbaren Ml ist rational, d. h. durch r lineare Parameter 
darstellbar, 

LXXXI. Theorem. Jedes algebraische System von Punktgruppen in einem 
linearen Raume B^, wo durch jeden Punkt des B^ zwei Punktgruppen be- 
stimt sind, ist rational, d. h. durch r lineare Parameter rational darstellbar. 

Und allgemeiner gilt: 

LXXXn. Theorem. Jede lineare öder quadratische oo''""*"*"^ Mannigfaltig- 
keit von Af J im B^ ist durch rationale Functionen a r — i + A linearen Pa- 
rametern darstellbar, auch wenn A = o. ^ 

Neben diese Theoreine stellt sich begröndend und weiterffthrend : 

LXXXni. Theorem. Jedes in einem linearen B^ enthaltene lineare cx)* 
System von -3f^_< känn als vollståndigei' Schnitt von i linearen oo* Systemen 
von M^^i angesehen werden. 

Aus LXXXII. folgt insbesondere fttr i = o: 

LXXXIV. Theorem. Jede Involution k. Stufe in einem linearen B^ öder 
sogar auf irgend einer Mannigfaltigkeit M^., d. h. ein cx)*'' System von Punkt- 
gruppen, von welchem durch k Punkte eine einzige Gruppe geht, ist rational 
{durch rk lineare Parameter darstellbar). 



^ Ich babe von der Abhandlung G. Castelnuovo's Sulla raxionalitå deUe involuxioni 
piane in Math. Annalon Bd. 44 erat am I O. December 1 894 hicr Kcnntniss genommen, 
bemerkc aber sofort, dass in den Sätzcn der ersten 6 Nummem ein nicht unwesentlioher 
Fehler unterlaufen ist. — (ZUrich, 26. December 1 894.) 

' Es gilt sogar das allgemeine Theorem: Fur A>0 ist jede in einer nicht ahhUd- 
baren (also nicht unicursalen) if'! enthaltene Reihe 00'*'"'+^ von Mi, aus welclier eine öder 
xwei Mi durch / Punkte der M^ gefien, rational durch r — i + ?. lineare Parameter 
darstellbar, 

Dieses Theorem enthält als speciollen Fall das Theorem von F. Enriquez, das sich 
in C. Segre's Introduxione alla geotnetria sopra un ente algebrico semplicemente, infinito 
(Annali di matematica, ser. II, t. 22) § 6 aufgenommen findet. 



Neue Tbeorie der eindeutigeD periodiscben TransformationeD in der Ebene. 193 

4. Die i-i-deutige Transformation wird in der i-fachen Ebene eine 
CFbergangscurve haben. Es känn nun geschehen, dass diese eine ebene 
birationale Transformation gestattet, welche sie reproducirt, etwa vom 
Index i. Indem diese mittelst der i-i-deutigen Transformation iibertragen 
wird, erhält man in der einfachen Ebene eine periodische Transformation, 
welche mit der erst gegebenen vertauschbar ist. 

Anmerkung. Es bietet sich hier der folgende algebraische Satz dar: 
Wenn die in einem Curvennetze erscfieinende w-deutige Transformation 
sich in eine birationale und eine andere zerlegt, so zerlegt sie sich sofort 
in m birationale Transformationen, welche sämmtlich periodisch sind. 

Änhang. Es ist nunmehr allés vorbereitet för die Berechnung der 
algebraischen Formeln der 29 existirenden Typen. För einige kennt man 
die Formeln interner Transformationen, welche man also nur zusammen- 
zusetzen hat, wie B^^ aus CoUineation und 0^. Ftir einige bediene man 
sich der Methode des § 5, um die Formeln aus einfacheren zusammen- 
zusetzen. Ahnlich wird man för gewisse Typen vorgehen, deren Cha- 
racteristik eine durch Formeln einfach auszudröckende Configuration biidet. 
So sind T^ereits die Formeln för a' in a, 6' in 6, c' in c in der cit. Abh. 
gegeben und durch Zusammensetzung mit Collineationen erhält man die 
Formeln för B^ und andere Typen. Wenn endlich die Transformation 
eine invariante C^ hat, was immer der Fall ist, und man kenilt grönd- 
lich die Lage der Punkte auf der Cg, was ich nach den eingehenden Un- 
tersuchungen der cit. Abh. behaupten darf, so känn man sie durch Formeln 
ausdröcken. Auch wenn man nur die Parameter, namentlich auf Cg, 
kennt, känn man hieraus ohne jede Schwierigkeit die Formeln in homo- 
genen Trilateralcoordinaten herleiten. 

(Die vorstehende Arbeit war bis auf § 3 des I. und § i o, sowie §12 
C. D. des II. Theiles im Jahre 1885 abgefasst.) 

Paris, den 10. Juni 1894. 



Aeta maihématiea. 19. Imprimé le 21 mars 1895. 25 



195 



Ober reductible binome 

VON 

K. TH. VAHLEN 

in BERLIN. 



Abel beweist in § II der Demonstration de rimpossibilité de la résolu- 
tion des équations générales qui passent le quatriéme degré den Satz: 

Wenn n eine Priinzahl ist, so känn eine n^ Wurzel einer rationalen 
Funktion beliebig vieler unabhängiger Variablen x' , re", . . . keiner Gleich- 
ung niederen als w**° Grades gentlgen, deren Coöfficienten rationale Funk- 
tionen von x' , re", . . . sind. 

Wir stellen uns allgemeiner die Aufgabe: 

Wann känn eine n** Wurzel einer dem nattlrlichen Rationalitäts- 
bereich (rr', x'\ . . .) entstammenden rationalen Grösse einer Gleichung 
niederen als n*®° Grades genttgen, deren Coöfficienten demselben Bereich 
angehören? 

Der Eationalitätsbereich sei zunächst der der rationalen Zahlen. Ist 
c eine rationale Zahl und genQgt z = ^c einer Gleichung niedrigeren 
als n^^ Grades, welche mit der Gleichung z"" — c = o den irreductibeln 
Faktor a + ^i^ + ^2^^ + • • • + öm-i^*""* + ^"* gemein hat, so zerfällt das 
Binom: ^" — c in das Produkt: 

{a + a^z + ... + z'^)[h J^ h,z + . . . + iSf-"*). 

Durch Multiplikation des Binoms mit einem geeigneten Faktor und Ein- 
ftlhrung einer anderen Variablen z können wir bewirken, dass c eine 
ganze Zahl wird. Alsdann sind, nach einem bekannten Satze von Gauss,^ 
auch die Coéfiicienten a , a, , . . . , 6 , 6^ , . . . ganze Zahlen. 

^ Disqaisitiones arithmeticae, art. 42. 

Äela maiktmoHea. 19. Imprimé le 21 mara 1895. 



196 K. Th. Vahlen. 



Ist jetzt wenigstens ein Wert von ^c reell, so hat das Produkt der 



m Wurzeln der Gleichung: 



a + a^z + . . . + z"^ = o 

absolut genommen einerseits den Wert [ a | , andrerseits den Wert | ^c" | . 
Aus der Gleichung: 



N. — M 



yjc 



= la 



folgt, dass c die v»** Potenz einer positiven öder negativen ganzen Zahl, 
p ein Teiler von n ist. Wir erhalten also das Binom: z^" — f. 

Ist zweitens kein Wert von ^c reell, d. h. ist n gerade, c negativ, 
80 haben wir es mit dem Binom ^^" + ^ zu thun, wo jetzt c eine positive 
ganze Zahl ist. 

Ist f{z) ein irreductibler Faktor von z'"" + c, so muss derselbe bei 
der Substitution 



entweder in sich selbst öder in einen andern irreductibeln Faktor von z'^" + c 
tlbergehen. Im ersten Fall wäre f{z\ also auch der complementäre Faktor 

^, > eine sanze Function von ^^ und man erhielte durch die Substitu- 

tion z^\\z ein reductibles Binom halb so hohen Grades. Von derartig 
abgeleiteten Binomen können wir nattirlich absehen. 

Im zweiten Fall ist f{z).f{ — z) eine ganze Funktion von z^; wir 
kommen also nur dann nicht auf den ersten Fall zuröck, wenn f{z) vom 
höchsten also w*®° G rade ist. Es kommt also nur die Zerlegung 

(a + a^^? + a^;2f^ +... + a„_i;2?"-^ +v^'*)(a—aj^ + aj,2?*— ... + (— ir-'a,_i^ 

in Betracht, die aber ftlr ungrades n auf das Binom a^ — jS?'" ftlhrt. Es 
muss also w gerade sein, und daher ist nur noch die Zerlegung: 

z'^ + a' = (a + a,^ + . . . + ^^«)(a — a^z + . . . + s"'") 

zu untersuchen. 



tJber reductible Binome. 197 

Die Coöfficienten a gentigen den Gleichungen: 

2003 (l\ = Oy 

2aa^ — 20103 + fl< = o> 
laa^ — 2aia^ + 20304 — oj = o, 

20 — 20iOj„_, + 20202„_2 — . . . + o* = o. 

Ist p ein Primfaktor von 20, so folgt aus diesen Gleichungen der 

Reihe nach, dass auch Oj , o, , . . . , o„ durch p teilbar sein mtlssen, und 

dann aus der letzten, dass 20 durch p^ teilbar sein muss. 

Setzt man 

20 = p^b, Ui = p. bi (i=i,2,...,»i) 

so gestatten die Gleichungen: 

pbb^ — b] = o, 

pbb^ — 26163 + 6J = o, 



3 



2P« 

— aus 

c 



b— 2b,b,,_, + ... + bl = o 

denselben Schluss in Bezug auf einen Primfaktor von b. Durch Fort- 
setzung dieses Verfahrens ergiebt sich, dass 20 ein Quadrat, also a = 2c 

sein muss. Das Binom z^"" + 4^^ ist aber durch die Substitution z 

dem Binom: 

^' + 4 

abgeleitet, und dieses letztere ist in der That reductibel; es ist: 

z^ + 4 = {z^ — 2Z + 2){z* + 2Z + 2). 
Zusammenfassend können wir den Satz aussprechen: 

Alle im Bereich der rationalen Zahlen reductiblen Binome erhält man 

aus den beiden: 

^"' — I und ^f^ + 4 



durch die Substitution z 



2" 

— , wo c eine rationale Zahl ist. 

c 



198 K. Th. Vahlen. 

Der Satz ist ohne Mtlhe auf den nattirlichen Rationalitatebereich be- 
liebig vieler unabhangiger Variablen auszudehneiiy und bedeutet alsdann 
c eine rationale Grösse dieses Bereiches. 

tFber das raerkwOrdige Binom 

^' + 4, 

das also, von trivialen Fällan abgesehen, das einzige reductible ist, finden 
sich in LucAS, Théorie des notnbreSy interessante historische Notizen. So 
hatte schon Sophie Germain den Satz ausgesprochen: Das Binom z* + 4. 
stellt ausser 5 keine Primzahl dar. 

För z = 2"'" ergiebt sich die Zerlegung: 

aus welcher z. B. ftir n = 1 4 die Zerlegung von 2" + i folgt, eine Zer- 
legung, die Landry länge vergeblich gesucht hat, und die ihm von allén 
in seiner Décomposition des nombres 2" + i en leurs facteurs premiers, de 
n=i å n=6/^y moins quatre (Paris, 1869) ausgeftlhrten Zerlegungen 
weitaus die grössten Schwierigkeiten gemacht hat. 



199 



Ober die steinersche fläche 



VON 



K. TH. VAHLEN 

in BBRLIN. 



Die merkwördige Haupteigenschaft der Steinerschen Flftche : von jeder 
Tangentialebene in zwei Kegelschnitten geschnitten zu werden, ist durch 
eine ganz elementära Determinantenbetrachtung zu beweisen. 

Die hornogenen Coordinaten x^y x^j x^j x^ der Punkte einer Steiner- 
schen Flache mogen durch drei homogene Parameter jp^ j p^ , p^ so dar- 
gestellt werden: 

x^ = Ta%PiP,, 

a;, = TaaPiPt, 

».* 

Xj = 'Eallpip,, 

*■* 

X, = Ta'ii'pip,. 






Die Gleichung der 



Tangentialebene im Punkte (y^ ^ Vi j V^ ^ V^) öder 



(C 
" Ho Hx »9. 
Ada maikematiea. 19. Imprimé le 21 mars 1895. ' 



X. 



rr. 



?yo ?yo ?yo 

^?o Hx Ht 
^Vi ^Vi ^.v. 



X. 



5?. 


»?. 


»9. 


5y. 


3y. 


3.V. 


5?. 


»?. 


»9, 


3y, 


3.V. 


3.V. 



= o, 



200 



K. Th. Vahlen. 



also die Beziehung zwischen den Parametern ^j^ , p, , j), ihrer Schnittcurve : 



d. h. 



T^dikPiPt ?«*o?» ?aAi!7A ?««?( 

t,k h h h 



V^PiPt i dit ^rtAo^A ^Ci,iq^ Ta^^g, 



^ /A,t,A=0.1,« \ 



= O. 



Es ist nachzuweisen, dass diese ternäre quadratische Form in zwei Linear- 
f aktoren zerfäUt, dass also die Determinante: 

A A A 

•^^oo '"lo '^ao 

Al Al Al ^ ^ 
J J j 

der Grössen -4^ = a^ ^a^Qh 2!^^ai?a ^i^öf;^??* verschwindet. In der That 

h h h 

bringt man die erste Kolonne zum Verschwinden, wenn man die mit — 

und ~ multiplicirte zweite und dritte Kolonne zur ersten addirt; denn 
es ist: 



At^o + -^ik^i + A*?2 — 



Ta^tQh ^(^hoQh ?«Ai?Ä 2^«Ai?/ 



= o 



för k = o y 1,2. 

Die analoge Betrachtung im Gebiete von n Dimensionen ergiebt, auch 
far w = 2, nur das triviale Resultat, dass das Schnittgebilde singulftr ist. 



201 



MÉMOIRE 
SUR LE PENDULE DE LONGUEUR VARIABLE 

PAR 

LEON LECORNU 

å PARIS. 



Les Mémoires de Tancienne Académie des sciences renferment un 
travail de dix pages, lu par Tabbe Bossut dans la séance du 5 septembre 
1778, et intitulé: Sur le mouvement d'un pendule dont la longueur est va- 
riable. Uauteur commence par rappeler que, des 1 707, Carré avait 
publié un écrit sur le méme sujet, niais en se bornant au oas oii le 
raccourcissement se produit par intermittences, ä chaque passage du pen- 
dule par la verticale. Bossut entreprend de traiter la question des oscilla- 
tions planes dans toute sa généralité. Par des considérations de ciné- 
inatique infinitésimale il forme, assez péniblement, Téquation diflFérentielle 
du second ordre qui régit le mouvement considéré; puis, dans Thypothése 
d'un raccourcissement proportionnel au temps, et en supposant en outre 
les oscillations infiniment petites, il parvient a une équation du pren)ier 
ordre: équation de Riccati, non intégrable. Il conclut que, pour achever 
Texamen du probléme, on serait obligé de recourir a un procédé gra- 
phique ou a une integration par series; mais il n'emploie ni Tun, ni 
Vautre, et il se borne a ajouter cette remarque, intéressante au point de 
vue pratique, que, par le fait des oscillations, la tension du fil étant va- 
riable, la force nécessaire pour enrouler uniformément le fil sur un treuil 
ne saurait non plus demeurer constante. 

Le reste du mémoire est consacré a Tétude sommaire de dififérents 
cas dans lesquels le raccourcissement du fil ne se produit pas d'une ma- 
niére uniforme. Les resultats obtcnus sont les suivants: 

Äeta ^nathwiatiea, 19. Iinprimé le 5 arril 1895. 26 



202 LéoD LecorDU. 

1°. Si le fil 8'enroule sur un treuil mii par une force constante, la 
loi des oscillations, supposées infiniment petites, est encore exprimée par 
une équation de Riccati, non intégrable; 

2°. Il en est de inéine si le fil, apres avoir passé sur deux poulies 
de renvoi, est sollicité a sa seconde extrémité par un poids qui tombe 
verticalenient; 

3°. On parvient a une équation intégrable quand on suppose que 
Textrémité du pendule, au lieu d'osciller librement, traine sur un plan 
fixe horizontal: ce qui, a vrai dire, constitue un probléme tout diflFérent 
de celui du pendule. 

Depuis 1778, ce sujet paraissait toinbé dans Toubli quand, au com- 
niencement de 1894, M. Haton de la Goupillieke pösa, dans Ylnter- 
médiaire des mathématiciens, une question ainsi con9ue: 

i>gi[Ryf^], Le mouvement d'un pendule simple dont la longueur 
se raccourcit proportionnelleinent au temps (c'e8t le cas des oscillations 
d'une benne non guidée pendant son ascension dans un puits de inine) 
a-t-il été étudié?3) 

Cette question me suggéra la présente étude, dont un resumé fut 
inséré le 15 janvier 1894 dans les Comptes rendus de l'Académie des 
Sciences. A la suite de cette publication j'appris, par M. Boussinesq, 
Texistence du travail de Bossut. Mon devancier s'était borné a écrire 
Téquation fondamentfile sans en dégager les conséquences ; ici, je dé- 
veloppe les calculs et j'analyse les propriétés du mouvement. J'examine 
en outre, dans une derniére partie, le cas du pendule conique. 



I. 

Eqtiaiion du mouvement. 

Soit I la longueur variable du pendule a oscillations planas. Soit, 
pour Tinstant considéré, 6 Tangle d'écart, par rapport a la verticale. 
Soient, par rapport a deux axes, Tun horizontal, Tautre vertical descendant, 
menés par le point de suspension, x et y les coordonnées du point materiel 
qui termine le pendule. On a: 

X = I s\n0, 1/ — IcosO. 



Mémoire sur le pendule de loogueur variable. 208 

D'ailleurs, en appelant T la tension du fil, on peut écrire: 



d'oii: 



ou bien: 



dl* ^ I ^ °' 



iV,/ d'x 



^^(4^)+,^sin. = o 



ou encore: 



Telle est Téquation du inouvement: on Tobtiendrait iminédiatement 
en reinarquant qiie l'accélération aréolaire est égale au moment de la 
pesanteur. 

La valeur de la tension T se déduit aisément de ce qui préccde; 
inais il est plus simple d'exprimer que cette tension est égale a la com- 
posante de la pesanteur suivant le fil, augmentée de la force centrifuge 
et diminuée de la force d*inertie due au glissement. On trouve ainsi: 

(2) J=^cosö + /(^)-^.. 

Nous admettrons désormais que la longueur / varie proportionnelle- 
ment au temps, et nous poserons en conséquence : 

a et b désignant deux constantes, dont la premiére est essentiellement 
positive. Pour fixer les idées, nous conviendrons que, sauf avis contraire, 
la vitesse daUongement b est également positive, c'est a dire que la longueur 
du pendule croit avec le temps. Les équations (i) et (2) deviennent, dans 
ces conditions: 

(3) («+ ^0^7^+ 2bj^+gÄnd = o, 

(4) T = gi:o^d + {a + ht){^^^\ 



204 LéoD Lecomn. 

En ver tu des relations évidentes: 

dt ~" dl' dt' ~ dl' ' 
Téquation (3) peut encore se mettre sous la forine: 

(5) V + ^^ji+li""^^^ 

ou bien: 

(6) J {dl) + 1^ sin ö = o. 

Si, au lieu d'un pendule simple, on considérait un pendule composé, 
la longueur V du pendule simple équivalent serait exprimée, en fonction 
de la distance I du centre de gravité a Taxe de suspension et du rayon 
R de giration par rapport a ce centre, au moyen de la formule connue: 

Ii' 

Pour un allongement unifonne du fil, on aurait, dans ce cas: 

B' 



V = a + bt + 



a + bt 



Apres avoir arbitrairement choisi Tinstant initial auquel correspond 
la longueur a, prenons, a partir de cet instant, ui) intervalle de temps 

assez restreint pour que le rapport — soit tres petit. On pourra alors 

(v 

écrire approximativemen t: 

/ = a + bt -j I 1] = a -{ hft 1 rK- 

a \ a / a \ or j 

On voit par la que la loi du mouvement du pendule composé est 
a chaquc instant la niéme que celle du mouvement du pendule simple 
équivalent, la vitesse d^allongement b étant simplement remplacée par 



Mémoire sur le pendule de loDgueur variable. 205 

Revenons au pendule simple et supposons les oscillations infiniinent 
petites. L'équation (5) se réduit ä: 

(7) ^W^^dl+h^-''' 

Si Ton remplace d par ef'^^j il vient: 

dz , ^ . z , g 

Posons ensuite: z = v — - et nous obtenons: 

(8) ' 57 + ^ +f'7 = °- 

Cest Téquation de Riccati trouvée par Bossut. Malheureusement 
cette transformation de 1'équation du second ordre ne facilite pas Tinté- 
gration et complique Tinterprétation des resultats; aussi n'en ferons-nous 
pas usage. 

L'équation du second ordre relative aux oscillations infiniment petites 
prend une forme tres simple si Ton pose: 

01 = u, I = — x: 

9 

il vient, d'aprés Téquation (6): 

(9) Xj^ + U = 0. 



IL 

Ettide des oscillations infiniment petites. 

Partons de Téquation (9) qui vient d'étre établie. Voici d'abord 
une méthode graphique permettant de construire, par approximation, une 



206 Leon Leoornn. 



intégrale quelconque. Si l'on remplace x par -, c désignant une con- 



z 

c 

stante, on peut écrire: 



d / du \ ^ u 

dz\ dz / c 



Considérons la courbe ayant pour coordonnées rectangulaires z et u. 
L'ordonnée a Torigine de la tangente, relativement a Taxe des u, est la 

, , du ^ n dh u 

longueur: Ä = w — z-r- On a donc: -t- = - . 

^ dz dz c 

Connaissant un point {z , u) et la tangente en ce point, on aura 
sensiblement la variation AA de lordonnée a Torigine, correspondant a 

une petite variation A^ de Tabscisse, en prenant: AA = - A^, et Ton 

en déduira la tangente au nouveau point {z + A-3f , u + Aw), considéré 
comme appartenant a la preniiére tangente. En continuant de méme, on 
trouvera les c6tés successlfs d'un polygone, d'autant nioins différent de 
la courbe cherchée que äkZ est plus petit. 

La construetion peut étre effectuée de la maniére sui vante. ^ Soit 
MM' un cöté du polygone et P le point oii son prolongement rencontre 
Taxe de w. Soient A et B les points oii Tordonnée du point M coupe 
Taxe des z et une parallele a cet axe menée au-dessous de lui, a la 
distance constante c. Portons au-dessous de P, sur Taxe des m, la petite 
longueur PQ^ égale a la projection ^z de MM sur Taxe des z. Soit enfin 
S le point de rencontre de BQ avec AP. La droite SM coupe Taxe des 
u en un point P*, qui détermine le cöté suivant, PM'M'\ du polygone. 

Remarquons que, si la longueur c est prise égale ä - , la courbe 

ainsi obtenue est précisément celle que décrit Textréinité libre du pendule 
(les ordonnées u étant d'ailleurs amplifiées a une échelle arbitraire). En 
efifet, comme les oscillations sont supposées infiniment petites, la projec- 

tion verticale de la tige est égale a /, c'est-a-dire a ~-x on bien encore 

a ^, et la projection horizontale est égale a 61^ c'est a dire a u. Comme 

-j-T 68* proportionnel k w, il est clair que la courbe posséde un point 

dMnflexion chaque fois qu'elle croise Ttixe des z. Donc: 

' Le lecteur est prié de faire la figure. 



Mémoire sur le pendule de loDgueur variable. 207 

La trajectoire de Vextrémité du pendule présente une inflexion chaque 
fois que le pendule passé par la verticale. 

Au méme degré d'approximation, on peut encore dire que: 

La courbure de la trajectoire varie proportionnellement å Vécart horizontaL 

Une autre propriété résulte de Téquation évidente: 

Ä = - Judz. 

Quand Tintégrale du second membre est prise entre deux valeurs 
de z correspondant a une méme valeur de A, cette intégrale est nuUe. 
D^aprés cela: 

Si Von considérej sur la trajectoire, deux points tels que leurs tangentes 
aiilent couper en un méme point Vhorizontale du point de suspensionj la ver- 
ticale du point de suspension partage en deux parties égaJes Vaire limitée par 
la trajectoire et par les horizontales des deux points considérés. 

Cette propriété s'applique, en particulier, a deux points quelconques 
d'écart maximum, puisque, pour chacun de ces points, la tangente passé 
au point de suspension. 

J'arrive a Tétude analytique des fonctions u qui vérifient Téquation 
(9). Cette équation se rencontre dans la théorie des fonctions de Bessel, 
appelées aussi fonctions cylindriques. Il serait inutile d'en dire davantage, 
si nous n avions pas a faire application de resultats connus au probléme 
du pendule de longueur variable. J'aurai soin, dVilleurs, dans ce qui 
va suivre, de démontrer briévement les théorémes dont il sera fait usage. 

Par la méthode des coefficients indétermiués, on se procure sans 
peine la solution particuliére: 

(>o) J' = ^-(r:i? + (T7r-^«-(r:TT:if + --- 

dont la vérification est immédiate. Avec les notations usuelles, la fonc- 
tion f> n'e8t autre chose que \izJ^{2yJx)y en désignant par J, la fonctioti 
cylindrique d'indice un et de premiére espéce. Il est evident que cette 
solution peut étre multipliée par une constante arbitraire. 



208 Leon LeoorDu. 

A quelle condition le mouvement du pendule est-il représeiité par 
Téquation (lo)? Pour le voir, formons d'abord la dérivée premiére: 

^^^) dx I^(I.2)« (1.2.3)'^ ••• 

qui est, par definition, la fonction dMndice zéro: J^(2y/«), et considérons 
rinstant d'une élongation, c'est-a-dire d'un maximum d'écart. On doit 
avoir a la fois: 



d'o\i Ton tire: 



6' 
01 = (f I = —X, dO = o 

9 



^dl d^ 

dx dx 



ou bien: 



/>« d<p 
g d^ 



cest-a-dire: 



(12) 



<p d(p 
X dx 



En rempla9ant ^ et ^ par leurs valeurs, cette équation devient: 

2x 3^r* XX* 

r« "i 7^ 7% ^TnT • • • — * Tt I 



(1.2)* ■ (1.2.3)' I' ' (I-2)' 

c'e8t-a-cHre, en divisant par x: 

I \ t 2.3 g 3.4»' _ 

^'3; 1.2 (1. 2. 3)' ■'"(t. 2. 3. 4)' •••-"• 

Soit z Tune quelconque des racines de cette équation. La condition 
cherchée est: 

( = '-V 

g 

En d*autres termes, si I désigne la longueur du pendule correspondant 
a une élongation,. la vitesse d'allongement h doit étre égale ä: \/~. 



Mémoirc sur le pendule de longucur variable. 209 

Le premier membre de Téquation (13) est la fonction cylindrique 
dUndice deux: J^{2 y/i^). Si donc il existait une table de cette fonction, 
on aurait inimédiatenient les quantités c- A défaut d'une pareille table 
on peut se servir de celles de J^ et de e/j qui se trouvent, par exemple, 
a la fin do Touvrage de Lommel Studien ilber die BesseV sclien Functionen 
et chercher, par tåtonnement, pour quelles valeurs de x Ton a, en vertu 
de (12): 

s/x 

GU bien, en rempla9ant 2 yjx par z: 

(14) 2J^{Z) = ZJ^{Z). 

Deux circonRtances viennent faciliter le calcul. D'abord, la con- 
naissance expérimentale que Ton a du mouvement du pendule indique 
que chaque élongation se trouve comprise entré deux passages par la 

yerticale, et que, par suite, chaque racine, — , de Téquation (14) est in- 

tercalée entré deux racines de J^. On con9oit méme que — ne saurait 

8'écarter beaucoup de la moyenne des deux racines de J, qui Tencadrent 
(au moins tant que la longueur est assez grande vis-a-vis de la vitesse 
d'allongement): on sait ainsi dans quelles regions des tables doit étre 
eflFectuée la recherche. En second lieu, la fonction t/, passé par un 
maximum ou un minimum vers le milieu de Tintervalle de deux racines 
consécutives: elle varie alors trés-lentement, de telle fa9on que, dans un 
premier aper9u, le premier membre de Téquation (12) peut étre regardé 
comme constant pour chaque region. Apres avoir ainsi obtenu une valeur 

grossiére de chaque racine — , il ne reste plus qu*a procéder par inter- 

polation. 

En opérant ainsi, j'ai trouvé que, de o a 20 (les tables ne vont pas 
plus loin), il y a cinq racines de (14), qui sont: 

(15) 5,14 8,41 11,62 14,80 17,96.' 

Je néglige les décimales qui suivent la seconde. 

Ceci pose, considérons, par exemple, un pendule ayant un métre de 

Åeta mathåmatiea. 19. Imprinié le 6 arril 1896. 27 



210 Leon Lecornu. 

longueur a Tinstant initial. Pour quo ce pendule, légérement écarté de 
la verticale et abandonné sans impulsion, suive le inouvement défini par 

Téquation (lo), il faut et il suffit que la vitesse d*allongeinent \/-> ex- 

primée en métres par seconde, ait Tiine des valeurs suivantes: 

I'", 22 0^,74 0^,54 o'",42 o"*, 35, etc. 

Adoptons, par exernple, o'", 35, et supposons ici, pour plus de com- 
modité, que le pendule, au lieu de s'allonger, aille en se raccourcissant, 
ce qui ne change rien aux calculs précédents. Les élongations successives 
correspondront aux valeurs de / comprises dans la formule: 

(16) /=-^=-^' = 0,00313^», 

z désignant Tune des racines (15). On trouve ainsi les longueurs: 

i" o"*, 68 o"*, 42 o"*, 22 o*", 08, 

et, commé le pendule se raccourcit de 0^^,35 par seconde, les instants 
de ces élongations sont: 

o'" o''^ , 94 i''' , 66 2"' , 23 2"' , 63. 

Au bout de 2*", 86, la longueur du pendule devient nulle. A ce moment, 
il ny a pas, a proprement parler, une élongation: car la vitesse angulaire 
ne tend pas vers zéro en méme temps que la longueur du pendule. Si 
nous oonvenons néanmoins de faire figurer cette position limite au tableau 
d^ensemble, nous pouvons dire que les intervalles de temps séparant les 
positions limités successives sont: 

o*'' , 94 o'"" , 7 2 o"' , 5 7 o*" , 40 o*" ,23. 

Calculons encore Tamplitude des élongations. Cette amplitude est 
mesurée par les valeurs maxima de 0, Or on a, pour ces maxima: 

<f sJxJX^s Jx) 2gJ^{z) g Tf^ 
— ;e 

9 



Mdmoirc sur Ic pendule de longueur variable. 211. 

D ailleurs, Tangle d'écart initial peut étre pris arbitraireuieiit (pourvu 
qu'il soit tres petit), a cause de la constante arbitraire par laquelle peut 
étre multiplié ^. Il sufFit donc de coinparer les valeurg de Jq{z) cor- 
respondant aux valeurs de z coinprises dang le tableau ( 1 5). Ges valeurs 
8ont: 

— 0,130 +0,072 — 0,040 +0,027 — 0,021. 

Pour récart correspondant a la longueur nulle, il 'fa ut chercher directe- 

ment la limite du rapport — — = ' j = ^i^. Gette liniite est égale 

^^ « v/c * 

a Tunité. 

D^aprés cela, si Ton désigne par 6^ Tamplitude initiale qui coFrespond 

h, z = 17,96, les écarts successifs ont pour valeur: 

+ 0, —1,27^0 +1,86^0 — 3,45<?o +6,19^0 —47,62^,. 

On doit en conclure que Thypothése des oscillations infiniuieiit petites 
ne reste admissible, dans le voisinage de la longueur nulle, que si Técart 
initial est extrémement faible. 

Les positions verticales du pendule sont fournies par les racines, 
autres que zéro, de Téquation J^ = o. Ges racines sont: 

19,61 16,47 13,32 10,17 7,01 3,83. 

Elles correspondent, en vertu de (16), aux longueurs: 

I*», 21 o"', 85 o", 55 o'%32 o'%i5 o'%04. 

Pour réaliser le mouvement supposé, on peut, la vitesse d'allonge- 
ment étant de o"*, 35 par seconde et le pendule descendant d'abord suivant 
la verticale, donner ä ce pendule un petit choc latéral a Finstant oii il 
atteint Tune des longueurs ainsi calculées: les passages successifs par la 
verticale feront alors connaitre les racines de J^{z). De Ik un procédé 
mécanique assez curieux pour obtenir les racines de cette fonction en dehors 
des liinites de la table. D'aprés ce qui précéde, la ménie expérience 
fournirait: par la mesure des longueurs correspondant aux élongations, 
les racines de J^, et, par la mesure des élongations elles-ménies, les va- 
leurs de J^ correspondapt aux racines de J^. 



212 Léoo Lecorou. 



Considérons maintenant le cas general ou les données initiales sont 
incompatibles avec la solution (lo). De cette solution particuliére, on 
peut, par un procédé bien connu, déduire Tintégrale générale de Téqua- 
tion (9), qui efet, ayec deux constanteé arbitraires A et B: 



X 

dx 



(17). U = Äip+ B<PJ^^ 



La dérivée est: 



X 

(18) u' = Åf-+^+B<p'j^^,- 

L'on a, par suite: 

( 1 9) ifU' — f 'w = B 

et aussi: 

Prenons pour valeur initiale x^ une quantité .qui n'annule pas ^(a?), 
et soient a^^ {n < p) les deux racines consécutivcs de <r(a;) coinprenant 
entré elles x^, L'équation (10) montre que, dans Tintervalle de a a ^(9, 

la fonction - varie toujours dans le méme sens: elle ne peut donc avoir 

qu'une racine dans cet intervalle. Cette racine, si elle existe, annule w. 

. car (f est toujours fini; il est aisé de voir qu'elle existe réelleinent. 

Cherchons en etfet vers quelle valeur tend la fonction u quand x tend vers 

X 

y9. Le ter me Atp tend vers zéro. La quantité f | -7, si on Técrit: 



X 

.1 I 



, se présente sous la fornie — : sa vraic valeur est: lim.— ^ = ?- 

I ' 00 <p fp 



V f 



t 



Mémoire sur le pendule de loDgueur variable. 213 

Si if*^ était nul, y9 serait une racine multiple de ip . Mais une pareille 

circonstance ne peut se produire: car Téquation oc^--^ -f- j^ = o, diflFé- 

rentiée indéfiriiment, donnerait alors pour (p et pour toiites ses dérivées 
des valeurs nulles; la fonction jr, essentiellenient holomorphe, serait 
identiquement nulle. La limite de w, pour a; = y9, est donc finie et 

égale ä 7. On verrait de méme que, pour x = a, cette limite est: 

; . Or, d'aprés le théoréirie de Rolle, les deux racines consécutives, 

a et ^, de f , donnent ä f' des signes contraires. Il est établi par la 
que u 8'annule dans Tintervalle de ces deux racines, et nous savons déja 
que u ne peut s'annuler qu'une fois. 

L'interprétation mécanique de ce resultat est iminédiate: u étant egal 
a dlj cha(j[ue fois que 6 sannule il en est de méme de u et réciproquer 
nient (le cas de la longueur nulle étant mis de c6té). D autre part, la 
fonction j^ s'annule en méme temps que J^(2 yjx) ou, ce qui revient au 



méme : Jj f 2 ^ j . Donc : 



Si z^ et z^ désignent deux racines consécutives quelconques de Téqua- 
tion J^{z) = o, le pendule, en passant de la longueur I = — z\ a la 

longueur Z= — z], prend une fois, et une seule, la position verticale. 

La formule (17) n'est applicable que pour Tintervalle a , y9 dans 
lequel se trouve comprise la valeur initiale x^ ; mais on peut établir une 
autre formule qui nVst pas soumise ä la méme restriction. L'intégration 
par parties donne: 



XX X 

/dx /* 1 ^'dx I I / <p'di 



X 



et, coTnme ^*'x = — fr, il vient: 



rdx ^ i I r dx 

I <f' '^ <Po<f'o ff J x^* 



214 LéoQ Lecornu. 

dou: 






— . ■ 1 



ou bien encore, en rempla^ant la constante A H , par C: 



(21) U.= Cif-^+li<pj—.-, 



'o 



Sous cette forme, la dérivée est: 

X 

(") a- ^ (J<p' + B<p' j ^, 

et Ton a encore: 

ii'(f — U(f' = B. 

La formule (21) est applicable, a partir d'une valcur initiale quel- 
conque, dans Tintervalle de deux racines consécutives de jr', c'est-a-dire 
de 1/^(2 y/i). V^oici, des lors, comnient il faut procéder pour avoir la 
representation analytique du inouveinent. Partanf d'une valeur initiale 
x^j on détermine, au moyen des données, commc nous le verrons plus loin, 
les constantes A , B ^ C qui figurent dans les équations (17) et (21). Sup- 
posons, pour fixer les idées, que x aille en croissant et atteigne une racine 
y9 de jr avant d^atteindre une racine de jr'. Pour x> jS, la formule (17) 
cesse d'étre applicable, et il faut lui substituer la formule analogue: 



dx 



(17') u = A'f + B^J^', 

dans laquelle la constante A a pris une nou velie valeur, A', en jnéme 
temps qu'on rempla9ait x^ par un nombre x^ plus grand que y9 mais 
plus petit que la racine de jr' immédiatement supérieure a y9. La con- 
stante B n'a pas changé. Comme la formule (21) continue provisoirement 
a étre valable, il suffit, pour détermincr A\ dMdentifier les valeurs de u 



Mémoirc sur le pendule de loDgueur variable. 215 

fourniesi par les équations (21) et (i?')- Le resultat est immédiat si Ton 
se reporte a la relation G = A -] , et Ton trouve: 

a' — a = b(—, — -X 

Lorsque a?, continuant a croltre,* dépasse une racine de j?', la formule 
(21) doit étre a son tour modifiée; il faut écrire: 

x^ étant plus grand que a', . mais plus petit que la racine de (p immé- 
diatenient supérieure a a'. La nouvelle constante, C, est liée ä G par 
réquWion: 

C -g=bI—, LV 

En marchant ainsi de proche en proche, on parvient sans peine au re- 
sultat general que voici: 

Dans rintervalle de deux racines consécutives, A et /i, de la fonction 
jr, le mouvenient est représenté par Téquation: 

X 

u = A^ + %(-— , ~) + B<p C% 

Xk 

Xt étant un nombre arbitrairement choisi enti*e A et //. 

Dans rintervalle de deux racines consécutives, A' et /i, de la dérivée 
jr', le mouvement est représenté par Téquation 



ti 



X 



Xk 



Xf, étant un nombre arbitrairement choisi entré A' et //. 

Rappelons que dans ces formules, il faut remplacer u par dl, x par 

— /, fr(.r) par )JxJ^{2 ^x) et enfin ^'{x) par J^{2 y/x). 



216 Leon Lecornu. 

Il nous reste ä dire comment, connaissant les données initiales, cest- 
a-dire les valeurs de 0, -zj et /, a Torigine du temps, on peut calculer 
les coiistantes A ^ B , C. Pour f = o, la formule J =z a -j- bt donne I = a. 
Soit 0^ la valeur de d au méme instant, et soit (o^ celle <3e -t- . Si Ton 
fait X = x^ dans les formules (17). et (18), il vient: 



Or: 



u, = ae, et. u'o = (£0 = ^^0 +J<^.' 



D'aprés cela: 



To J/ 



En outre la formule: C =■- A A > donne: 



c = -. 



• 



9 ^0 

Si ^0 ^t f o sont tous les deux différents de zéro, il ny a aucune diffi- 
culté. Si ^Q est nul, A se présente sous forme infinie ou indéterminée, 
suivant que 0^ est ou n'est pas différent de zéro. Il faut alors aban- 
donner momentanément la formule (17) et se servir de la formule (21). 
Si c'est y^Q qui est nul la formule (17) est applicable et la formule (21) 
doit étre momentanément njise de c6té. Dans tous les cas, Tune des 
deux formules subsiste et permet de calculer, pour un instant voisin du 
premier, les valeurs de O et de (o. On prendra ensuite ce nouvel état 
pour état initial, de maniére a avoir des valeurs finies, a la fois pour 
A et' pour C. En resumé, le probléme se trouve complétement résolu. 
Ajoutons quune fois la constante B connue, la formule (19) fait 
immédiateraent connaitre, sans integration, une serie de valeurs de u: ä 
savoir celles qui correspondent aux racines de ^ = o. On a en elfet, 

pour chacune de ces racines: w = r. 



Mémoire sur le pendulo de loDgucur variable. 217 

Examinons enfin ce qui arrive lorsque x tend vers zéro, et, ä cet 
efiFet, reprenons la formule (17) en choisissant pour x^ un nombre inférieur 
a la plus petite racine non nulle de la fonction ^ = \/xJ^{2yJx)y aest-a- 

dire au nombre -' — - = 3 , 66. La formule va rester applicable depuis 

4 

X = Xq jusqu'a x = o. Si Ton pose jr = Mxy l'on peut écrire: 



JJx r dx 



j"o •'"o 



■ 

La fonction Jlf, égale a Tunité pour x = o, reste finie et différente de 
zéro dans Tintervalle considéré. Si donc on. désigne par p une quantité 
diflFérente de zéro, on peut écrire: 



T X 



'• 



Faisant tendre ensuite x vers zéro, il vient: 



lim I (T / — - I = — lim — 

■■'Vr\ 



lim I (T / ^ I = — lim -^ = ^ . {q ^o) 



5 



B 



D^aprés cela, la limite de w, pour rr = o, est égale a 5, quantité 

finie et diflFérente de zéro. Et, comme Tangle d est egal a .-, c'est-a-dire 
a ^ - , on voit que cet angle augmente au dela de toute limite quand 

o X 

la longueur du pendule tend vers zéro. Mais ce resultat est incompatible 
avec rhypothése des oscillations infiniment petites: la solution générale 
(17) ne peut donc .convenir que pour des longueurs de pendule qui ne 
soient pas trop petites. Tout ce qu'on est en droit d'affirmer, cVst que 
Famplitude des oscillations tend a sexagérer énormément a mesure que 
la longueur décroit. Nous avions déja observé ce fait en étudiant le 
mouvement special représenté par la formule (10); mnis alors Tamplitude, 
tout en s'exagérant, conservait un rapport fini avec Tamplitude initiale, 
et par conséquent on pouvait toujours choisir celle-ci assez petite pour 

Åeia matfumatiea. 19. Iniprimé le U avril 1895. 28 



218 LöoD Lccornu. 

atteiiulre la longueur nulle avec une amplitude inférieure a une limite 
donnée quelconqiie. Dons le cas general, il est impossiblc, (Vaprés ce 
que Tious venons de voir, d^assigner une parcille limite, au moins quand 
on s'en tient a la premiére approximation qui nous oceupc pour Tinstant. 
Kemploi des fonctions J^ .et J,, fort commode tant que Targument 
2 ^x est inférieur a 20, devient plus pénible au dela de cette limite, 
puisque .les tables ne vont pas plus loin. On a aloys la ressource de 
rccourir aux series (10) et (11); mais ces series sont elles-mémes d'autant 
moins rapidement convergentes que Targument a une plus grande valeur. 
11 est vrai que Hansen a fait connaitre des développements de Jq{z) et 
J^{z) procédant suivant les puissarices negatives de z. Sans insister a cet 
égard, je vais maintenant écrire sous forme d'intégrale définie la solution 
générale de Téquation (9). Par des considérations analytiques sur lesquelles 
il est inutile de s^étendre ici, on trouve: 



(18) n = CÅ fcos{2yJxCos(o + oi)sm'a>dco + sina rg-nxtgo. dw 

lo J cos' (^ 

o 

avec deux constantes arbitraires C et a. La vérification se fait sans 
difficulté. Si Ton pose: 



77 



V = X Tcos (2 yjx cos O) + a) sin^ (odo) 

o 

et: 



2 



tv =^x r^-^N^»»--^, 

J cos W 



d^oii: It = C {v -f «rsina), on trouve: 



et 



d v , Jz , 

X -p-, + V ■— — ^^ sm a 
dx* 2 



dht) , Jx 

dx"" 2 



d^u 

On a donc bien: x-r-^ + w = o. 

ax 



Mémoire sur h pendule de loogueur variable. 219 

Cette solution a Tavantage d'échapper aux ditficultés que nous avons 
eu précédemment a discuter en rencontrant les racines de J^ et de Jj, 
et de fournir, par une seule formule, la representation compléte du inouve- 
nient. En introduisant explicitement et /, et en rempla9ant C par 

— ^^ il vient: 
9 




n 
2 



^19) ö = Å;| I cos (2 ^co8ö> + aj s\n^(oda) + sina 1 



-2^tga, diO 



cos ö> 

o 



Quand I tend vers zéro, la seconde intégrale augmente indéfiniment; 



TT 



la premiére tend vers cosajsin^wda), c'e8t-a-dire vers -cosa. La con- 

dition nécessaire et sufifisante pour que Tangle reste fini quand la lon- 
gueur devient nulle est donc que Vangle a soit nul. Or nous avons vu 
précédemment que la solution particuliére représentée (ä un facteur con- 
stant prés) par la serie (10) est la seule pour laquelle d jouisse de cette 
propriété. Nous pouvons en conclure la relation: 



jr = Cxf cos (2 yjz cos (o) Bin^ (odcD . 

o 

Pour re = o, le rapport - tend vers Tunité tandis que Tintégrale tend 

•B 

vers - : la constante C qui figure dans cette égalité est donc égale a - . 

La formule (18) se préte bien a Tétude du cas limite pour lequel 

X est tres petit. Comme x = -,i , ce cas se réalise, quelle que soit la 

vitesse d'allongement ou de raccourcissement b, lorsque le pendule approche 
de la longueur nulle, et il se rencontre également, quelle que soit la 
longueur initiale, pourvu que la -vitesse b ait une grandeur considérable: 
on trouverait, par exemple, de cette maniére, le mouvement d'un pendule 
qui, apres avoir oscillé avec une longueur constante d'un métre, est subi- 
tement soumis a un raccourcissement de dix métres par seconde. Lorsque 



220 Leon Lccofdu. 

X tend vers zéro, la premiére intégrale tend, nous venons de le dire, 

TT 

vers -cosa. D'autre part, si Ton pose tgö> = A, il vient: 

TT 

•7 

I COs'tt; J \ » / 

t/ o 

o 

Soit a un nombre fixe, supérieur a Vunité, et considérons séparément 
les deux intervalles d'intégration compris de o ä a et de a a cx). L'inté- 

a 1 

grale prise de o a a tend vers la limite J{i + X^dk, qui est égale a 



o 



-[(ly/i + a^ + log (a + yl + «')]• Dans Tintégrale prise depuis a jusqu'å 

CO, on peut, X étant supérieur a Tunité, écrire: 

1 
(,+A')^-x(.+i)*=A(,+AJ._'l+...) 

d'ou : 

a 
a 

La derniére intégrale du second merabre est inférieure, en valeur 
absolue, ^ ö / "^j cest-ä-dire a -2— i- D'autre part, on a: 



a 



J Ax 



4x 
et: 



.A-r^T=Ä-'7f=.A-'7+.Å-'7 



(A>JaV'3 



2a\x 2a\x 



Mémoire sur le peDdulc do longucur variablo. 221 

X 

L'intégrale / c"''-— est inférieure a r / e"^dpj c'est-a-dire a y-, quantité 



fixe si A est lui-méme un nombre fixe. 



Reste enfin Tintégrale fe'', pour laquelle on peut écrire: 



2a\x 



/-f=/f(--^ + .4-) 



2(1 \.r 2a Vx 



/I 

= log Ä — log {2(1 v-i) — Ä + 2rtv'i + / ^p{-r^2 ~ "TTTi + • • •)• 



2a\x 



Il sufifit de supposer h inférieur a 3 pour avoir: 



h 



2a Vx 2a\x 

c'est-a-d i re < a^x. 

En resumé, Ton voit que, lorsque x tend vers zéro, le rapport -^ , 

calculé au moyen de la formule (18), est egal ä un nombre fini, dont 
on peut aisément assigner une Hmite supérieure, augmentc de la quantité 

indéfiniment croissante: sina ^^ — log:i; . 

I- - 

En développant e~"^', on peut encore réduire la partie indéfiniment 

croissante a la forme plus simple: logo; .. 

On déduit de la, pour Texpression de en fonction de la longueur /: 



<? = Äsina[F + ^^ + ilog^} 



F désignant une fonction finie. La constante k dépend de Tétat initial. 



222 LéoD LecoFDu.^ 

Si Ton part d'une longueur donnée, un métre par exejnple, et d'une 
vitesse angulaire nuUe, k est proportionnel a ramplitude initiale. Si donc 

cette amplitude est assez faible pdur que la fonction "7 ■^" ^^©"7 

conserve une tres petite valeur tant que -^ dépasse un tres petit hombre 

fixe e, (condition essentielle pour que Thypothése des oscillations infini- 
inent petites puisse étre maintenue), le mouvement du pendule, dans le 

voisinage de la longueur / = s — , sera approximatiyement représenté par 

réquation: 

h siu a /b* . , 6' 






Tout ccci suppose que sina n'est pas nul: dans le cas contraire, on 
est ramené, eomme nous Tavons vu, au mouveuient simple représenté par 
la formule (lo). 

On peut également se demander ce que devient la loi du mouve- 
ment quand x acquiert une tres grande valeur, circonstance qui finit 
toujours par se produire, avec un pendule de longueur croissante, au bout 
d'un laps de temps sufifisant. Sans entrer ici dans lu recherche directe 
de la valeur asymptotique vers laquelle tend alors le second membre de 
réquation (i8), je vais vérifier que le mouvement final peut étre repré- 
senté au moyen de Téquation approchée: 

(20) u = Ax^ cos (2 ^x) + Bx^ sin (2 ^/i), 

Ä et B désignant deux constantes, et Texposant p étant pris egal a - . 
Considérons en efFet Vexpression: 

t) = x^ cos (2 ^J~x). 
On a: 

d -- - 

J^ = px^'^ COS (2 yjx) — X ' sin (2 yjx) . 



et 



dy 

dx 



I = [p{P — O^pP"^ — a;P~^] COS 2yjx — (2p — ^ ]/ » sin (2 yjT). 



M<^iDoire sur le pendule de loDgueur variable. 223 



On voit que, si ^; = -, il reste siinplement: 



S - - {t6-'" + ^-') "^"^ ' ^' 



dx 
d'ou: 

dx .IQ ^ I O a; 

De méme, si Ton po&e: w = x^ e\r\{2 yjx), on trouve: 

d^w , 3 w 

> • 

Il s'ensuit que la fonction ti, définie par Téquation (20), vérifie rigoureuse- 
ment Téquation diflPérentielle: 

d^u , 3 w 

dx^ ' i6x 

ou bien: 

qui se réduit a Téquation (9) quand on néglige ->- en présence de Tunité. 

1-\JX 

Les constantes -4 et JB se déterminent aisément quand on connait 
retat initial, pourvu que celui-ci soit donné k un instant pour lequel x 
est déja tres grand. La relation entré d et I est: 

(21) ^ = w) — ^ — — 

Elle peut évidemment, par Tintroduction de deux nouvelles constantes, 
ii et jf, étre niise sous la forme: 

(22) e = ia'-Km(^l^^i-^y 

Les passages par la verticale s'obt.iennent en écrivant la condition: 

(23) i\l9i—<p = >^^> 



224 héou Lecornu. 

X étant un entier quelcoiique, d'ou: 

Si Ton prend deux passages consécutifs, pour lesquels Å ait les valeurs 
m et m + i, raccroisseinent de longueur dans cet intervalle est egal a 

— [(j^ + m + ^^y — (?" + ^'*^)^]> cest-a-dire a ;r — [2^ + (2^w + i);r], et, 
comme le pendulc s'allonge avec la vitesse &, le laps de temps séparant 
ces deux passages est egal ä tt — [2^ + (2w« + i)7r), ou bien encore a 

Tt \/ - I H ; — '- T , c'est-a-dire ä it\/- (i A — ^i ou enfin a 






Ayjgl/ 
Dans cetto expression, / désigne la longueur du pendule ä 



rinstant du premier passage. La durée de Toscillation se trouve donc, 

par TeflPet de Tallongement, augmentée de la quantité ;r* — , indépendante 

de la longueur 1. 

Ce resultat peut étre mis sous une forme plus elegante si Ton in- 
troduit, en méme temps que la longueur / ä Tinstant du premier passage, 

la longueur V a Tinstant du second. En négligeant — ^ en présence de 

Tunité, on a évidemment la relation: 

^ 9 
d*ou: 

La durée de roscillation d'un pendule ordinaire, de longueur ■ 



2 ' 



serait donc: 7r\/^-^ = z^^- +^ \/U ;r v/^ (i + i). D'apré3 cela: 

Ijintervalle de temps qui sécoule entré deux passages consécutifs d^un 
pendule lentement variable par la verticale est sensihhment egal å la durée 
de roscillation d*un pendtde ordinaire, aijant pour longueur consfante la 
longueur moyeyme du pendule variable dans cet intervalle de temps. 



226 LéoD Lecorou. 

Ea resumé: 

VintervaUe de temps qui sécoule entré un passage par Ja verticale et 
Vélongation consécutive est sensiblement egal å: 



TT . /i , n^— I2h Tt . Il b 



I désignant la longueur du pendule å Vinstant du passage par la verticale. 

On remarque que la durée de la demi-oscillation ascendante est 
légérement dimiBuée par le fait de rallongement, tandis qu'il y a aug- 
mentation dans la durée de Toscillation. L'accroi8sement de durée porte 
donc exclusivement sur la demi-oscillation descendante: ceci, en supposant 
que la coinparaison est faite avec le pendule ordinaire ayant comme 
longueur la plus petite longueur du pendule variable dans Tintervalle 
de temps considéré. Si la comparaison était faite en employant la plus 
grande longueur, les resultats seraient changés: le raccourcissement de 

durée de la demi-oscillation ascendante atteindrait - — ^ » et la demi- 

oscillation descendante présenterait elle-méme un léger raccourcissement, 

egal a 2 • 

o \6 g 

Si, au lieu d'un pendule qui s'allonge, on avait aflfaire a un pendule 
qui se raccourcit, le sens du mouvement serait renversé: il sufiFirait, dans 
ce qui précéde, de substituer le mot Ddescendante» au mot Dascendante» 
et réciproquement. 

Quant ä Tamplitude des oscillations, elle se déduit de la comparaison 
des formules (22) et (24). Pour une élongation quelconque, Tamplitude 

C08(JL) 

est proportionnelle en valeur absolue a -^^ — Continuant ä négliger 

le carré de -7=, nous trouvons simplement -^. Deux élongations succes- 

sives, correspondant aux longueurs / et /', sont donc dans le rapport 
1 - 

j\ . Mais /' = Z + ft;ry-, donc (^j = i +-^1/7- Par suite: 



Méiooire sur Ic peodulc do loDgucur variable. 227 

La différence cCampUtude de deux élongatioyis successives et d\ est 

sensiblement égale å ±t^\J ^; cette différence tend vers zéro å mesure que la 

4 y gl 

longueur augmente. 

La formule (22) peut étre transformée de maniére a expriiner Tangle 
en fonction du temps: il suffit d'y remplacer I par sa valeur a -{• ht, 
ce qui donne: 

= R{a + bt) * siiJ U ^g{a + ht) — f>\ 
ou bien, en posant: 1/^=7- et -= = p: 



= Ra * (1 + pj-t) * sin (- yjT~+~yrt — F )• 

Si la longueur initiale a est assez grande et si rintervalle de temps 
t est assez petit pour qu'on puisse négliger p^fH^ en présence de pfty il 

8 

vient, en reinpla9ant la constante Ra * par p: 

Rempla9ön8 encore ^ par une nouvelle constante ^ et contrnuons 

r 

ä négliger les puissances de pj-t supérieures ä la premiére. Nous pouvons 
alors écrire: 

(25) e = p{i -\prt) sin irt - <p) -ei^cosirt -,py 



^ DaDS la Dote commuDiquée le 1 5 jaDvidr 1894 å rAcadémie des science?, j'ai 

doDDé la formule: = pil hyt ) sin (/^ — 01) + /> ^ (l — yH^) cos (jt — <o) qui, å 

premiére vuc, ne parait pas coDOorder aveo la formule (25). Mais il suffit, apres avoir 
remplaoé h par son équivalent p, d^établir entré les constantes arbitraires ^ et o; la re- 

lation: o; = ^ + ^ et de négliger les termes d ordre p' pour trouver un resultat identique. 

Il nV & donc, au fond, de différence que dans le choix de Torigine du temps. 



228 LéoD Lecornu. 



Si Ton suppose qu a Tinstant initial le pendule soit vertical, ^ est 
un multipla de tt: on peut prendre ^ = o et il reste simplement: 

(26) = p(i — -pftj sin ^t — ^^^^—cosj-l. 

La discussion de cette formule est aisée, et conduit a dresser le 
tableau suivant: 

Valeur du temps. 

Premiére position verticale o, 

Premiére élongation positive 2V ' "^ Tö^^^ — 12)-, 



Deuxiéme position verticale 



4 /a TT^b 

y g 49 



Premiére élongation negative V V " "t" Tg (^^^ — ^^^a^ 
Troifiiénie position verticale 2;ry-+;r'-, etc. 

Tous les calculs qui précédent supposent qu'on traite le nombre 
-^ c„n,™e „ne quantité Mniment petit. On peut pou««r r.pproxim- 

y/ga 

tion beauconp plus loin, en recourant k une autre méthode que je vais 
maintenant indiquer. 

Keprenons Téquation fondamentale (9), et rempla9ons-y la variable 

X par sa valeur ^J ou ^,(a + bt)y ce qui, avec les notations adoptées, 

peut s'écrire: -^(i + jPr')- 
Il vient ainsi: 

(27) (^ +iTO^-f r'« = o- 

Imaginons que u soit développé en serie ordonnée suivant les puissances 
entiéres et positives de la petite quantité p: 

u = u^ +u^p + uy + . . . + u^"" + . . . 



Mémoire sur le peodule do loogueur variable. 229 

et limitong-nous provisoirement au terme u^p". Si nous substituons dans 
réquation (27), le premier membre devient un polynöme en p, de degré 
n + I9 et nous pouvons profiter de rindétermination des fonctions u^y 
^1 9 • • • 9 Mn-i pour annuler dans ce polynoine les coefficients des diverses 
puissances de p^ depuis la puissance o jusqu'a la puissance »— i . Il 
restera ensuite une équation servant å calculer u^. On trouve de cette 
uianiére: 

< + rX = o, 

< + Al = — rtK' , 



(i +i>r<K + rX = — r^;-i. 

Pour achever la détermination des fonctions auxiliaires, convenons que 
toutes ces fonctions, ainsi que leurs dérivées prcmiéres, 8*annulent a Tin- 
stant initial, exception £aite de Uq et dé Uqj qui devront, a cet instant, 
prendre les valeurs, supposées connues, de u et de u\ Il vient: 

t t 

«j = cos T^fuö t sin jidt — sin jifuöt cos ftdty 

Q O 

t t 

w, = coQftfuYt sin j'tdt — ^\nyij u['t cos j'tdty 



w„_i = cos ftfu^j^Lit sin j-tdt — sin j^tfulJ^it cos j^tdt 

Q o 

et Ton se procure ainsi, de proche en proche, par des quadratures aisées 
a effoctuer, les valeurs de i*j , w, , . . . , w^_i . Toute la difficulté de Tin- 
tégration est reportée sur la fonction w^. Mais, si Ton néglige le terme 
P]^tu'n' en présence de w^', on a simplcroent: 

w„ = cos ^ju'„'__it sin ytdf — sin ytfu'^'_it cosfidt) 



o 



230 Léoa Leoornu. 

avec une erreur relative qui est du méme ordre que p]^: il en resultera, 
pour Uf une erreur dont Texpression contient en facteur p""*"*. 

On pourrait discuter complétement les conditions de convergence de 
la serie obtenue en prolongeant indéfiniment la repetition du méme pro- 
cédé; mais cette discussion manquerait d'intérét pratique, ä cause de la 
longueur rebutante des calculs nécessaires pour former explicitement u„, 
des que Tindice n devient un peu considérable. Je me bornerai donc, 
pour terminer ce chapitre, ä donner la valeur de u calculée en tenant 
compte de la seconde puissance de p. En vue de simplifier, j'admets 
qu'a rinstant initial le pendule est vertical, ce qui entralne la condition 
J5 = o, doii Uq = A sinftf et je fais ^ = i, sauf a rétablir ensuite ce 
facteur constant. On trouve, dans ces conditions: 

(28) u = Binj-t + — (sin;-^ — ft cosj^l) 

+ ^[{^ft' — 3ri) cosr^ + (3 — 3r'^' — r'^ sJnrO- 

11 est aisé de sassurer que cette expression vérifie Téquation (27), pourvu 
qu'on néglige les termes de» Tordre p*. Comme application^ calculons 
rintervalle de temps qui s'écoule entré deux passages consécutifs par la 
verticale, le premier passage étant celui qui correspond a < = o. Il 
suffit de chercher pour quelle valeur de yt, voisine de ;r, s'annule le 
second membre de Téquation (28). En posant: j-t^TC+Sy il vient: 



'^■i+^ + ^(3-3r'<'-7-V) 



Cette formule montre d'abord que tge est du méme ordre que p: la 
différence tg e — e est donc de Tordre p', et doit étre négligée. En 
rempla9ant dans le second membre yt par tt •{• e et négligeant encore 



p', on a: 



7^+ e+|(3 — 2ff') 



^=i(-+^) -T^ ^(, + ,)[, + ,+ 2(3 _.,^](,_^) 



■ + T 



Mémoire sur le pendule de loDgueur variable. 231 

ou bien encore: 



d'oii: 



Il vient alors: 



2 



' ' 4 32 



ou bien, en rempla9ant y par \/^ et p par -7= : 

. - A , ;rH , 3;r &• 

y g ' A9 i^gyjag 

Ainsi que nous Tavons déja fait au premier degré d'approximation, 
comparons cette durée de roscillation avec celle de Toscillation d'un 
pendule ayant une longueur constante Z, égale ä la longueur moyenne 

atteinte ä Tinstant - . On a : / = a + J - , d'ou 

2 ' 2' 



y g v ^ L 4a 32a' j 



En effectuant, on trouve: 

y g y g 4 g 32 gyjag 

D'apré8 cela: 

La durée de roscillation du pendule moyen est un peu supérieure 
ä celle de roscillation du pendule variable; la différence est égale å 

-^ ~ — = , C est-a-dtre a 6 , 47 — -= . 

32 gyJag gyJag 

Pour déduire de la formule (28) Tangle d'écart d en fonction du 
temps, il reste ä remplacer u par dlj c^est-ä-dire par Oa{i + pyt). En 



232 LéoD Leoomn. 

eflfectuant, au degré d'approximation adopté, et négligeant un facteur 
commun constant, on trouve sans peine: 

(29) d = sin ft — — (3 sin yt + fi cos yt) 

+ ^[{^ofe - 3rt) co^rt + (3 — 43r*<' — r"t") ^^^rtl 



III. 

Ettide des oscUlations flnies. 

Quand les oscillations ont une amplitude trop grande pour que 
Tangle d'écart puisse étre a chaque instant confondu avec son sinus, la 
difficulté du probléme s'accrolt singuliérement. Si Von cherche a intégrer 
par un X développement en serie 1'équation diflférentielle du mouvement, 
niise par exeinple sous la forme (6), on se heurte a des calculs inextri- 
cableSy et il ne parait guére possible d'obtenir la forme du terine general. 
Aussi nous contenterons-nous d'examiner deux oas limites: ceux ou la 
longueur du pendule varie soit tres vite, soit tres lentement. 

Considérons d'abord un pendule dont le fil se raccourcit uniformé- 
ment avec une tres grande vitesse, de telle fa9on qu en prenant comme 

unité de temps la seconde, le rapport ? = 5 ait une tres petite valeur 



# • 



numenque. 

L'équation du mouvement: • 

dans laquelle nous mettons en évidence le signe de J, peut, en divisant 
par b et posant r — < = 2f, se mettre sous la forme: 

(30) ^;p+2^^ + ssin<?-o. 



Mémoire sur le pendulc de loDgueur variable. 233 

Supposons d développé en serie suivant les puissances positives de 5, 
et négligeons les puissances supérieures ä la seconde. Alors: 

ö = w + t;5 + ws^j 

u j v y w étant trois fonctions inconnues. En substituant dans Téquation 
(30) et continuant a négliger s^ il vient: 

z{u" + v"s + w"s) + 2 (m' + v's + w's) + s(8in ti + vs cos w) = o. 

Egalons séparément a zéro les coefficients des diverses puissances de 

Sj ce qui donne: 

u"z + 2w' = o, 

v"z + 2t;' = — sin«, 
w"z + 2w' = — t; cosw. 
Enfin convenons que, pour la valeur initiale z = z^ = r » corres- 

pondant a < = o, les fonctions t; et w; doivent étre nulles ainsi que leurs 
dérivées premiéres. Nous pouvons alors écrire, en appelant a et ^ deux 
constantes arbitraires et intégrant les équations précédentes: 

z 

t X 

'o 'o 

t X XX 



w 



Le calcul est ainsi ramené ä une suite de quadratures. Ces quadratures, 
impossibles a eflfectuer dans le cas general, deviennent au contraire tres 
aisées dans le cas particulier o\x la constante [i est égale a zéro, ce qui 
revient a supposer que la dérivée u' est constamment nulle. Comme, par 
hypothésé, u' est egal a 6' pour i = o, on voit que ce cas se réalise quand 
le pendule a une vitesse angulaire nulle a Tinstant initial. On trouve: 

(31) = ^ _ (, _ ^j» + ___ l^v 3/ " '-^ + 34 log -J • 

Åcta mathematica. 19. Imprimé le 19 avril 1895. 30 



234 LéoQ Leoornu. 

Cetto formule n'e8t applicable en toute sécurtté que poUr leg valeors de 
z qui ne sont pas trop petites, cest-a-dire quand le pendule est encore 
asaez éloigné de la longueur nulle. Si Ton néglige le terme en s^ et si 

Ton remplaee z par sa valeur j en fonction de la longueur / du pendule, 

on a une relation de la forme: 

d=A + Bl + j 

oii AyB^C désignent trois constantes: c'est Téquation polaire approxi- 
mative de la trajectoire de rextrémité du pendule. 

Considérons inaintenant un pendule qui s'allonge ou se raccourcit 

avec une tres grande lenteur. Pour préciser, nous supposerons qu'il y a 

h , . • 

allongement, et que le nombre -= est tres petit: nous avons déja fait 

remarquer que cette derniére circonstance finit toujours par se réaliser, 
puisquon peut alors prendre une longueur initiale a aussi grand qu'on 
le veut. Il est naturel de procéder comme on le fait en astronomie pour 
Tétude des mouvement^ troublés: c'est-a-dire d'avoir recours a la mé- 
thode de la variation des constantes. Posons, pour abréger: 



« = v/i'. 



h_ 

yjga 



L'équation (3) prend la forme: 



(32) ^. + smd + P[uj^,+ 2^-J = o. 

En négligeant d'abord complétement le terme qui contient p en 
facteur, il reste Téquation: 

(33) (7^ + ^^"^==^ 

qui représente le mouveraent d'un pendule ordinaire, de longueur a. 
L'intégrale générale de Téquation (33) peut s'écrire: 

(34) t.g?^t.g|cn(« + C') 



Mémoire sur le peodnle de longueur variable. 235 

avec deux constantes arbitraires, 0^ et C, dont la premiére est égale a 
Tangle d'écart maximum. Le cosinus amplittide qui figure ici doit étre 

pris avec le module A = sin- . En désignant, suivant Tusage, par k' le 

module complcmentaire ^i — fc* et résolvant par rapport ä ö, il vient: 

(35) ^ = 2 arctg[^^,cn(w + C)]. 

La vérification est facile: en rempla9ant u + C par Vj on a, d'aprés des 
fariuules connues: 

dä 2kk' sn t; dn t; d*0 2kk' en v 

du A* + Ä* en* v ' <iu* dn' v 



et: 



2tg^ 
sin O = 



I + tg-- 



2 jri:' cn v 
J> "^ dn' » 



doii: • 






L*expression (35) de & rcnferme deux constantes k et C. Considérons 
ces deux quantités commc des fonctions de Uj qu'il s'agit de déterminer 
de maniérc ä vérifier Téquation (32). Si Ton 8'impose la condition: 

Ton a: 

du du 

^'^ _ aV j^dk _a^ (fC 

^ftt* 3w* 9743fcdn dudC du 

Substituant, et remarquant que la somme - ., + sinö est identiquement 
nuUe, on trouve: 



236 LéoD Lecornu. 



/ d0_ 
\du 



+ n 



, X dk j> \ du 3h*/ dC 

dGdudk~dkdudG 



dC __ y \ au *3uV9fe 

dw I + j>tt dO 3»ö dF^f 



dOdudk dkdudC 

m 

La fonction ö, qui sert ainsi ä déterminer t" g* j~ > ^s* fournie 
par Téquation (35): elle dépend uniquement de Ä; et de w + C; par con- 
séquent les dérivées --^ , ^ — y^ sont identiques » — > r— , • Le probléme se 

30 vu30 3M' 3w 

trouve en définitive ramené a Tintégration de deux équations simultanées 
du premier ord re, ou les inconnues sont k et C; mais la petitesse supposée 
du paramétre p pennet de faire un pas de plus. On voit en effet qu'en 
laissant de cöté les valeurs particuliéres pour lesquelles le déterminant 

dO d ff dO d^6 , '^ -i t 1 1 f • # dk dC .11 « 

-pz T TT—rr, approeherait de zero, les denvees -j- , -r- sont elles-mémes 

dCdlldk dkdudC ** du du 

tres petites: d'ou il résulte que k et C varient tres lentement. On peut 
donc, dans les seconds membres, qui contiennent déja p en facteur, négliger 
les variations des inconnues, du moins tant que u reste compris dans des 
liniites assez étroites. Le probléme ne dépend plus dés lors que de deux 
quadratures: si Ton veut, on peut, apres avoir ainsi obtenu de^ valeurs 
approchées de k et de C, les substituer dans les seconds membres pour 
passer a une seconde, puis a une troisiéme approximation, etc. 

Malheureusement, ces quadratures ne paraissent guére calculables: 
la solution est donc plutot théorique que pratique. Nous allons voir 
comment il est possible de parvenir a une solution effective, au moins 

quand Tamplitude des oscillations n'est pas excessive. 

(k ^ 
r en tt ) , 

qui vérifie rigoureusement, comme nous Tavons vu, Téquation (33) du 
pendule ordinaire, et cherchons les premiers termes de son développe- 
ment en serie suivant les puissances entiéres et croissantes du module k. 
En tenant couipte de A** et négligeant k^, on trouve successivement : 



Mémoire sur le pendule de loogueur variabla. 237 

" = J v/I -1' Bin v -^j^A' + T^^''^) = F + j(f - Sin j. cosj.), 

O O 

k* 

(p = am w = u (w ^ — sin w cos w), 

fe* 
en w = cosamt^ = cosw H — 8inw(w — sinw cosw), 

fe / fe'\r fe* . T 

T". cnw = fef I H — ) cosw H — 8inw(w — sin ^ cosw) 

= Ä* cos « H — cos w H — sin w(w — sin u cos w) , 

arctg \j. en aj = fe cosw + — cosw H — sinw(w — sin w cos?i) cos^w, 

fe' . . 2fe* 

/? = 2fe COSW + fe^ COSW H — sinw(w — sinw cosw) cos^^w, 



fe' 
^ = 2fe COSW + ^-(3 COSW + 3w sinw — cos' w). 



Mais 



, cos 3 't + 3 cos n 
cos^w = -^ -^ 



Donc enfin: 



fe' fe* 

(38) ö = 2k cosw H [9 COSW + I2wsin« — cos3^] = 2fecosw + f{u) 

en posant pour abréger: 

/'(w) •= 9 COSW + 1 2w sin w — cos 3^^. 

L'erreur commise est de Tordre fe*, c^est-ä-dire sin* *" . Supposons 

par exemple d^ = 20°, ce qui représente déja une oscillation tres notable: 

alors fe* serait egal ä 0,00091, inférieur par conséquent a . Pour 

un pendule oscillant de 180^, c'est-a-dire atteignant Thorizontale a chacune 
de ses élongations, on n'aurait encore pour fe* que la valeur 0,25. 



238 Léoft Looornu. 

Revenens a Téquation (32), et, pour Tintégrer, posons = (o + psy 
en admettant d'une part que p^ est négligeable, d'autre part que la 
quantité (o est égale a Tangle de la formule (38), et vérific par con- 
séquent Téquation (33). Il vient ainsi: 

(39) ^+ ecosco = F{u) 
en posant: 

L'équation (39) est une équation linéaire, du second ordre, par rapport 

Ar* . 

as. Si Ton remplace (o par sa valeur 2kcosu H f{u) et si Ton con- 

tinue a négliger ä;*, Ton a: 

(40) ^ + (i _ 2Å;- cos'w)s = Ak + Bk' 

avec les notations: 

A = 2u coAU + 4 sinn, 

Introduisons quatre fonctions auxiliaires «,/?,/',<?, en posant: 

s = a + kfi + ky + k'åy 

fonctions que nous assujettirons a 8'annuler, ainsi que leurs dérivées pre- 
iniéres, pour la valeur particuliére u = o; puis, apres avoir substitué 
cette valeur de s dans Téquation (40), annulons séparément les coefficients 
des puissances de Ä, jusqu'a la troisiéme inclusivement (la quatriéme étant 
toujours regardée comme négligeable). Nous avons: 

a" + a = o, 

/'" + /-= 2a cos^^, 



Mémoire sur le pendule de loDgueur variable. 289 

On voit d'abord qu'en vertu de Thypothése fz ^' a' =^ o, pour ii = o la 
fonction a est identiqueinent nulle,- et qu'il en edt de méme, par Buite, 
de j'. On a donc simplement a calculer y9 et ^ au moyen des deux 
équations : 

et ä prendre ensuite: 

s = kfi + k^d. 



Le calcul de y9 conduit a la valeur: 

^ u* sin u — 3ii C08 ti + 3 sin u 

H rss . — ■■.■■ ■ ■ , 

^ 2 

On en déduit: 

2^ cos' w = (sin u + sin 3w) -}- — (cos zu + 3 cosw). 

D^autre part, de la relation: 



f[u) = 9 cos w + 1 21^ sin w — cos 3w 



on tire: 



. . ■•• 



B^-^^{uru + 2ru) 



= [ — 1 2w* sin u + 39W cosw + 6 sin w + gw cos 3w + 6 sin 3w]. 

24- 

Donc : 

^' + (? = - w* sin w + I tt cos w -h - sin w + -w' sin 3w + | w cos 3m + - sin 3M . 
4- 024. o 2 

Pour intégrer cette équation, il suffit de former la somme des inté- 
grales correspondant aux divers terraes du second membre; on choisira 
ensuite les constantes arbitraires de maniére a avoir (? = ^ = o pour 
M = o. Le resultat est: 

32<?= — 4w'costt+ iiw'sinw — wcosw — w'sin3w — 3ttC0S3M + 4sinw, 



240 LéoQ LecoFDU. 

Finalement, les dscillations d'uii pendule lentement variable sont 
représentées par la formule: 

fe' 
(41) = 2kcosu -{ (9 cosw + i2wsinw — co8 3w) 

24 

+ — {u^ sin u — 3W cos w + 3 sin u) 
+ — (— 4w^cosw+ iiu^ sinu — ucosu — u^sin^u — 3wcos3«* + 4sinw). 

Je rappelle que k désigne le sinus de la moitié de Tangle d'écart initial; 
jP, le nombre, supposé tres petit, — = , et w, la variable y-t. Gette for- 

y^a V a 

J/J 

mule donne — = o pour t = o: elle suppose donc que la vitesse angu- 

laire est nuUe a Tinstant initial. Le terme 2A cosw correspond aux oscil- 
lations infiniment petites du pendule ordinaire; le terme multiplié par 

fe' 

— représente la correction nécessaire pour tenir compte du fait que les 

oscillations sont finies. Les termes multipliés par — et par — font 

2 3^ 

connaitre Tinfluence perturbatrice de Tallongement. 

Quand on néglige k^, la formule (41) doit devenir équivalente a la 
formule (25). Il est aisé de vérifier en eflFet que, si lon remplace dans 

cette derniére /*< par w et ^ par — , et si lon continue a traiter p 

comme un infiniment petit, il vient: 

= pcoQu + — (u^ sin w — 3W cos w + 3 sin u), 

4 

L'identité a donc lieu en prenant p = 2k. 

Comme application de la formule (41), cherchons quelle est la durée 
d'une demi-oscillation, depuis Télongation correspondant ä Torigine du 

temps ju8qu'au passage suivant par la verticale. Si Ton fait u =-, on 

trouve aisément: 



Mémoire sur lo pendule de longucur variable. 241 

et: 

de _ de _ r s^n pfe* /n* \-| 



La valeur u =- correspond a Tinstant ^=— , ou -V/-. A cet 
instant, le pendule, pour atteindre la verticale, a encore ä parcourir Farc 
d„ avec la vitesse negative -r . La durée de la demi-oscillation est donc 



dt„ 



égale a: 



\dt/ 7: 



En faisant le calcul, dans les conditions d'approximation déjä convenues, 
on tro u ve: 

(4^) ^-l/i(-+T)+:^(T + ^)+^("'+-)- 

En rempla<?ant Ä, c'e8t-a-dire sin — , par Vare — , ce qui est évidemment 
permis puisque k n'intervient ici que par son carré, on peut encore écrire: 

Précédemment, en négligeant p^, nous avons trouvé le temps: 

rp, _ ^ 4 A I ^ '— ^2 b 

« 

I désignant la longueur ä Tinstant du passage par la verticale, pris pour 
instant initial. Ici, nous trouvons en négligeant également p^: 

Si l'on veut établir la concordance de ces deux resultats, il faut se placer 
dans des conditions identiques, c'e8t-ä-dire considérer la demi-oscillation 

Äcla mathtmatiea. 19. Imprlmft le 13 aTril 1895. 31 



242 LéoD LccorDQ. 



pour laquelle la loDgaeur du pendule est a a Tinstant de Télongation, 
et Z ä rinstant du passage par la verticale. Ceci oblige a ren verser le 
sens de Tun des deux mouveraents et a écrire, par exemple: 

T' — ?i/i ^* — ' ^ ^ 

^ 2y g l6 g' 

rrh ' /n 

Puis il faut poser: l = a + bT=a'\ y- d'oii: 

T' ^ 1 A _1_ ^* + ^^ ^ 

^ =2Vg + —[6-g' 

On a donc bien Tégalité T = T. 



IV. 

Pendule conique. 

« 

Les équations, en coordonnées rectangulaires, du mouvement d'un 
pendule conique sont, en continuant a designer par T la tension et par 
I la longueur: 

Si Ton pose: rr' + y^ = r^ d'ou r^ + ^' = /^ on a: 

d« , dy dr 

(// ' ^ tZ/ dt 



Mémoirc sur le pendule de longucur variablo. 243 

D'autre part, le théoréme des aires donne : 



du dx 

dt ^ dt 

C étant une constantc. On tire de lä: 



9 



(-' + ^■)[(S)"+ (l)"J = '■ + ''(s 



dry 



ou: 



'-)+(l)=^+(s- 



/dxV 

[dt 



On a aussi: 



^dt* + ^dt*-^\dt) ^\dt) ^dt* + U/ 



et par suite: 
Mais: 



X 



+ ^df' + ^T = °- 



dt* 
On est ainsi conduit aux deux équations: 

d'r ^f e* 

d*Z rpZ 

qui, par lelimination de la tension, donncnt: 

d*g d*r , c*z 

^d^-^d«^-^'" + 7^ = °- 

Soit inaintenant Técart du pendule par rapport a la verticale. On a 

évidemment: 

r = Z sin ö, 

==r ZCOS^, 



^dt^~^'de " dt\ dt)' 



244 Léoo Lecoroa. 

et par suite: 

Pour définir complétement le mouvement, il faut encore exprimer, en 
fonction du temps, Tangle f> que forme avec un plan vertical fixe le 
plan vertical mobile qui contient a chaque instant la tige. Gette ex- 
pression est fournie par le théoréme des aires, qui donne: 

(44) Psm'0'^=c. 

Si Ton suppose, comme précéderaraent: I = a + bty Téquation (43) 
peut s'écrire: • 



jd^ä , .dB , . ^ c^coHff 



ou bien: 






Nous nous bornerons au oas des oscillations assez petites pour qu'on 
puisse remplacer sinö par et cosö par Tunité (ceci revient a négliger 
0^j tandis que, dans le oas du mouvement plan, il suffisait de négliger 

ö'). Rempla9ons en outre par 7 et ~ par x. Il vient ainsi: 

d^ +i~""7"^" ^' 
Soit enfin u = yi/— ; nous obtenons Téquation tres simple, au moins en 

^ 9 

apparence: 

(45) d^'+i-7 = °- 

Soit O) une solution quelconque de cette équation réduite a ses deux 
premiers terraes, c'est-ä-dire une solution de Téquation (9), et posons: 

v = ÅO) 



Mémoire sur le pendule do loDgueur variable. 245 

d'oil : 

dv . do} dX 

dz sdx dx^ 

^ — X— -\- —— M — 

dz* dz* dzdx dz*' 

En substituanty nous avons : 



dX do) ^*'' _ ^ 



ou: 



^dX d / ^dX\ __2 dX 
• dzdz\ dz) >i* dz 

L^intégratioD est immédiate et donne, en appelant Ä une constante: 



(»■s)'+7=^ 



d'ou 



X — 

dx I 



y]A3C — I «»" 

Soit B une autre constante; une seconde integration donne: 
Donc enfin: 



•v? 



+ Ä<o 



•(/^+^)- 



Telle est Tintégrale générale de Téquation (45). Pour interpreter ce re- 
sultat, remarquons que les deux fonctions: 



a,. =-^, (O, = yjAtolj^ + Bj 



7i' 



240 



LéoD LecoFDU. 



sont deux intégrales particuliéres de Téquation (9), intégrales liées par 
Tuniquc condition: 



(46) 



d(o^ da). 



Si donc ö), , o)^ sont deux fonctions vérifiant ä la fois les équations (9) 

et (46), on peut écrire: 

v = yjwl + wl. 

Revenons inaintenant aux notations primitives, qui donnent: 



o = Wl 



et 8oit de méme: 



e. 



(O, . /be 

-"T V 7' 



0. 



ä»j . /bc 

jVj' 



N0U8 trouvons: 

(47) 

avec les conditions: 



= \le\ + (fi 



(48) 






dP 



dt 



= o, 



= o, 



(49) 



• dt 



de, _ c 
^^~di-r 



Les deux équations (48) inontrent que 6^ et 6^ sont les anglcs d'in- 
. clinaison de deux pendules plans, de méme longueur que le pendule conique. 
Les équations (47) et (49) pröuvent d'ailleurs qu*on peut écrire: 

0^=0 003 f , ^j = ö sin j? , 



^•«'i 



d<p 



C. 



Gette derniére équation est identique, pour le degré d'approximation 
adopté/ avec réquation (44): la fonction <p a donc dans les deux cas la 



Mémoire sur le pcndule do loDgueur voriable. 247 

méme signification, cest-ä-dire qu'elle représente Tangle compris entré 
un plan fixe et le plan vertical du pendule. Nous concluons de la que 
0^ et 0^ sont les projéctions de Vangle sur' deux plans fixes, verticaux 
et rectangulaires. 
En resumé: 

Le mouvement du pendule conique s'obtient en composant les mouve- 
ments de deux pendules qui oscillent dans deux plans fixes rectangulaires, 
suivant les lois précédemment établies. 

Ge théoréme aurait pu étre énoncé immédiatement, en remarquant 
que traiter Tangle d'écart conime un infiniment petit, c'est confondre la 
longueur du pendule avec sa projection sur un plan vertical quelconque, 
d'oii il suit que la projection varie uniformément, aussi bien que la longueur 
elle-méme. Mais les calculs qui précédent vont nous permettre de discuter 
complétement le probléme, au moins dans le cas du pendule lentement 
variable. 

A cet effet, représentons 0^ et 0^ au moyén de la formule (25), en 
attribuant ä la phase ^ deux valeurs difFérentes, ^, et ^^. Soient en 
öiitre ^, et />, les deux valeurs de la constante p. Nous avons: 

(50) e,=p,[i-lprt)Bm{rt-</>,)-P-^coB(rt-^,), 

<?, = iO,(i -IPri) sin iri - 4>.) -^^cos{rt - ip,). 

i 

Si nous écrivons que Téquation (49) est vérifiée identiquement apres 
qu'on a remplacé — par - — 777775, c'esta-dire par — (i — ^PT^), il vient, 
toutes réductions faites: 



3 

c c —- 



(51) />,/>, sin (^, — ^,) = ^ = -= a •■' . 

I 

Supposons que les deux plans fixes rectangulaires viennent ä tourner 
d'un angle (o autour de leur aréte. Les constantes />i : /O3 > ^, , ^^ prennent 
de nouvelles valeurs /oJ , /oJ , ^J , ^J, et un calcul élémentaire montre que 
Ton a: 

V1V2 cos(^; — <p[) = [pl — />i) sin 2ö> + 2p^p^ cos(^j, — ^J cos 2CW. 



248 LéoD Lcconiii. 

Si donc Tangle w est choisi de maniére a avoir tg2cw = -^^cos(^, — ^J, 

la nouvelle différence de phase est égale ä -. D*ailleur8, en choisissant 

convenablement Torigine du temps, on peut faire en sorte que ^J soit 

nul, et par conséquent (J)[ egal ä — -. Effa9ons en outre les accents, 

devenus inutiles, de p[ et />J, et, pour abréger, rempla9on8 ji par u. 
Dans ces conditions les équations (50) et (51) sont remplacées par les 
suivantes: 



(52) 



-L = CO8 M — — (3 C08M + U COSM), 

— = sin u — ^-- (3 sin u + u sin w), 

Pi 4 



= 4o-«- 



La derniére détermine la constante des aires en fonction de p^ et />,. 
Les deux autres font connaitre, en fonction du temps, les angles 0^ et 0^ 
ainsi que Tangle ^ compris entré le plan fixe des 0^ et le plan vertical 
du pendule; car on a, d'aprés ce qui précéde: 

tgF=^;. 

On peut aussi trouver la courbe tracée par la ti^e du pendule sur 
un plan horizontal fixe, mené, par exemple, ä la distance i du point 
de suspension. Si les traces des deux plans verticaux sur ce plan hori- 
zontal sont prises pour axes des x et des y, les coordonhées de la trace 
du pendule sont: 

et les équations (52) donnent immédiatement, en négligeant p^: 



(.')■+©■ — f-^^a 



Cest une courbe transcendante, peu différente d'une ellipse. On peut 
encore dire que la tige rencontre constemment, sur le plan horizontal, 



Mémoire sur le pcndule de longueur variable. 249 

une ellipse qui varie lentement, en restant concentrique et homothétique 
ä elle-méme. Les deux axes ont pour valeurs: 

Au bout d'un demi-tour, le rapport d'homothétie est i — —■ , ee qui 

concorde avec le resultat trouvé en parlant de Taraplitude des oscilla- 
tions planes. 

Ces conclusions seraient évideminent modifiées si Ton cessait de re- 
gärder les oscillations comme infiniment petites. Il est présumable, d'apres 
ce qu'on sait du pendule conique ordinaire, que Ton trouverait alörs une 
ellipse lentement variable, toujours seinblable a elle-méme, niais tournant 
autour de son centre. Reculant devant la longueur des calculs, je n'ai 
pas essayé de vérifier cette supposition. 



Aeta mathematiea. 19. Irapiinié le 17 ETril 1805. 32 



251 



SUR LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE 



PAB 

R. LIOUVILLE 

k PABI8. 



IntiröäucMmi. 

L'Académie des Sciences de Paris avait proposé^ comme sujet d'un 
prix a décerner en 1894, Tétude des intégrales algébriques des équations 
de la dynainique et particuliérement des intégrales quadratiques. Le 
travail, que j'avais presents a ce concours et auquel une mention ho- 
norable a été accordée, se composait de deux parties. La premiére, se 
rapportant a une certaine interpretation des équations de la dynamique 
et surtout a Tétude de leurs intégrales quadratiques, est reproduite dans 
le present Mémoire, sans autre changeinent que la suppression de quelques 
détails^ mieux ä leur place parmi d'autres recherches. 

En ce qui concerne les intégrales quadratiques, je n'ai point fait 
porter mes efforts sur toutes les catégories dans lesquelles ces intégrales 
peuvent étre rangées. 

L'objet principal des premiers paragraphes de ce Mémoire est, au 
contraire, la definition precise d'une certaine espéce dMntégrales quadra- 
tiques, a laquelle celle des forces vives appartient toujours lorsqu'elle 
existe et qui jouit de propriétés tres distinctes* 

Le sujet ainsi limité se trouve en liaison étroite avec un autre pro- 
blcme, déja étudié sur certains points par plusieurs auteurs, • c^est celui 
de la conservation des trajectoires, On sait en efFet que, dans certains 
cas, les équations de la dynamique admettent des transformations, diffé* 

rentes de celles qui consistent dans un simple changement des variables 

« 

Åeta mathemoHea. 19. loiprimé le 17 avril 1895. 



252 R. Liouville. 

et susceptibles d'étre einployées sans altération des trajectoires. Le mouve- 
ment sur ces trajectoires est en general modifié, mais il peut aussi ne 
pas Tétre et Ton construit sans peine des exemples pour lesquels se produit 
ce fait assez singulier. Quoiqu'il en soit a cet égard, les problémes ad- 
mettant les transformations indiquées font aussi connaitre, parmi les inte- 
grales du second degré des équations de la dynamique, des classes douées 
de caractéres spéciaux. Il faut toutefois séparer, dans toute cette question, 
deux points de vue presque opposés, car. on »peut fäiré Tune ou Tautre 
des deux hypothéses suivantes: 

A. r* liypotMse. Les forces sont nulles, ou bien elles dérivent 
d'un potentiel et Ténergie est une > constante donnée; il est bien connu 
qu'a ces deux conditions répondent des équations de méme espéce. L^étude 
des transformations conservant les trajectoires n'est alors rien autre chose 
qu une question relative aux équations différentielles linéaires, a une seule 
variable; c'est ce que peuvent établir les § i, 2 et 3 de ce Iravail et 
voici la question dont il s'agit: 

On donne un systéme d'équations différentielles linéaires, 

(Ä) 

(O 

ih.k) ^ ' 

dans lequel les inconnues sont z , z^^^ , . . . , z^"'^; les coefficients p^^^l sont 
des fonctions données de m variables a^j , rr, , . . . , iP;„, liées elles-mémes a 
Tune d'entre elles, par m — i équations qui ne sont pas connues. Com- 
ment doivent étre choisies les fonctions données pfl^ afin que le systéme 
linéaire précédent admette une, deux ou plusieurs intégrales, contenant 
au second degré les inconnues z^^'^ et indépendantes des liaisons supposées 
entré les rr^? 

Je démontre que, s'il existe une intégrale de. cette espéce, il y a uti 
probléme de dynamique correspondant aux équations linéaires nientionnées; 
sil existe deux intégrales, il y en a ;;? en general, distinctes ou réductibles; 
chacune d'elles définit un mouvement et, lorsqu'on pa^se de Tun a.lautre 
de ceux-ci, les trajectoires ne sont pas changées. De plus, les équations 
de ces mouvements admettent des intégrales quadratiques,.d'ordinaire. au 
noinbre de nij -(^ 3). 



Sur les équatioDS de la dynamique. 253 

On peut imaginer que le systéine (i) n'admette . aucune intégrale 
quadratique; cela ii'einpéche point qu^il lui corresponde des équations 
difFérentielles, analogues ä celles de la dynamique et, comme elles, 8'offrant 
sans cesse les inémes, quel que soit le choix des variables x^^x^y ...yX^. 
Je dirai que.ces équations. ont ménie aspect que celles de la dynamique; 
certaines conclusions relatives a ces derniéres conviennent aussi aux équa* 
tions de mérae aspect, dont la généralité : cependant est plus grande. On 
voit qu'au contraire, les intégrales quadratiques dont il vient d'étre question, 
sont, d'aprés leur nature méme, réservées aux équations de la dynamique 
proprement dites. 

Il serait naturel d*étendre ces recherches en proposant d'attribuer au 
systéme (i) une.ou plusieurs intégrales linéaires, une ou plusieurs inté- 
grales de degré supérieur a deux; ^ je laisse les intégrales linéaires, pour 
lesquelles le resultat est simple et sera développé dans une autre occasion; 
quant ä celles de degré supérieur ä deux, on serait tenté de penser 
qu'elles n'existent pas, si Ton rravait pu former des exemplcs pour lesquels 
se présentent m intégrales quadratiques; or celles-ci permettent de con- 
struire des intégrales, de degré supérieur a deux et méme assez variées. 
La question est alors de savoir s'il y a, pour le systéme (i), des inté- 
grales entiéres, hormis celles qui résultent ainsi des combinaisons de quel- 
ques autres, soit linéaires, soit quadratiques. Cela est impossible et la 
demonstration se fait . en quelques möts (§ 4), sous la réserve d'un cas 
exceptionnel, dont Texamen complet ne m'a pas paru nécessaire en ce 
moment. 

La recherche qui reste a faire est celle des problémes de dynamique 
pour lesquels les équations linéaires correspondantes (i) admettent, soit 
une intégrale linéaire, soit une seconde intégrale quadratique. Sur ce 
point, voici les resultats contenus dans ce mémoire. 

Comme conséquence des relations précédemment établies, jHndique 
d'abord une solution assez étendue et qui convient quel que soit le 
npmbre des variables Xf^. Afin qu'elle se présente, il faut et ilsuffit 
que les deux formes quadratiques conjuguées, je veux dire correspondant 
aux mémes trajectoires, puissent étre simultanément réduites a ne contenir 



^ Les équatioDS de la dynamique oorrespondaDtes auraieut aussi des intégrales de 
ces mémes degres et duno nature spéciale. 



254 R. Liourillc. 

qtte les carrés des différentielles; il éntre, dans les coefficients de ces deux 
fotmes, m fonctions arbitraires et chacurie de celles-ci dépend d'dne variabla 
Utiique. Lä solutiort ainsi trouVée offrö une apparente atialogie avec ruiie 
de celles qui, liées ä Tétude générale des intégrales quadratiqaes, sont 
dfepuis longtemps cotinties, mais elle en est au fond tout & fait différente 
et constitue un cas d'intégration nouveau, (§ 5). 

Atl reste, ä toute solution connue du probléme, le nombre des Ta- 
riables étatit nij correspondent d'autreö solutions, pour lesquelles ce nombre 
est lin multiple de m et qui se déduisélit de la premiére sans aucUu 
calcul;.ce théoréme est Tobjet du § 6. 

B. 2^ hypothésé. Dans les problémes de mécänique considérés, les 
forces appliquées ne sont pas nulles; ce sont des fdnctions qUelootiques 
des coordonnées x^.x^. . . . , x,^ et, iorsqu'elles dérivent d'un potentiell la 
constante de Ténergie doit restét arbitraire. Si Ton veut étudier deiix 
ptoblémes de cette espéce, difFérents et pour lesqUéls les trajectoires 
soient cependant les mémeg, on rencöntre d'abord une proposition, dtle 
a M. Painlevé: il existe eti génétal, pour cbaeun des problémes une 
intégrale quadratique, (§ 7), une exception totttefois ayant lieu quatid, 
apres avoir fait évanouir les forces, les deux systémes atixqu^ls on 
parvient sont de la catégorie exanlitiée pltis haut, {A). 

La demonstration donnée (§ 7) se déduit des seuls elements dofit 
nous avons déja fait usage; mais le théoréme acquiert par ce tnoyeti une 
nouvelle signification et un degré de gétiéralité toUt différents; c'est ce 
que je voudrais expliquer ici, car cela est essentiel pour presenter la 
question soiis sött jour véritable. J'ai déja fait observer^ au sujet de la 
premiére hypothése, que certains systémes d'équations diflFérentielles ne 
sont pas susceptibles de définir Tensemble des trajectoires dans tlh pro- 
bléme de mécänique proprement dit, mais oflfrent cependant le méme 
aspect que les équations de ces trajectoires et jouissent d'une généralité 
beaucoup plus grande. La méme chose a lieu dans le cas actuel et poui* 
les mémes raisons. L'intégrale quadratique, don t nous aVohs démontré 
Texlstence, convient a ces problémes plus géhéraux que ceux de la mé- 
cänique, dans les circonstances mémes qui étaient admises pour ces der- 
niers; cette existence n'est donc nullement liée, comme elle Tétait dans 
la premiére hypothése, a celle d*un véritable probléme de mécänique 
correspondant aux équations étudiées; les deux faits sont au contraire 



Sur ies équatioQS de la dynamique. 255 

distinctSy bien que sans doute ieuF réunion puisse motiver des conqlusipns 
spéciales. 

Il semble certain qa*entr6 Ies systémes d^équ^tions différentielles 
appartenant a des problémes de dynainique et Ies systémes plus généraux^ 
de mérae aspect, il y a des rapprochements tres nombreux. Le § 8 de 
ce mémoire est consacré a en indiquer un, presque evident: s'il arrive 
qu'un probléme de dynamique adraette une intégrale, rationnelle a Tégard 
des vitesses, il y a un systéme, de méme aspect, possédant une intégrale 
entiére par rapport a ces mémes quantités. 

J'ajoute que Ies elements employés dans toute cette théorie sont 
susceptibles d'applications assez différentes; c'est ainsi que d'une reinarque 
fait« au § 2 résulte, pour tout changement des variables iCj , rr^ , . . . , rc^ , 
le moyen de construire Ies invariants non pas s^ulement des équations 
de la dynamique, mais aussi ceux, bien moins accessibles, des équations 
de méme aspect, soustraites a toute restriction. 

La seconde partie du travail que j'avais présenté a TAcadémie des 
Sciences de Paris concemait le probléme de la rotation d'un corps solide 
autour d'uii point fixe; ce sera le sujet d*un prochfiin Mémoire. 



CHAPITRE L 



§ 1» Équations du mouvenient, quand il y a une intégrale des/orees 

vives, dont la constante est donnée. Systémes linéaires assoeiés. 

Eqtuitions du secand ordre plus générales que eeUes de la 

dynamique. 

Quand un probléme de dynamique admet Vintégrale des forces vives, 
il convient souvent de regarder comme une donnée de la question la valeur 
de la constante qui représente Ténergie. Le probléme pose de cette 
maniére équivaut, on le sait, a celui des géodésiques généralisées, et, 
comme il est d'une importance et d'une simplicité particuliére, c'est a lui 
que se rapporteront un grand nombre des resultats suivants, notamment 



256 R. Liouville. 

s 

ceux qui font Tobjet de ce paragraphe. Si Ton représente par T la 
deini-soinme des forces vives, par x^ y x^ ^ . , , , x„^, les paramétres, en 
nombrc quelconque, servant ii définir la position du systéme materiel a 
rinstant considéré, par t le temps compté depuis une origine arbitraire, 
dans la formule 

2Tdt^ = ^endXidXtj 

qui détermine T, les coefficients e^^ sont des fonctions quelconques de 
ir, , rTj , . . . , :r„,. Les équations du mouvement, 






\ dT 



se développent alors ainsi 






cZ^ (i< 



= O 



et leur étude se ratta che, comme on le va voir, a célle d'un certain 
systéme d'équations dififérentielles linéaires. 
Considérons en efifet le systéme: 

dz — Y^^^dXf, = o, 

(2) 

dont les coefficients sont des fonctions arbitraires des variables :r, , rr^, 
• • • > ^mi j^ suppose ces derniéres liées par m — i relations, • qui d'abord 
ne sont pas données et je regarde z^^^ , z^'^^ , . . . , /'"^ et z comme de& in- 
connues satisfaisant aux équations linéaires (2). La derniére, z^ qui joue 
un röle prépondérant, nullement influencé d'ailleurs par le choix des 
variables iCj , . . . , rr,„, sera désignée sous le nom d'inconnue principale; 
les autres sont les inconnues auxiliaires: J'imagine que l'on veuille, dans 
les équations (2), isoler Tinconnue principale. Les relations établies entré 
les Xi étant arbitraires, des différentiations, en general au nombre de w, 
permettent d'élimirier les inconnues auxiliaires et laissent une équation 
différentielle, d'ordre m, faisant connaitre z. Mais les relations adoptées 
peuvent étre telles que Tordre de cette équation soit abaissé. Pour qu il 



Sur les équations de la d3'Damiquc. 257 

devienne egal a deux, les variables rr^ doivent étre assujetties a des con- 
ditions, qui les définissent d'une fa9on compléte. En elFet de la premiére 
égalité (2), on dédiiit 

dh — Y(U'\lx, — Tz^^^d^x, ^- o, 

(O (A) 

ou bien, d'aprés les égalités du rnéme groupe, 

(3) d'z — Z/"^ pX — 5: pfidx.dxA = o 

et le resultat cherché sera obtenu pourvu que ces équations différentielles, 

/ -\ c.^) i^.k) 

^ ' djCh dXf^' 

soient vérifiées, quels que soient les indices h et h\ Cela étant,* on en 
conclut la relation 

(5) dXf^d^z — dz[d^x,, — S pTk^Xidx^] = o, 

ou Tindice h est a volonté. Le lien étroit qui existe entré ces équations 
et les précédentes (i) saper9oit sans peine. Ayant pris pour t Tinconnue 
Zy il sufTit que les fonctions p\^l soient déterminées comme il convient 
pour que les systomes d'cquations (5) et (i) se confondent entiorement. 
Je diraialors que le systéme linéaire (2) leur est associé. On voit que 
les jpj*^ ne sont pas des fonctions quelconques des variables x^.x^j.^.^x^, 
quand méme les coeflficients c, ^^ seraient regardés comine arbitraires. Mais, 
que Von suppose au contraire, entré p}\^ et les rr^^., des relations a volonté: 
les équations (5) et, par suite, (4) conservent le méme aspect; la seule 
différence consiste en ce qu'il cesse d'y avoir des eoefficients e^^ corres- 
pondants. Dans ce qui va suivre, j^aurai souvent a considérer les équa- 
tions (4) dans toute leur généralité, mais j'imposerai d'ordinaire aux 
eoefficients pf}^ que ces équations (4) ne déterminent pas d'une fa^on 
compléte, une condition importante, c'est qu'il existe une fonction <?, dont 
les dérivées partielies sexpriment ainsi 

Åcla mathemntira. 11). ImprimO le 16 avril 1895. ^^ 



2ö8 R. Liouville. 

Grace a cette hypothése, si le systéine (4) et la fonction () sont donnés, 
toutes les quantilés p\^l sont égalernent conniies. Dans ce cas encore, je 
dirai que les équations (4) et le systéme liriéaire (2) sont associés. 

On peut encore se représenter d'une autre maniére le lien qui 
rattache les équations (4) ou (5) au systeine linéaire associé. Considérons, 
sons la forme 

^Qh^^^ = constnnte, 

(A) 

une intégrale de ce systéme, pour un choix quelconque des liaisons 
établies entré les variables Xi\ il est clair que les fonctions q^ peuvent 
étre regardées comme des inconnues nouvelles, satisfaisant aux équations 
linéaires de ce systéme 

( 2 ') clq, — Z^ p'^\ q„ fix, = o, 

adjoint a (2). Pour définir les o:,, je suppose, oiitre les équations (2) et 
(2') les suivantes 

(5') 17 = 'f- 

on vérifie sans peine qu'elles entrainent les équations (5) et n'en exigent 
aucune autre. En raison de sa simplicité, j'omets cette vérification. 

La nouvelle maniére, ainsi obtenue, de rattacher les équations (4) 
au systéme linéaire (2) ou plutot a son adjoint, est, ii quelques égards, 
plus naturelle que la premiére, mais elle met molns en évidence Tun 
des principaux caractéres de cette connexion, son invariance pour tous 
les choix possibles des variables x^ , x^ , . . . ^ x^. Au reste, alors que le 
systéme (2') est en relations plus directes avec les équations de la dy- 
namique, telles que Lagrange les a construites, le systéme (2) est au 
contraire plus étroitement lié aux équations d^HAMiLTON, c'est la con- 
clusion bien aisée a déduire des remarques précédentes. 

LorsquMl existe des coefficients c^jf, leurs relations avec les quan- 
tités p^/^l peuvent' étre mises sous cette forine 

(7) ~- + 'E(e,,r^^ + e,,i^J) = o. 



260 . R. Liouville. 

Soient E^j, des fonctions ainsi définies 

(13) ^E,_,e,_,= i, Zf;,.,^..* = o. 

Voici, en tenant compte de (7), la conséquence évidente des égalités (13), 

(14) dE,,-i:(E,,„ir^ + E,,,p^-!,]dx, = o, 

(/i. O. 

permettant de déterminer les Ef^ sans aucun interniédiaire. 

Réciproquement, si des inconnues doivent satisfaire aux éq nations 
(14), il est toujours permis de les supposer liées aux eoefficients e.^ par 
les relations (.13); la fa9on symétrique dont les systémes (14) et (7) se 
correspondent suflfit pour le faire voir. 



§ 2. Equations dlfférentielleH d^ordre supérieur forniantun syste^ne 
incomplet. Invariants dea equations de la dynamlque ou des 

éqiiations f/énérales de niéme aspect. 

Nous avons dit § i qu'aux equations de cette espéce 

/ . \ (Uj) ('.^) 

^ ^ dxft dxu' 

qui coniprennent coinme cas particulier les equations de la dynaniique, 
est associé un systéme linéaire, toujours le niéine quel quc soit le choix 
deé variables ./■<. On peut a ce dernier rattacher toute une serie de 
groupes d'équations entré los ir/, ces equations sont analogues a (1), inais 
d'ordre supérieur ä deux; elles förment des systémes incomplets, ou le 
nombre des relations distinctes est inférieur a m — i. 

Il n'y a, pour les obtenir, qu'a différentier un nombre quelconque 
de fois la premiére équation (2 § i) et a supposer que les variables x^ sont 
assujetties a des conditions telles que toutes les equations ainsi construites 
ne soient pas indépendante?. 



Sur les équations do la dyDaiuiquc. 

Par exoinple, si Von pose pour abréger 

Ddx^ = d^x„ — S PuidXidXt. 



2iil 



D''dx, = D.Ddx, = dDdx 



, — T. pf;i{dx^I)dx, + dXtDdx^), 

(i. k) 



etc, 



de la preiniére équation (2 § i) il résulte 



(2) 



d^z — T/^^Ddx^ = o. 

(A) 

^r^ — Z;^*>7)V.r. = o: 



(A) 



ces relations et celle d'ovi Ton est parti, 

dz — r/"^rfx, = 0, 

cesseront d etre indépendantes, si Ton imagine que les variables Xi satis- 
fasseiit il ces identités 



(3) 



Ddx 



dXf, dXf,- 

Ddx,,- Ddx,, = o, 



D\ix, I)\ix, D%r„. 



dont m — 2 sont seulcs distinctes. Lorsqu'elles ont lieu, Tinconnue prin- 
cipale z satisfait a une équation (Tiflcrentielle du 3*^ ordre, qu'on peut 
représenter ainsi 

dz , dr,, , dx„- 



(4) 



d''z , Ddx,, , Ddx,, ; ^ o 
d'z , JrVx, , DVx, 



Rien n'enipcche de parvenir aux équations (3) et (4), en les rattachant 
au systénie (2', § i). Eiles cxpriment en effet que, z étant donnée, il 
y a entré les z^^^ deux relations entiérement connues et non davantage. Or 
Téquation suivante 



(5) 



Tq.z^"^ = 



c 



(*) 



262 



K. Liouvillc 



peut étre substituée a Tunc de celles qui constituent le systeme (2), 
puisqu'elle en est uiie intcgrale et, les mérnes conditioiis ctant iinposées, 
les équations (4) sont remplacées par eelles-ci 



(6) 



c 


(Jn 


(Ju- i 


dz 


dx,, 


dx,' 


\rz 


• 

Ddxi, 


l)dx„- 



--= o, 



dans lesquelles la constante c est/ arbitraire. J ajoute que les équations 
du second ordre étudiées au § i forit connaitre uiie solution particuliere 
des équations (4) ou (6) de ce paragraphe. 

JMndiquerai une seule application des systénies in oniplets tels que 
(3); elle est relative au dernier d'entre eux. De Tégalité 

• 

dz — ^z''^dXf, = o 

peuvent étre dédui tes, on le sait, les sui vantes 

dh—Tz^^Ddx, = o , . . . , d"'z— Yz^^nrdx, = o; 

(/*) (Ä) 

mais, afin qu'elles cessent d'étre distinctes, il est nécessaire et suffisant 
qu'il y ait entré les x^ une relation unique, d'ordre m. 



(7) 



dx. 



Ddx, 



Ii 



= o; 



jy"dx, 



celle-ei constitue seule Tun des groupes d'équations lies d\ine nianiere 
invariante aux systémes linéaires (2) et (2') § i et^ par suite, aux équa- 
tions (4) et (5) du méine paragraphe. Si done on considére, dans cette 
relation, Teni^enible des terines ne dépendant que des différentielles du 
premier ordre, cet ensemble est un eovariant des équations (4) § i. Il 
fait connaitre un moyen effectif de construire les invariants de ces équa- 
tions si générales, dans lesquelles toutes celles de la dynamique se trou- 
vént comprises. 



264 R, Liouville. 

Le plus souvent d^ailleura cette solution est unique, abstraction faite de 
rindéterminée c qui la inultiplie. Mais les conditions (2) sont suseeptibles 
d^autres interpretations. Elles expriment que le systéme (3) posséde une 
intégrale du second degré, 

(7) r Ef, ^•z^''^^'''^ = constante, 

ou bien qu'il y a, pour le systéme adjoint a (3), une intégrale qua- 
dratique 

(7') ?.,^a.a'(7a?a' = constante, 

i n.h ) 

quelles que soient les relations étahlies entré les x^. La constatation est des 
plus simples et ne mérite pas qu'on sy arréte, mais le fait est digne 
d'intérét, ä cause de ses conséquences. 

Les conditionä (2) étant supposées remplies, les relations (14) § i, 

(8) ^ - ^^mK, + pf,E,,) = o, 

sont jiussi satisfaites; les notations suivantes 

—2 



* 

(9) ^ = f^l , {i - m - 'O ^ o ; p''l = m - -l^r, ^ 

2 3 log d 



Ph.h — ''h.h 



m + I 3«^ 



permettent. de les représenter sous une forme plus commode et changent 
les équations (i) en d'autres semblables, 

d^Xk — T.hfldxidxi d^Xh' — 2 h^uUdXiixu 

(10) '-^ = ^f 

^ ^ axh dXfi' 

OU figurent seuls les coefficients I//"}, D'aprés les égalités (6) § i, ces 
derniers sont lies par les relations 

(11) p!:i = o; 



266 R. Liouville. 

D^ailleurs 
c'est ä di re 



^ ^^ '•*":■/■<•.»•'/ 3/;.* ~;:/v.Hi'3A*' 

de sorte que la forme (13) 8'expriine de cette maniére 

On a vu que, les équations (io)*étant données, le systéme linéaire associé 
ne Test pas coinplétement: sa déterinination nest achevée que si lon 
connait une certaine fonction caractéristique d, dont le choix d'ailleurs 
est a volonté. 

Ceci rappelé, j'imagine que les identités (12) possédent,. non plus 
une, mais deux solutions distinctes et j'accentue, pour les distinguer, les 
quantités qui se rattachent a la seconde. • Il existe alors deux systémes 
linéaires, associés * aux équations (10) et admettant une intégrale qua- 
dratique, quelles que soient les liaisons établies entré les x^. Uun d'eux 
répond ä une fonction d définie par la formule, 



> _ II/- !l "T" 



Tautre a 

^' = II f 



m-t-l 
2 



Mais les équations (10) sont indépendantes de d et rien n'empéche de 

leur associer un systéme linéaire pour lequel la fonction caractéristique 

soit une constante. Soit C Tinconnue principale de ce systéme, en sorte 
que, (§ i) 

iVxh — "IiyuldXidxt .;»*' 

(18) ('•*) .._ r=— . 



Sur les équatiops de la dynamiquc. 267 

Les relations (9) montrent qu'il en faut conclure 

(19)' T^ = :5 ; — dlogå, 

\ ^J dC rf« w + I ^ 

cest dire qu'il est permis de prendre 

(19O dC='d^^'.dz = \\f,4dz. 

Or les équations (10), qui sont celles des trajectoires du inouvement 
étudié, 8'obtiennent en joignant au systéme linéaire 

(20) dr, — Tb['\rä^x, = o, 

{h.k) 

les équations suivantes 

(21) wr = r< 



d: 



et, puisque le systéme primitif 



(2 2) dq, — Ty^\q,,dXt = o, 

(A.i-) 

répondant ä Tinconnue principale Zy ä la fonction caractéristique (?, admet 
une intégrale quadratique . • • 



(2 3) FTT^jT 52 ^It^ ?*y* = constante, 

le systéme (20) lui-raéme en posséde une 



(24) S %^nr. = constante. 

Les mémes choses étant vraies quand Tinconnue principale est z[ et la 
fonction caractéristique ff^ il en doit adraettre une seconde, 

(25) 51 ^-^ip^hh = constante; 
leur quotient, 

(2é) ' . 2 ^It^^' dXidx, : 5^ ^^' rfa:,rf;c, = constante, 



268 R. LiouvUle. 



oii n'entre plus C> est donc une intégrale des équations (lo). Il est aisé 
de la transformer, en y faisant apparaitre djs ou, ce qui est la méme 
chose^ dty car Téquation (23) peut se représenter ainsi * 



^'-y^^dx,dx,==c\\f,.4''dt\ 

ce qui change (26) en une intégrale quadratique, 

(2 j) Tz — nr ZJ. l^./ 3r TT = constante. 

Mais il y a d'autres conclusions å déduire des relations* (12). Comme 
elles sont linéäires, a Tégard des inconnues qu elles renfennent, s'il en 
existe deux solutions distinctes, les fonctions 

(28) F,,, = fU + cU,, 

qui contiennent une constante arbitraire c, en font connaitre une solution 
plus générale, a laquellc s'appliquent aussi les considérations précédentes. 
Il y a donc en ce cas une intégrale quadratique, 



r2o^ ' y nllA^d^ - constante 

^'^^ . \\f<A'h ^^-^ d^^^ -constante, 

dont le premier membre est une fonction entiére de c; toutes réductions 
faites, cette arbitraire y figure en general a la puissance m — i . 

Ainsi et pour conclure sur ce sujet: quand le systéme linéaire (20), 
associé aux équations de la dynamiqtée, admet deux intégrales du second 
degré, ces équations eUes^iémes admettent en general, outre V intégrale des 
forces viveSy m — i intégrales quadratiqueSy coefficients des différentes puis- 
sances de c dans le premier membre de Véquation (29). Au reste, si Ton 
considére les mouvements qui répondent aux deux expressions 

'2Tdt^ = JleitdXidXt, 

(30) 

2Tdt^ = He[j,dx.dxtj 

prises pour intégrales des forces vives, les équations (10) leur sont cora- 
munes, et définissent leurs trajectoires. La question qui vient d'étre étudiée 



Sur les équaiioos de la dyoamique. 26d 

• 

n'e8t donc qu'une . généralisation du probléme résolu par M. Dini quand 
les variables sont au nombre de deux. La transformation par laquellé 
on peut passer de Tun de ces mouvements a l'un åé ses conjugaés est 
immédiatement en évidence. Si Ton désigne^ pour le premier, par f, 
pour le secönd, par t'y la variable qui représehte le temps, Tanalyse 
précédente montre que Ton a 

3 3 t * 

dt = <r+»rfC, • dt' = å''^'dC, dt' = dt (^y^' , 
c^est a dire, a cause de Tégalité (15), 

(31) • ■ dt'\\f!4=.dtif,4. 

Quand 

\\f:A = \\U • . . 

d'ou suit 



e' 



i.k 



'i.k 



la relation (31) se réduisant a dt='dt'y les deux mouvements considérés 
sont confondus; en d'autres termes, il y a deux intégrales quadratiques, 
qui peuvent Jouer le méme role que cdles des for ces vives. Afin qu'un 
pareil cas se.présente, il est évidemment nécessaire et suffisant que les 
équations (7) § ij 



3e, 



-* + r bi«.e,, + i^LVO = o, 



dJCf (A) 

• 

ou Ton regarde comme inconnues les e,.^ et comme données les cöefficients 
p\''ly admettent deux solutions ditférentes. 

L'existence de semblables cas pourrait sembler incertaine a priori, 
mais ils ont été obtenus d'une fa9on explicite, lorsque les variables a?, 
sont au nombre de 3 (Note de Tauteur, Comptes rendus, avril 1891.). 
Quand il y a seulement deux variables, de tels mouvements ne peuvent 
SQ produire que sur les lignes géodésiques des surfaces a courbure con- 
stante. L'intégrale (26) a d'abord été signalée, pour ces cas, dans la 
communication qui vient d'étre citée. Le théoréme general a été donné,* 
avec d'autres propositions, par M. Painlevé dans une note, insérée aux 
Comptes rendus de TAcadémie des Sciences de Paris le 11 avril 1892. 
Le théoréme, établissant Téxistence de plusieurs intégrales qiiadratiques 



270 R. Liouville. 



et les conditions pour quun systéine d^équations (lo) appartienne a un 
problénie de dynamique, a été énoncé sans demonstration par Tauteur de 
ce Mémoire, dans une note insérée aux Comptes rendus de l*Académie 
des Sciences le 25 avril 1892. 



CHAPITEE II. 



§ 4. Intégrales d^ or dre supérieur ä detix. Proprtétéa de certaines 

intégraleSf qui förment tme classe séparée. 

Un point parait tres digne d'intérét dans la théorie qui vient d'étre 
exposée: les intégrales quadratiques trouvées förment une classe, dont la 
considération des systémes linéaires associés aux équations de la dyna- 
mique met en évidence les caractéres tout spéciaux. Voici en effet. ce 
qui arrive d'ordinaire, quand les équations de la dynamique admettent 
une intégrale du second degré, 

^^ dxi dxjt 

dififérente de celle des forces vives. 

Le systéme linéaire associé est adjoint an suivant 

et celui-ci posséde, ä cause des relations .(5') § i, une intégrale du second 
degré, 

(2) ^^i.kQi9k = constante, 

mais seulementy lorsqu^on suppose entré les a;< les liaisons définies par les 
équations du mouvementy 

d^Xh — 2 %>\^ldxidxi, d^Xk' — T. pfjdxidxt 
^ ^ dxh dxh' 



/ 



t 



Sur les équatioDS de la dynamique. 271 

Tout autre est le cas étudié; rintégrale (2) appartient alors au systérae 
(i), qudles que soient les liaisons étahlies entré les rr<, si pourtant la fonc- 
tion caractéristique est choisie comme il convient II serait naturel de 
faire, pour les intégrales d'ordre supérieur ä deux, une distinction de 
cette espéce, en sorte qu^on est conduit ä demander quels sont les pro- 
blémes de dynamique ou les problémes plus généraux répondant a des 
équations différentielles de méme aspect, pour lesquels Tun des systémes 
linéaires (i) j)osséde une intégrale d'ordre quelconque », indépendante 
des liaisons établies entré les tr^. La réponse a cette question est donnée 
par Tapplication d'un important théoréme de M. Darboux. 

Soit JR cette intégrale d'ordre », que je suppose entiére et homogéne 
a Tégard des quantités. j^. Qua«d les variables re, sont exprimées en 
fonction de Tune d'entre elles, d'une maniére quelconque mais défini- 
tive, le systéme linéaire (1) ne peut admettre une intégrale, telle que 
R = constante, sans en admettre d'autres, qu^on peut construire. Pour 
le faire voir, représentons par g^/^ , q^^^ , - . • , ?1"*\ nt Solutions distinctes 
des équations (i). Il est aisé de calculer le déterminant ||gf^||, car, en 
tenant compte de (i), sa différentielle est donnée par la formule 



d\\qr\\==Y/^\\\q^!^\\dx,; 



en consequence, 






c désignant une constante ^ arbitraire; d'ailleurs d est une fonction des 
variables a:<, traitées comme indépendantes. D'aprés la méthode de 
M. Darboux, tout covariant de i?, oii les q^ sont prises pour les va- 
riables, multiplié par une puissance convenable de dj donne encore une 
intégrale des équations (i) et cette intégrale est manifestement vraie, 
d' apres la remarque faite sur d, quelles que soient les liaisons établies entré 
les x^, puisqu^il en est ainsi de V intégrale B. 

De méme, tout invariant de cette derniére, multiplié par une certaine 
puissance de <?, doit étre une constante. Comme ce produit ne peut étre 
une intégrale, ne contenant pas les g,, on doit, en égalant a une con- 
stante, trouver une identité satisfaite par les coefficients de Tintégrale R. 
La proposition précédente montre qu'il faut, pour Texamen de la question 
posée, distinguer plusieurs hypothéses. 



372. . . R. Liouville. 

• 

. i^ Xi^intégrale R est d'ordre inlpair: on sait qu'une semblable forme 
admet en general des covariants du premier degré; le systéme (i) posséde 
alors, pour uii choix convenable de la fonction caractéristique, une inte- 
grale linéaire ä Tégard des 5,. Le probléme correspondant est donc Tun 
de ceux auxquels 8'appliqueiit en particulier les méthodes du Chapitre 1/ 

2\ Uintegrale R est d'ordre pair: Elle admet en general deux 
covarlatits quadratiques; le systéme (i) posséde ainsi^ pour un choix con- 
venable de la fonction caractéristique, deux intégrales du second degré 
et, comme conséquence, le probléme associé, qui est toujours un 'probléme 
de dynamique proprement dit,, se confond avec Tun de ceux qui ont été 
examinés. 

3^ L'intégrale B est exceptionnelk : ses covariants, söit linéaires> 
soit quadratiques, s'évanouissent ou bien ne constituent pas åes intégrales 
différentes de R: Ges cas, s'ils' existent, sont les seuls qui puissent donner 
lieu a des recherches nouvelles, analogues ä .celles dont le Chapitre I 
fournit les elements et cependant relatives a des problémes essentielle- 
m^nt . distincts. ■ 



§ 5. Qtielqties solutUms du probléme de la conaervation 

des trajectaires. 

Les problémes de dynamique, susceptibles d'étre transformés sans 
altération des trajectoires, ^ s'obtiennent, d'aprés .ce qui précéde, en ex- 
p;:imant que les relations (ii) § 3 admettent deux solutions. Voici les 
cas les plus simples pour lesquels cette circonstance se présente. 

Considérons une forme quadratique, 

(i) 2m^ = aldxl -{^ aldxl + . ...+ aldxl, 

ou n'entrent que les carrés des différentielles et proposons-^nous de choisir 
pour Äj , . . . , a,«, des expressions telles, 

1° que les identités (12) § 3, construites a Taide de la forme (1), 
soient aussi satisfaites par une seconde forme quadratique, 

2® que cette demiére ne renferme, comjne la précédente, que les 
carrés des différentielles, 

^ Il est d ailleurs possible dobtcnir tous les cas de cette espéce, doonés par une 
formule explicite. 



Sur IcB éqaatioDB de la dyoamiquo. 273 

Or reconnait d'abord que, dans le probléme de dynamique attaché ä 
la forme (i), les coeflFicients b[^l sont déterminés par les formules 

uo _ 3log(«<y) ui) — _ glQg(^<y') ui) __ ?? ^ ^Qg «A 

^'' ~ dx, ' '-' "" dXi ' ^'-^ ~ a\ dXi ' 

(2). 

— i —1 



iW = o, {i-k){k-h){i-h)>o, j. = r*» = (a,«, . . . aj"+', 

en sorte que, pour la seconde forme quadratique, dont Texistence est 
supposée, les fonctions /jjt , /ij, doivent vérifier les relations suivantes 

^{fuaW ^ _ ^12/ ^ log gA 3(/i.iqfatf >*) _ q<g;fcy* ^ 3aA ÄÄÄi^^aa» 

-Ii; 2a, j? Z;..-^^; 2- ^^ + 2aJ,,,ip — — 

(3) 



2a, 3 log a< 

a* 3*» 






(i — Ä;)(i — h)>o, (i — Ä')(* — Ä') ^ ef; 
de plus, Z*,^ = o, des que i n'est pas egal ä A;. Le produit, 

est donc une fonction de la seuie variable a;,, en vertu de la premiére 
équation (3) ; la deuxiéme équation du méine groupe est déjä satisfaite 
et la troisiéme peut se représenter ainsi 



(4) 


:f=^w- 


-«^. 


ce qui exige 







(5) .«j=^nj^,-^v)F,(a-,), . . 

ou bien, apres une transformation évidente, 

(5') «? =cÄ/^* ~ ^*'^- 

Les fonctions ^^ sont arbitrai res, chacune d'elles dépend de la seule va- 

Äeta mathemaiiea. 19. Imprimé le 20 arril 1895. 35 



riabiti T» et le produit Ei'étend ä toutes les combinaisons dans loequelles 
k' est différent de h. Comme d'ailleur8 

les coefficients de la forme quadratique Sci.irfarf, conjuguée de (i), sont 
doDDés par les form u les 



fi(.( = 



^ I («.a, ■ ■ ■ g_) 



fi.i ^,i^t.--^m 4\4-t ■'■^~l^t 



Le probléme de dynamique attaché ä la forme quadratique (i) admet 
m — I intégrales du second degré, conforraément au théoréme general; 
ces intégrales sent distinct^B et comprises dans Téquation suivante 

^'> ^ ^, + c '\dtl 

oh la constante c est arbitraire. Entré ces resultats et ceux qui se 
rapportent ä ud cas bien connu, pour lequel les équations de la dyna- 
miqae admettent aussi m intégrales du second degré, Tanalogie n'est 
qu'apparente; les relations (5') font connaitre en réalité un cas entiére- ■ 
ment nouveau et répondant a des expressions tbut ausei^simples. 



I 0. TranafortnaHan servani å dédul/re, d'une aoluHon eonnue du 

probléme, une nutre solution, pour Inquelle le nombre 

des variablea ent plus grand. 

•le considére le systéme linéaire associé aux équations de la dyna- 
miqne et je conserve les notations déjä employées; je suppose que leg 
jr, gabiwent une Vvariation dxc, z et /*' éprouvent une variation correa- 
MDdiirtte !iz , åz*^ et je pose 

(,) fJz = C, åXt=-X„+„ (?«(*' = f**', 2(*)=^<-+*); 

da ayirtcme linéaire 

(i) df — Zé''dx, = o, rf/" + S^ pi^i^'* dxt = o, 




Sur lc8 équations do la dyoaiuique. 275 

il résulte immédiatement celui-ci 

(3) 

dC' + r U^^iC^dx, + p^lC^-*''>dx„^, + £c*"+*>(rr,»+,, '-^)dx,] = o. 

Or il est de méme espéce que la premier, inais le nombre des variables 
y est double; les équations diflférentielles qui lui sont associées sont 

1° celles qui Tétaient aux équations (2), 

2^ les suivantes 

+ ^dC\p)!!l{dXidx^^t + dx.dx^^) + ^x^^,,.^:^ dx.dxA = o, 

qui peuvent étre regardées corame representant les variations des prerniéres. 
De méme, en posant dqi = y,„+<, on déduit, du systéme adjoint a (2), 

(2') dq, — Y p^;^^,qjx, = o, 

celui-ci 

(3') dq^^, = 52 [P^kÅ^kdx^^t + gm^kdx,) + ^ ^^a^^+A^Arfa?, J, 



(A.*) 



(vT^**^*' 



qui est encore de méme espéce. Je dis que dhaque couple de formes 
quadratiques conjuguées, cest ä dire correspondant aux mémes trajectoires, 
donne le moyen d en construire une autre, ou le nombre des variables 
est double. Pour le montrer, prenons un paramétre quelconque a, de 

sorte que dXi = — rfa. Supposons, de plus, que le probléme de dyna- 

mique associé aux équations (2) corresponde ä .deux formes quadratiques 
conjuguées: le systéme (2') admet une intégrale du second degré, 

(4) Se,.^gjg^ = consitante, 

donnée par la premiére des formes considérées et de laquelle on conclut 

\r^ 'St*.- 

(5) ^e,,t{q,ågt 4- (/t^li) + 2L rr^y-^toX = constante, 



Voilii ^lori^;, pour 1^; HynihuH (5';, une intégrale quadratique. Mais ce qui 
vU'.ui lYHrti ritt de la prerni/frr; forme attachée au probléme de dyoamique 
r,nUnulM'.f |;t'Ut étre dit de »a (x>njuguée, 

(7) JLe^fy/tfjt =5 constante. 

A r<!ff(! d<'rni('M*e (torr(5Hpoiid donc une forme, semblable a (6), 

(K) il <i(y//mt* + 9i'/m^i) + y//i 51 ^~+Air"*l = constante, 



<<*) 



<A) 



^«A J 



i«t conMtitiuirit avec cette derniére une couple de formes conjuguées; c'est 
00 (|ij'il fiSigiHMait dVstablir. On remarquera que la construction des 
forincH (0) et (8) nVxige aticun calcul et qu'uiie moitié des variables 
(«ntrn au premier degri"; dans leurs coefficients. 



I 7. liitfi(frateH vatlonnHleH. I^topriété des équations différentielles 

de nifiiHff aupcet que cellen de la dytiamique. 

\\\v\\ cpu) la remafquo, tron simple, contenue dans ce paragraphe, 
ne H(« riittarhe pns d*une fa^on immcdiate aux questions traitées dans ce 
ehiipitro et den\o\ire on quclquo sorte isolée,' il m'a semblé utile de la 
préHentc»r, aviint de mottro fin h cette étude sommaire des problémes pour 
lt»m|UolH il y u uno intégrale des forces vives. Je suppose donc quil 
HiigiHMo d*étutlier un mouvement pour lequel Tintégrale des forces vives 
oxlste v\ 111 valour do Tonorgio ost une constante donnée. Les notations 
onlin«ireH t^tant udn\isos, soiont Ii ot *S des fonctions homogénes et entiéres 

dos diM*ivoos \ ^, uno intograle nitiounelle, d oii suit que 2? = o, S =0 

>ont dos oquations invariantos» Oonstruisons lo systome linéaire associé 
aux öquations du mouwMuont ot lo systome adjoint 



^,n 




Sur les équations de la dyDamiquo. 277 

On sait, (§ i), que l'on peut remplacer ^ par g^ dans chacune des fonc- 

tions 72 et S et, puisqu'elles donnent des équations invariant^s, il faut 
avoir 

A étant une fonction linéaire des g^. Or, d'apré8 (i), 

(3) ;7r =".?>*'*• ^A^v 



dt (A.*' 



et, si 



(4) A = ZA,g„ 

il en résulte 



(5) H kiT + 11^^P'^-^'9h9h'] = J^S^^y*- 

Je représente par n le degré de i2 a Tégard des g,, de sorte que 



dB 






Grace a cette identité, voici, sous une autre forme, l'équation (5), 
Mais, apres avoir pose 



(6) £ Fy* b + S P^Ä ^ y.?A' — S ^i^A ^ ^1 = ^• 



^A 



Tégalité (6) devient 



(8) ir?.^+I*i'V^^*^v] = 0; 

(T L 3«< (TT) '?« J 

comme conséquence, les équations différentielles associées au systéme 
linéaire 

(9) f/^— p'*'rfa;» = o, <i/'' + r /4't'/*'rfx, = b. 



278 R. Liouville. 

admettent R pour intégrale entiére et hoinogéne; rnais celul-ci n'a plus 
d'une fa9on nécessaire une intégrale du second degré, rien ne prouve 
méme que, sans exception, 

soit une différentielle exacte. 

La conclusion est qu'a chaque problémc de dynaniique possédant 
une intégrale rationnelle, on peut faire correspondre un ensemble d'équa- 
tions dififérentielles, de méme aspeet que les équations de la dynamique 
et possédant une intégrale entiére. • 



CHAPITRE III. 



% 8. Bquatlons générales de la mécaniquef quand V intégrale des 

forces vives n^existe paa, ou, celle-ci ayant lieu, quand la cofistante 

tle l*energie doit rester arMtraire. Sysfémes Unéaires associés. 

JSquations différentieUes de méme aspeet que eélles de la m^eca^ 

nique, Transformations avec conservation des trajeetoires. 

Soit un systéme materiel, soumis a des forces quelconques X,, que 
je. suppose fonctions des seules quantités ^r^ , jc.^ , . . . , x^. Représentons 
encore par 

dxi dxt 



T — ^ V^^ dxidxt 
^ - 2 6r(^''' df df ' 



la demi-somme des forces vives: voici les équations du mouvément, 

auxquelles il est clair quon peut donner la forme 

(2) dXf,dH — dtd'^Xt, + dt.H pfldXidXt, + p^^dt^ = o, 



Sur les équations de la dynamique. 279 

en déterminant les p[^l par les relations déja employées 






et, de plus, les p^ par les suivantes 

(4) S^<-*^* = -^••• 

Considérons un systéme d'équations dififérentielles linéaires, 

dz — Tn^^^dx^ = o, 
(5). '"' (i,fc,Ä<m+0 

d;^''> + Z ^tU^^Hx, = o, 

dans lequel les variables sont rr^ , a?, , . . . , rr« et ir^^i = i, dans lequel 
en outre on suppose 

, ^. 1^1*2+1 - rö""'^ = o, .(o<i<m,o<i'<m,o<Ä'<w+ i), 
(6) 

Äi.m+i = Pa, (o < ä < m), yr+Vi+i = o. 

Les relations (2) dépendent du systéme précédent comme, au § i, les équa- 
tions (4) dépendaient du systéme (2). Nous dirons encore que les équa- 
tions linéaires (5) sont associées aux relations (2). Gette definition n'exige 
nullement, on le voit, quMl y ait une forme quadratique T dont les 
coefficients soient lies aux 2Å'!k P^r les identités (3). Si cette forme n'existe 
pas, les équations associées ä (5) conservent le méme aspect que celles 
de la mécanique, elles sont cependant beaucoup plus générales, car 
1 ^ les pt demeurent des fonctions quelconques de ir^ , rr^ , . . . , rr^ 
2^ les p\^jl ne sont plus assujettis qu'ä ces conditions 

(7) Tpn = -'-^, 

m 

toujours supposées jusqu^k present. 

Elimination faite de la variable a:^+i, il y a, entré les Xi, m — 2 
équations du second ordre, qu'on peut représenter ainsi 



280 



B. Liouville. 



(8) 



{p,dx„ — p^'dx,)(d\ — T pfldXidxA 
+ {PH"dx„ —p^dx,.){d% — Tp'^/:t^dXidxA 
+ {P^dx^' — Ph'dx^\d^!f-k- — J^P^kdXidxA = 



ou, d'une fa9on plus simple, (§ 2), 



(8') 



Pk dx, Ddx^ 
Pk dx^- Ddx^' 



= o; 



il y en a une derniére, d*ordre 3, c'est la suivante 



(9) 



d log [dXt^BdXf, — dXf^DdXf^ 

2 [ Ph DdxH' — Ph' Ddxn] 



= (i log {Phd^h — PhdXn) + 



PhdxH' — ph'dxh 



Les relations (8') et (9) sont ce que j'appellerai les équations des tra- 
jectoires. 

Imaginons qu il existe un second systeine linéaire, (5'), pareil ä (5), 
qui corresponde aux mémes trajectoires et distinguona par un accent 
toutes les quantités qui 8'y rattachent. Soient d'ailleurs 



(10) 



dC = fT-^' dz, dC = 0"*"+^ dz'. 



Si, daps les équations associées aux systémes (5) et (5') on remplace z 
et z', respectivement, par C? C'> elles conservent la méme fonne, mais 
leurs coefficients deviennent 



m =tå + 



I a log (J 



m + I dxt 



^i.* — Pi.k > ^i.i — Pt.i i^ 



alog^ 



m + I dxi 



00 



(i — Ä>o), 



(i — k){k — h)>o, 



{ifh,Jc< m) 



^ik — Pi.k T^ 



I a log å 



m + I dxk 



^t.k Fx.k J ^%,\ Fx.x 1^ 



2 3 log *' . 



m + I 3«^- 



(.2) 



^h — Ph' ^ > ^A — Ph • ^ y 



Sur les équAtioos de U dyDamique. 281 

en sorte que ces deux relations, 

sont vérifiées a la fois, quel que soit Tindice h. J'en déduis d'abord 

(14) jr(6;.'»' - bt^dx.dx, + iiefC" - hdr\ = rfa;,(^^-^') ; 
mais l'une des équations associées au systéme (5) était, d'apré8 (6), 

et Ton en conclut 

—2 

(15) dx„+, = cå^"-'' dC, 

la constante c étant arbitraire; il y a une égalité analogue pour dC- 

Dans l'un des deux problémes conjugués, par exeinple le premier, je puis 

regarder c comrne choisie d'une fa9on définitive, car c*est achever la dé- 

termination de Tinconnue auxiliaire dC- Parmi les relations (14), j'en 

considére trois, qui répondent a des indices dififérents et j'élimine entré 

elles 

.r, dr dK 

"^^ ' d:~~d:' 

Le premier membre de Téquation obtenue est la somme de trois quan- 
tités semblables a celle-ci 

{b',dx,. - K.dxJT{bi<i' - b'^i)dx,dx,-b,dr] 

et s'en déduisant par permutation cireulaire des indices hyh\h!'. On 
voit, en tenant compte de (15), que cette équation est une identité ou 
une intégrale du premier probléme. Elle ne contient pas darbitraire, 
c'est donc une identité. 

Par suite, les rapports 

16) -^ . -^ ^*, 

Ada mathematica. 10. Impriraé le 23 avril 1S05. 3g 



282 R. Liouville. . 

que contient réquation (14), ne dépendent pas de ä, en sorte quon peut 
écrire 



"i.k l>i.t ffi.t 


K fi 


h /? ' 


h /i 



(17) 

Mais, pour rendre cette conséquence bien évidente, il est nécegsaire d'entrer 
dans quelques détails. Dans Tidentité 

(18) {b',dx,. — h',.drjTmf - h'l!:)äXidx, - Kd:''\ + . . . = o, 

je puis annaler dXf,' , dXf^. La proposition devient ainsi manifeste, quand 

Tinégalité suivante 

{i _ }t){k — h) > o 

est vérifiée. Si j'annule ensuite rf%, mais non rfa?,,' , dx,,, j'obtiens les 
conditions 

( 1 9) m - b;^ = iJlV - f>^ = . • . etc. ; 
d'ailleurs on sait que, d'apres (6), 

(20) pn = Xf>i^^ = o. 

(i) (t) 

Il en résulte que les différences (19), dont la somme est nulle, doivent 
toutes s'évanouir. Les termes qui leur correspondraient ne figurent donc 
pas dans Téquation (14) et la proposition énoncée est entiérement établie. 
A cause des égalités (17), inaintenant demon trées, les équations (14) 
se laissent represen ter ainsi 

et, devant avoir lien quel que soit h, olles exigent 

(") < - ;/r = °' 



Sur les équatioDS de la dyDamiquc. 283 

De Téquation {22) on conclut 

(24) * dC=:ad:; 

la constante a est arbitraire et la relation (23) fait connaitre une inté- 
grale quadratique du probléine considéré. Cest ce qui justifie le théoréme 
suivant: 

Quand on peut passer du systéme (2) å un autre semblable, en con- 
servant les trajectoires, il y a pour ce systéme une intégrale quadratique. 

J'ajoute que les quantités 



\L h\h^ Ly^A}. 



sont des invariants de la transformation. 

Le théoréme précédent a été énoncé par M. P. Painlevé, pour le 
oas particulier ou les équations (2) sont celles d'un probléme de méca- 
nique. On voit qu'il 6'applique également aux équations, beaucoup plus 
générales, de inéme aspect. 

11 y a done entré ce théoréme et celui qui a fait Tobjet du § 3 
une différence essentielle et qu'il importe de signaler. Alors que ce dernier, 
d'aprés les considérations méme qui Tönt fait obtenir, caractérisait des 
équations appartenant a un probléme de dynamique, il n'en est nuUe- 
ment ainsi dans le cas actuel. Kexistence d*une forme quadratique 1\ 
dont les coefiPicients soient lies aux p^l^l par les relations (3), impose ä 
ces derniéres fonctions des conditions supplémentaires, qui ne sont point 
exigées pour Texistence d'une couple de systémes (2) correspondant aux 
mémes trajectoires, ni pour celle de V intégrale quadratique (23). 



285 



SUR UNE CLASSE D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 

DU SECOND ORDRE, 
ET SUR LA THÉORIE DES INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES 

PAB 

E. GOURSAT. 

Le but final de ce travail est de faire connaltre une classe d'équa- 
tions aux dérivées partielles du second ordre dont on peut obtenir Tin- 
tégrale générale par Tapplication d*un procédé régulier, qui n'exige que 
Tintégration d'un systéme coraplet. Pour bien faire saisir la suite des 
idées, je suis obligé d'entrer d'abord dans quelques détails sur la théorie 
des caraetéristiques et des intégrales intennédiaires. 

Les principaux resultats de ce Mémoire ont été resumés dans une note 
présentée a TAcadémie des Sciencesl e 19 mai 1891 (Comptes rendus, 
tome 1 12, p. 1 1 17). 



I. 

I. Je vais d'abord rappeler les points principaux de la théorie des 
équations du premier ordre, en me pla9ant au méme point de vue que 
pour celles du second ordre. Etant donnée une équation aux dérivées 
partielles du premier ordre 

(i) i'\^^y , ^jP yg) = o, 

Aota mathåmcUica. 19 Iinpriiné le 23 avril 1895. 



286 E. Goursat. 

proposons-nous de déterminer une surface intégrale passant par une 
courbe donnée C, représentée par les équations 

(2) X = f{t\ y = jr(0, z = iP{t\ 

ou f[t) , fr(^) , ^{t) sont des fonctions analytiques réguliéres du paramétre 
t dans le voisinage de la valeur t^ qui correspond a un point (rr^ ,t/^ , 2^^) 
de cette courbe G. S'il existe une surface intégrale de Téquation (i) 

(3) ' ^ = 't>[x , ?/), 

passant par la courbe C, 0{x,y) étant une fonction analytique réguliére 

dans le voisinage de la valeur x = x^ y y = y^, les coefficients du dé- 

veloppement de 0(x , y) ouj ce qui revient au inéme, les valeurs des 
dérivées successives 



i 



a^-ai/-/^.^, 



o 



pourront se calculer comnie il suit. -Désignons pai* dx j dy , ds les diffé- 
rentielles relatives a un déplacement le long de la courbe C; le long 
de cette courbe, les valeurs des dérivées partielles du premier ordre p 
et g doivent vérifier les deux relations 



(4) 



J'\X y y 1 2 y P y fj) = o, 

dz = pdx + Q(^yy 



qui admettent, en general, un certain noinbre de systérnes de solutions 
comrnunes en p et q. Prenons un de ces systérnes de solutions; il dé- 
termine une développable J, passant par la courbe C, ä laquelle la sur- 
face cherchée, si elle existe, doit etre tangente. Pour calculer les dérivées 
secondes r , 5 , <, nous avons d'une part les deux équations obtenues en 
dififérentiant Téquation (i) par rapport ä a; et a ^ successivement 



(5) 



dF . dF . dF , dF 

dF . dF , dF , dF^ 

dy ^ dz -^ ' dp ' dq ' 



Sur uDe classe d équatioDS auz dérivées partielles. 



287 



d'autre part la relation 



(6) 



dg — pd X — qd y = rdx + 2sdxdy + tdy , 



ou rf'a;, d^y,d^z désignent f"(t)dt\ ^"{t)dt\ f'{t)dt\ On a donc trois 
équntions linéaires en r,s,t, dout le déterininant est, en posant 



X = 






y = 



9F 

9y ' 



p = 



3F 



dp ' 



Q = 



dF 



7 9F 



D = 



dx idxdy dy 



Q 



O 



Q. 



{Qdx — Pdy) 



Supposons que, pour le systéme de solutions adopté des équations (4), 
Qdx — Pdy ne soit pas nul. Les équations (5) et (6) donnent alors 
r , s , t. En différentiant de nouveau les équations (5), on aurait les dé- 
rivées du troisiéme ordre, et ainsi de suite. En general, les (n + i) 
dérivées d'ordre w «ont déterminées par (n+ O équations linéaires dont 
le déterininant est 



D = 



dx' n dx"-' dy "^ ' ^ -'-"-' -'■'' 



dx''-^dy^ ... dy' 



P 

o 



Q 
p 



o 

Q 



• • • 



O 



O 



O 



Q 



Pour trouver la valeur de ce déterminant, multiplions la i^"* colonne 
par (3% la seconde par — Ö"~^P, la 3^*"® par Q''~^F^, etc. et rempla9ons 
la premiére colonne par la somme de toutes les colonnes; il vient 
D = {Qdx — l^dyy. Si donc Qdx — Pdy n'est pas nul, les valeurs de 
toutes les dérivées successives de z par rapport a x et k y pour x = x^^ 
y = yQ sont déterminées sans ambiguUé de proche en proche. Il ne peut 
donc y avoir qu une seule intégrale analytique tangente a la développable 
J le lons de la courbe C. 



288 E. Gonrsat. 

2. Que la serie ainsi obtenue soit convergente, c'est une consé- 
quence du théoréme general de Cauchy. En efifet, supposons que, pour 
t = tQy f\t^) ne soit pas nul; on peut alors résoudre Téquation x = f{t) 
par rapport ä ^, et la courbe C est aussi représentée par Tensemble des 
deux équations 

f^ et ^j étant des fonctions réguliéres pour x = x^. Le changement de 
variables 

donne ensuite 

q=Q, p = P — Qf[{X) + ^[{X), 

et on est ramené ä chercher une intégrale de la nouvelle équation 

s^ = F(x, r+ /;{X) , z + jr,(X) , p— Qf[(X) + ^[(X), q) = o 

qnif pour y = o, se réduise a Z = o. Si la dérivée — n^est pas nulle, 

Téquation précédente peut étre résolue par rapport a Q, et on sait, d^aprés 
les théorémes généraux de Cauchy, qu'il existe une intégrale Z= ;r(X, Y) 
répondant a la question et développable dans le voisinage de X = o, y=o. 
Or on a 

dQ dp'^^^'^ dq dq dxdy ' 

si Qdx — Pdy n'est pas nul, comme on l'a supposé, on au ra donc aussi 

3. Si les équations (4) admettent un systéme de solutions pour 
lequel on ait en méine temps Qdx — Pdy = o, le raisonnement ne s'ap- 
plique plus; les équations qui déterminent les dérivées successives sont 
incompatibles ou indéterminées. Si entré les trois équations 

(i) F{x,y,Zyp,q)^o, 

(4) dz = Tpdx + q dy, 

(7) Qdx — Pdy = o, 
on élirnine j; et g^, 



Sur une olasse déquatioDS auz dérivées partielles. 289 

on est conduit ä une relation 

(8) 0[x,y , z,dx,dy , dz) = o, 

qui définit des courbes gauches dépendant d'nne fonction arbitraire. 

S'il existe une courbe satisfaisant aux trois équations (i), (4), (7), 
sur une surface intégrale représentée par une équation 

m 

ou est une fonction développable en serie entiére, on peut joindre aux 
trois relations (i), (4), (7) deux nouvelles relations. On a, en eflfet, 

X +pZ + Pr + Qs = o, 
Y+qZ+ Ps+ Qt = o, 

dp^rdx-^-sdyy dq = sdX'{'tdy; on en déduit, en tenant corapte de (7), 

. dx dy dz — dp — dq 

W P" "" Q" ~ Pp + Qq "~ X+ pZ ^ Y+qZ' 

Les valeurs de x j y ^ z j p j q déduites des équations (i) et (4) doivent 
donc satisfaire aux équations (9). Tout ceci est bien confornie aux re- 
sultats connus. Les équations (9) définissent les multiplicités caracté- 
riätiques de Téquation (i), chaque multiplicité se composant d'une courbe 
C et d'une développable J passant par cette courbe. On sait qu'il 
existe une infinité de surfaces intégrales tangentes a la développable J 
le long de la courbe C. 

L'cquation (8) définit les courbes gauches qui ont les mémes tan- 
gentes que les courbes caractéristiques, c'e8t-a-dire les courbes intégrales. 
Or, on sait que, par toute courbe intégrale, il passé une surface inté- 
grale admettant cette courbe pour ligne singuliére. 

Avant de quitter les équations du premier ordre, faisons la remarque 

suivante. Etant donnée une courbe C, il peut arriver qu'il passé par 

cette courbe C une infinité de surfaces intégrales forinant un systéme 

continu. Nous entendons par lä que ces surfaces sont représentées par 

une équation 

0(a; , y , ;er , a, , a, , . . . , fl^) = o 

Åeta matKmatiea. 19. Imprimé le 31 mai 1895. 37 



290 



E. Gonrsat. 



dépendant d'un certain noinbre de paramétres qui peuvent värier d'une 
raaniére continue. Cest ce qui aura lieu si la courbe C est une carac- 
téristique. Mais il peut se presenter deux cas. Si Téquation (i) n^est 
pas linéaire en p 6t 9, toutes les surfaces d'un systéme continu passant 
par C sont tangentes le long de C. Il n'en est plus de méme en general 
si Téquation est linéaire. Une distinction analogue, mais plus importante, 
a lieu pour les équations du second ordre. 

4. Prenoiis maintenant une équation du second ordre 



(10) 



F{x,y , ^,p, ?, r,s, <) = o, 



et proposons-nous de déterminer une surface intégrale passant par une 
courbe donnée C et tangente ä une développable å le long de cette 
courbe. En un point de C, x , y ^ z ^ p y q sont des fonctions connues 
d'un paramétre auxiliaire d. Les valeurs de r^s^f en un point de C 
doivent satisfaire a l'équation (10) et aux deux équations 



(>0 



dp = rdx + sdy^ 
dq = sdx + tdy. 



Ces trois équations admettent en general un certain nornbre de systémes 
de Solutions communes en r, 5, /; supposons que, pour le systéme choisi, 
le déterminant fonctionnel des trois premiers membres par rapport a 
r y s f tj c'est-a-dire 



D = 



dx dy o 
o dx dy 
R S T 



= Tdx^ — Sdxdy + Rdy\ 



ou on a pose 



R = 



dF 

är ' 



S = 



dF 
di' 



dt 



ne soit pas nul. On peut alors déterminer sans difficulté les valeurs de 
toutes les dérivées successives de z par rapport a x et a y, en un point 
quelconque de la courbe C. Ainsi, les dérivées partielles d'ordre n seront 
déterminées par (n + O équations linéaires dont le déterminant est 



Sur une olaase d^équstionii aux dérivées partiellcs. 



291 



A = 



dx* nrfa;"-' dy ^^^^^^ ' ^ -'-""» -'-' 



dx''~^dy 



• • • 



dxt 



o 



o dx* 

R S 

o R 



nda^~^dy 
T 
S 



• 


. . ndxdy^"^ 


dy 


o 


• • 


o 


T . 


• • 


o 



o 



• • • 



S 



On vérifie que Ton a D, = {Tdx^ — 8dxdy + Rdy^y-j il suffit évidemment 
de montrer que D^ est divisible par {dx + adyY, a désignant une racine 
de Téquation Ta' + Sa + R = o. Cest ce qu'on voit en multipliant les 
elements de la 2*""* colonne par a, ceux de la s*"* par a^ etc. et ajou- 
tant ensuite aux elements de la premiére colonne. 

On voit donc que, si Tdx^ — Sdxdy + Rdy^ n^est pas nul, il y aura 
une seule intégrale, développable en serie entiére, passant par la courbe 
C et tangente ä la développable J. Pour démontrer que la serie dont 
nous venons d'apprendre a calculer les coefificients est convergente, on 
eflFectue la méme transformation qu'au n° 2, et on est ramené au théoréme 
classique de Cauchy. 

5. Lorsque Tdx'^ — Sdxdy + Rdy^ =^ o^ les équations qui détermi- 
nent les valeurs des dérivées successives peuvent étre incompatibles ou 
indéterminées. Lorsque ce cas se présente, tout le long de la courbe 
C, Xjy^ZyPjq^TySjt vérifient les cinq équations 



(12) 



dz = pdx + qdy, 
dp = rdx + sdy^ 
dq = sdx + td}ff 
Tdx^ — Sdxdy + Rdy^ = o, 



qui contiennent huit fonctions inconnues d'une variable auxiliaire. S'i) 
existe une surface intégrale passant par la courbe C, 

z= (t>{x, y\ 



292 E. Ooursat. 

0{x y y) étant une fonction développable en serie entiére dans le voisinage 
d'un point de C, et telle que, pour cette intégrale, les valeurs de p , qy 
r^Syt vérifient les équations (12) le long de C, on peut ajouter aux 
équations (12) de nouvelles relations. Soient a,^?,/', å les dérivées du 
troisiéine ordre 

^ ~~dx*' P ~ dz*dy ' ^ "■ dxdy* ' "" äp ' 

qui, dans Thypothése oii nous nous pla9ons, auront des valeurs finies. 

On a 

dr = adx + y9rfy, 

ds = pdx + ydy, 

dt = ydx + ddy\ 



on en ti re 








dt 
^ ^ dx 


g dy 

dx 



^ dx ' dx dx dx dx \dx) 



dr 
dx 



B-^-= — — — ^ + — (^y— dl—V' 
^ dx dx dx dx dx \dx) \dx) 



Portons ces valeurs de a , fi , j- dans les relations 

X+ Zp + Pr + Qs + Ra + Sp + 1^ = o, 
Y+Zq + Ps + Qt + Rfi+Sr+Td= o; 

il vient, pour la premiére par exemple, 

+4:(a)-''i|<iv-«s+T]=o, 

et, en tenant compte de la derniére des relations (12), il reste 



Sur unc olasse déquatioDS aux dérivées partielles. 

dx* 



293 



Retnpla9on8 Sdx — Bdy par T-j—; la nouvelle équätion peut 8'écrire 

{X-\- Zp + Pr + Qs)dxdy + Rdydr + Tdsdx = o, 

et on trouve de méme 

{Y + Zq + Ps+ Qt)dxdy + Rdyds + Tdtdx = o. 

Il reste donc 7 équations entré les variables x ,y , z , p , q , r , s , t 

F{x ,y,2,p,q,r,s,t) = o, 
dz = pdx + qdy, 



(U) 



dp = rdx + sdy, 

dq = sdx + tdj/j 
Tdx^ — Sdxdy + Rdy'' = o, 
{X + Zp+ Pr + Qs)dxdy + Rdydr + Tdsdx = 
{Y + Zq + Ps+ Qt)dxdy + Rdyds + Tdtdx = 



o, 



o. 



Les 6 derniéres équations admettent toujours, il est aisé de s^en 
assurer, la combinaison intégrable dF = o. On peut donc négliger la 
relation F = o, et on a 6 équations différentielles pour définir sept des 
variables x ^ y , z , p , q , r , s ^ t en fonction de la derniére; une des fonc- 
tions inconnues peut étre choisie arbitrairement. Kensemble d'un systéme 
de fonctions XyyfZ,p,qyr,s,t d'une seule variable vérifiant les équa- 
tions (13) s'appelle une caractéristique de Téquation (i); ces caractéristiques 
dépendent d'une fonction arbitraire. 

6. Toute surface intégrale de Téquation (10) est un lieu de carac- 
téristiques. Soit en eflfet 

z = 0{Xyy) 

Téquation d'une surface intégrale; pour un point quelconque de cette 
surface z j p j q j r , s , t et, par suite R , S , T sont des fonctions détermi- 
nées des deux variables indépendantes x et y. L'équation différentielle 
du premier ordre et du second degré 

Tdx^ — Sdxdy + Rdy' = o 



294 £. Oonnat. 

définit donc deux famillcs de courbes sur cette surface; par chaque point 
de la surface il passé une courbe et une seule, en general, de chacune 
de ces deux familles. Soit C une de ces courbes; le long de C, x^y 
z 9 p j q y r j s , t sont des fonctions d'une seule variable, x par exemple, 
et il résulte du calcul qui vient d'étre fait que ces fonctions satisfont 
aux équations (13). Toute surface intégrale adraet ainsi un double mode 
de generation par des courbes caractéristiques. 

Il peut arriver que les deux systémes de caractéristiques d'une équa- 
tion dusecond ordre soient confondus; il faut pour cela que Ton ait 

(14) S^ — 4RT=Oy 

soit identiquement, soit en tenant compte de Téquation (10). Gette con- 

dition s'interpréte géométriquement comme il suit. Regardons a:,y,^,^,g 

comme des parainétres, r y s , t comme les coordonnées cartésiennes d'un 

point; Téquation (10) représente alors une certaine surface I. Le plan 

mené par Torigine parallélement ä un plan tangent a cette surface a 

pour équation 

Br + Ss + Tt = o, 

et la relation (14) exprime précisément que ce plan coupe le cone (T) 

représente par Téquation 

s^ — rt = o 

suivant deu;s genera trices confondues. Donc, pour que les deux systémes 
de caractéristiques soient confondus, il faut et il suffit qt^e V équation (10), 
ou Von regarde x , y y z , p , q comme des paramétres et r , s , t comme des 
coordonnées courantes, représente une surface dévétoppable, dont le plan tangent 
est constamment paralléle ä un plan tangent au cone [T)y qui a pour équa- 
tion s^ — rt = o. 

7. Il resterait a examiner si a toute caractéristique, c'est-a-dire a 
tout systéme de solutions des équations (13), correspond une infinité de 
surfaces intégrales ayant un contact du second ordre tout le long de 
la courbe caractéristique. Je laisserai cette question de cöté dans ce 
travail, pour m'occuper d'un probléme tout dififérent. Etant donnée une 
équation du second ordre, cherchons s'il existe des courbes G jouissant 
de la propriété suivante : par la courbe C passent une infinité de surfaces 



Sur nne classe d^équatioDS anx dériyées partielles. 295 

intégrales, formant un systéme continu, SLy nnt un contsi,ct du premier or dre 
seulement le long de cette courbe. S'il en est ainsi, les valeurs de x, 
y j z j p f q seront les mémcs pour toutes ces surfaces le long de la courbe 
C; il faudra donc que les équations 

(lo) F{x ,y,2J,i),g,r,s,/) = o, 



00 



dp = rdx + sdtfj 
dq = sdx -(- tdtfy 



qui déterrainent r ^ s j ty admettent une infinité de systémes de solutions 
formant un systéme continu. Pour résoudre ces trois équations, on peut 
tirer les valeurs de r et de < des deux derniéres, et les porter dans la 
premiére équation, d'ou Ton tirera la valeur de s. En écrivant que 
cette équation se réduit a une identité, on est conduit a un certain nombre 
de relations entré x ^y y z ^ p ^ q y dx j dy ^ dp j dq. Plusieurs cas peuvent 
se presenter: i^ il peut arriver que ces équations soient incompatibles 
(c'est le cas general); 2° il peut arriver que Ton trouve une ou plusieurs 
conditions ne renfermant que x y y y z y p y q\ 3° il peut arriver que les 
équations de condition renferment toutes quelques-unes des dififérentielles 
dx y dy y dp y dq et, dans ce cas, il pourra y avoir deux ou trois relations 
distinctes, car elles sont förcément homogénes en dx y dy y dp y dq. 

Géométriquement, les resultats s'interprétent comine il suit Re- 
gardons encore x y y y z y p y q y dx y dy y dp y dq comme des paramétres et 
r y s y t comme des coordonnées courantes. Les équations (11) représentent 
une droite paralléle a une génératrice du cöne (T); pour que Téquation 
en s obtenue en remplafant r et / par leurs valeurs dans (10) se réduise 
ä une identité, il faut donc que la surface I admette des généra- 
trices rectilignes paralléles aux génératrices du cöne (T). Si la fonction 
F{x ,y,ZyPyqyrySyt) est arbitraire, il est clair que cela n*aura jamais 
lieu, quels que soient les valeurs des paramétres x y y y z y p y q, Cela 
peut aussi arriver si les paramétres x y y y z y p y q vérifient certaines con- 
ditions. Enfin il peut se faire que, quels que soient x , y y z y p , qy la 
surface S admette des génératrices paralléles ä celles du cöne {T). Ge 
cas se subdivise lui-méme en deux autres, suivant que ces génératrices 
förment un systéme continu ou non. Dans le premier cas, il y a deux 



296 E. Goursat. 

relations distinctes entré oc ^ y y z j p, q j dx ^ dy j dp y dq pour que la droite 
represen tée par les équations (ii) appartienne a la surface 2*, qui est 
alors une surface réglée admettant le c6ne {T) pour cöne des directions 
asymptotiques. Si les génératrices rectilignes de 2, paralléles aux généra- 
trices de (T), ne förment pas un systéme continu, les paramétres a;,2^,if, 
p j q ^ dx j dy j dp j dq doivent vérifier trois relations distinctes. 

Pla9ons-nous dans le cas ou Téquation (lo) représente, quels que 
soient x ^y j z j p y q une surface réglée ayant le cöne (T) pour cöne des 
directions asymptotiques. Les équations d'une droite paralléle ä une gé- 
nératrice de (T) peuvent s'écrire 



soient 



r = ms + /Xy 
s = mt -]- )^; 



(i 6) G{XyyyZyPyq;m,fiyp) = Oy G^{XyyjZjPyq;m,/iyp) = o 

les relations qui expriment que cette droite est une génératrice de la 
surface S. Pour identifier les équations (ii) et (15), il suffit de poser 

dy dp da 

rempla9on8 m ^ ju y u par ces valeurs dans les formules (16), nous trouvons 
deux équations, homogénes en dx j dy , dp , dq , 

H{x jy y ZjP,q; dx jdy jdpydq) = Oy 

H^ix jy ,z,Pjq\dXydy ydpydq) = Oy 

qui expriment les conditions nécessaires et suflfisantes pour que les équa- 
tions (10) et (ii) admettent une infinité de solutions en r,s,< formant 
un systéme continu. Soient 

r = ^,{X)y S = <P,{X)y t = ^,{k) 

un systéme de solutions des équations (lo), (ii), (17); ce systéme de 
fonctions forrae une caractéristique. Il suffit de montrer que Ton a 

Tdx' — Sdxdy + Rdy'' = o; 



(17) 



Sar nne olasse d^équations aux dérivées partielles. 297 

• 

or, 81 Ton revient a la representation géométrique einployée plus haut, 
on voit que rfy' , — äxdy^dx^ sont proportionnels aux coefiRcients an- 
gulaires de la génératrice (ii), tandis que JR , S j T sont les coefficients 
directeurs du plan tangent a 1\ et la relation qu'il slagit de vérifier ex- 
prime •simplement que la génératrice est située dans le plan tangent. 

Si on a choisi pour x ^y , z j p ^ q des fonctions d'une seule variable 
vérifiant les équations (17) et la relation 

• 
dz = pdx + qdyj 

on peut encore choisir arbitrairement une des trois dérivées r , 5 , < , de 
sorte que Tindétermination se manifeste dés le second ordre. Ainsi, tandis 
que, pour Téquation générale du second ordre, deux surfaces intégrales 
tangentes le long d'une caractéristique ont un contact du second ordre 
au moins le long de cette caractéristique, pour la classe spéciale d*équa- 
tions qui vient d'étre définie, deux surfaces intégrales peuvent n'avoir 
qu'un contact du premier ordre le long d'une caractéristique. Cette 
distinction est analogue a celle qui a élé faite pour les équations du 
prenlier ordre, mais plus essentielle, car elle se conserve par toute trans; 
formation de contact; 

Pour* abréger, nous désignerons ces deux espéces de caractéristiques 
sous les noms de caractéristiques du premier ordre ou du second ordre 
respectivement. 

8. Ceci nous conduit a une classification des équations aux dérivées 
partielles du second ordre, basée sur la distinction des deux espéces de 
caractéristiques: 

1° les équations générales qui admettent deux systémes différents de 
caractéristiques, tous les deux du second ordre; 

2^ les équations qui, quand on y regarde x , y ^ z j p y q comme des 
parainétres, r y s , t comme les coordonnées courantes, représentent une 
surface réglée, non développable, admettant le cöne (T) pour cöne des di- 
rections asymptotiques. EUes admettent encore deux systémes diflférents 
de caractéristiques, un du premier ordre, un du second ordre; 

3*^ les équations qui, avec les mémes conventions, représentent une 
surface développable, dont le plan tangent reste constamment parallele a 

Aeta mathenuUica. 19. Imprlmé le 6 jiiin 1895. 38 



298 £. Öoursat. 

un plan tangent au cöne (T). Les deux systémes de caräctéristiques sont 
confonduSy et ce systéme unique est du premier ordre; 
4*^ les éqiiations linéaires en r , s jt ^ rt — 5*, 

• A{rt — s^) + Br + Cs + Dt + E = O] 

les surfaces I admettent ici deux systémes de génératrices, en general 
distinets, paralléles aux génératrices de (T). Il y a done deux systémes 
de caräctéristiques, tous les deux du premier ordre. 

On voit le röle particulier que jouent les équations d' Ampere dans 
la théorie générale. Il parait naturel d'étudier, apres celles-la, les équa- 
tions de la seconde et de la troisiéme catégorie. 



II. 

9. Dans ce qui va suivre, il sera question, presque exclusivement, 
des équations qui admettent au moins un systéme de caräctéristiques du 
premier ordre. Rappelons d'abord quelques definitions empruntées a la 
théorie des transformations de contact de M. Sophus Lie. Un element 
{x , y ^ z j p j q) se compose d'un point (;r , y j z) et d'un plan de coeffi- 
cients angulaires p , q 

Z-0 = p{X-x) + q{Y-y), 

passant par ce point. Deux elements infiniment voisins (rr , y , ;? , p , y) et 
{x -\- dx y y + dy , z -}- dz j p -^ dp j q -^ dq) sont unis lorsque le point du 
second element est situé dans le plan du premier, c'est-a-dire lorsque Ton a 

dz = pdx + qdy. 

Une multiplicité M est une multiplicité d^éléments telle que deux ele- 
ments infiniment voisins sont toujours unis. Ces multiplicités peuverxt 
étre a une ou a deux dimensions. Une multiplicité M^ se compose en 
general d'une courbe C et des plans tangents a une certaine développable 
J passant par C; nous dirons quelquefois, pour abréger, que la courbe 



Sur une olasse déquations aax dérivées partielies. 299 

C sert de support ä la multiplicité M^. Comme cas particulier, il peut 
arriver qu'une multiplicité -äf, se compose d'un point et de Tenseinble 
des plans tangents ä un certain cöne ayant son sommet en ce point. 
Une multiplicité M^ se compose, soit d'une surface et de Tensemble de 
ses plans tangents, soit d'une courbe et de Fensemble des plans qui passent 
par une tangente quelconque a cette* courbe, soit d'un point et de Ten- 
semble des plans qui passent par ce point. Il est clair que toute multi- 
plicité -äfj peut étre considérée comme un lieu de multiplicités ilfj, dé- 
pendant d'un paramétre. Mais la réciproque n'est pas vraie. Considérons 
une famille de multiplicités itf, dépendant d'un paramétre A. Lorsque 
A varie, la courbe C qui sert de support ä la multiplicité -äf, engendre 
une surface Sy et la multiplicité M^ composée de Ja surface S et de 
Tensemble de ses plans tangents n'est pas, en general, le lieu des multi- 
plicités Jtfj. Il faut en outre que la développable J qui constitue avec 
la courbe C la multiplicité variable M^ soit tangente a la surface S tout 
le long de C\ Désignons par d les différentielles x ^ y^ z j p ^ q prises 
par rapport au paramétre variable A; il faudra que lon ait aussi 



da = pdx + qåy. 



I o. Soit 



(i8) F{XyyjZ,p,q,r,s,t) = o 

une équation du second ordre qui représente une surface réglée 2', ayant 
ses génératrices paralléles a celles du cöne (T), quand on y regarde 
X j y y z j'P , q comme des paramétres et r , s ^ t comme des coordonnées 
courantes. Gette équation provient de Télimination de m , /i , v entré les 
quatre équations 



(19) 



r =fns + fiy 

G[x j y , z , p , q \ m j [i y)f) = o, 



Rempla9ons m , /i , v par — T~ ^ ^ ^ d ^^^P^^tivement; nous appellerons 



300 



£. öoursat. 



multiplicité .caradéristique de Téquation (i8) toute multiplicité M^ dont 
les elements vérifient les relations 



(20) 



dg ^ pdx + qdy, 



dy dp dq\ 
dx' dx ' dx) 



= O, 






O. 



D^aprés ce qu'on a vu plus haut (n° 7), s'il existe une infinité de sur- 
faces- intégrales, forniant un systéine continu, tangentes a une développable 
J le long d'une courbe C et ayant seulement un contact du premier 
ordre deux a deux, la courbe C et la développable J förment une multi- 
plicité caractéristique. 

L'équation (18) provient de Télimination de m entré les deux équations 



(21) 



G{x ^y j a j p 9 q \fn j r — ms , s -^ mt) = o, 
ö^i(^ y !/ 9 ^ 9 P j 9 '} '^ } '^ — ft^ , s — mt) = o, 

dy 



ou, ce qui revient au inéme, de -^ entré les deux équations 



dx 



(22) 

toute surface intégrale est donc un lieu de multiplicités ilfj, car, pour 
une telle surface, z y p , g y r , s , t sont des fonctions déterminées de x 
et de y, et les deux équations (22) admettent une solution commune 



dy 
en /, 

ax 



(23) 



Tx - ^"^ ' y)' 



Par chaque point de la surface intégrale 5, il passé une courbe C satis- 
faisant a Téquation (23). Quand on se déplace sur cette courbe, y.^Zj 
p y Q 9 r , s j t sont des fonctions de x vérifiant les équations (22) et, par 
suite, les équations (20). Inversement, touté multiplicité ilfj, formée d'une 



Sar uoe olasse -d^équatioDS auz' dérivées partielles. 301 

surface et de ses plans tangents, qui est un lieu de inultiplicités carac- 
téristiques M^y définit une surface intégrale. 

Pour plus de symétrie, écrivons les équations (20) 



(24) 



dz = pdx + qdy ^ 
H{x yy,JSjPyq;dXydyjdpjdg) = o, 
[ H^{x ,y jZyp,q\dx,dy\dpydq) = o, 



H et H^ étant des fonctions homogénes de dx j dy ^ dp , dq. Le probléme 
de rintégration de Téquation du second ordre (18) peut alors étre pose 
ainsi: Trouver toutes les muHiplicités M^, composées de inultiplicités carac- 
téristiques M^, satis faisant aux équations (24). 

II. Gette fa9on d'énoncer le probléme perinet de tenir compte de 
certaines intégrales exceptionnelles, qui ne förment pas de surfaces. Con- 
sidérons, par exemple, Téquation 

(25) .s + f{x,y ,Zyp,q) = 0] 

on a, pour un des systémes de caractéristiques, 

djs = pdx + qdy, dx = o, dp + f{x , y , z , p , q)dy = o, 

équations qui sont satisfaites en prenant 



a? = ^0^ y = '!/oy ^ = ^0^ P = P 



0> 



^0 > ^0 > ^0 > Po ^^^^^ ^^s constantes quelconques. On a donc une famille 
de inultiplicités caractéristiques M^ en prenant un point arbitraire (iCojyo^^^o) 
et Tensemble des plans passant par une droite issue de ce point paralléle 
au plan des xz. Toute multiplicité ilf, formée d'une courbe plane située 
dans un plan paralléle au plan des xz et de ses plans tangents -est é.vi- 
demment formée de inultiplicités M^] c'est donc une intégrale de 1 equa- 
tion (25). De pareilles intégrales ne sont point a négliger, car il suffit 
d'une transformation de contact pour les ramener a des intégrales ordi- 
naires. Ainsi, dans le cas actuel, la transformation de Legendrb 

X = p, Y=q, a; == P, y=Q, Z = px + qy — z 



302 E. Oouraat. 

ai 



ippliquée ä Téquation (25) conduit a la nouvelle équatioji 

(26) S+{S'-RT)f{P,Q,PX+ QY—Z,X, Y) = o, 

T y Q y R y S f T désignant les dérivées partielles du premier et du second 
ordre de Z par rapport a X et a y. Les intégralés M^ -de Téquation 
(25), trouvées plus haut, vérifient Téquation y =^ C; apres la transforma- 
tion de Legendre elles se changent en des intégralés de Téquation Q = C. 
On vérifie en eflfet que toutes les intégralés de Téquation Q ^= C appar- 
tiennent bien a Véquation (26), Or Téquation Q = C admet pour inté- 
gralés de véritables surfaces. 

12. Regardons^ dans les équations (24) x y if ^ z y p y q comme des 
paramétres et dx , dy y dp y dq comme les coordonnées homogénes d'un 
point. Les relations H = o, H^ = o, représentent une courbe gauche F. 
Quand on e£Fectue sur l'équatioD proposée une transformation de contact 

X = X{x',y',z',p',q'), 
!/ = Y{x-,y-,z',p',q'), ' 

^ = Z(a;',y',^',p',y'). 
p = P{x',y',z',p',q'), 

q = Q{x',y',z',p', ?'). 
on a pour dx y dy y dp y dq des expressions linéaires en dx\ dy' ydp* y dq'y 

ax , . . ax , . . ax . . , . . . , .v . az , , . aX 



dx 



= iJ ^^' + Vy ^^' + Vz (^'''^' + ^^y"> + ap' ^^' + Ti ^'' 



et la courbe /"', correspondante a la nouvelle équation, se déduit de la 
courbe F par une transformation homographique. 

Lorsque la courbe /' est une ligne droite, les équations (24) sont 
Knéaires en dx , dy y dp j dq et Téquation correspondante est linéaire en 
Y y s y t y rt — s^ . Supposons, par exemple, que des équations (24) on ne 
puisse déduire aucune combinaison linéaire, ne renfermant ni rfp, ni dq; 
les équations (24) peuvent alors étre résolues par rapport a dp et rfy, 



(2 7) 



Sur unc classe d^équatiogs atix dérivées partielies. 303 

dp + ^dx + Bdy = o, 
dq + Cdx + Ddy = o. 



dy 
En rempla9ant dp et rfg' par rdx + sdy, sdx + tdy et éliminant ^, on 



est conduit ä léquation 

(r + Ä){t + D) — {s + B){s + 60 = o, . 
ou 

(28) rt — s^ + At + Dr — {B + qs + AD — BC = o. 

Inverseinent, toute équation linéaire en rt — s^, r , s j t peut se mettre 
8OU8 la forme (28), pourvu que le coefficient de rt — s^ ne soit pas nul. 
Gette équation étant symétrique en B et C, le second systeme de carac- 
téristiques s'obtient en permutant B et C dans les équations (27). Con- 
formément a la théorie générale, ces deux systémes de caractéristiques 
sont confondus si B = Cj c'est-a-dire si Téquation (28) représenté un c6ne 
ayant ses génératrices paralléles au cdne (T). 

Lorsque les équations (24), linéaires en dx j dy , dp j dq, ne peuvent 
étre résolues par rapport a dp et rfg, Téquation (28) correspondante est 
linéaire en r^Sjt et ne contient pas r< — s^. Inversement, a toute équation 

Er + 2Fs + Gt + 'h = o 

correspondent deux systémes de caractéristiques que Ton déduit des deux 

relations 

Edpdy + Gdqdx + Hdxdy = p, 

Edy^ — 2Fdxdy + Gdx^ = o. 

Si les équations des caractéristiques sont linéaires en dXy dy , dp^dq, eWes 
restent linéaires apres une transformation de contact quelconque. D'ou 
Ton conclut cette propriété remarquable et bien connue, que les équa- 
tions du second ordre linéaires en r , s j t ^ rt — s^ restent linéaires apres 
une transformation de contact. . . 

13. Les considérations qui précédent permettent. de retrouver d'une 
fa^on presque intuitive un certain , nombre de resultats connus. Conr- 
sidérons une famille de surfaces S dépendant de 3 paramétres ayb,Cj 

(P(rr,y, ^, a, &, c) =0; 



304 



£. Ooursat. 



si on établit entré ces trois paramétres deux relations de forme arbitraire 
b = f{a)j c = ^(a), la famille de surfaces ä un paramétre 

admet une surface enveloppe E. Toutes ces surfaces E vérifient, quelles 
que soient les fonctions /^(«) , j^(a), une méme équation aux dérivées par- 
tielies du second ordre. En efifet, la courbe de contact de la surface S 
avec son enveloppe est représentée par les deux équations 



(29) 



90 , 90 ... . . 90 „ . 



et les valeurs de ^ et de g le long de cette courbe sont données par les 
deux équations 



(30) 



9^ 9^ 

— A ö' = o. 

i ay ' a« ^ 



Si on regarde, dans ces relations, a, /"(a) , j^(a) , /"'(a) , ^'(a) comme don- 
nées, on a une famille de multiplicités M^ dépéndant de 5 paramétres, 
et il est clair que toute surface enveloppe E est un lieu de multiplicités 
itfj. Il nous sufiPit donc de démontrer que toutes ces multiplicités Jlf, 
satisfont ä deux relations de la forme (22). Soient, d'une maniére générale, 



(30 



z = f^{x 
9 = fÅ^ 



ttj , »2 , . . . , a^), 
»j , a, , . . . , Äg), 
a, , »j , . . . , a^) 



les équations d'une famille de multiplicités Jtf ^ ä 5 paramétres, apa,,...,»^ 
Si, entré les 4 équations (31) et les quatre équations 

dy = f[{x)dx, dz = f'^{x)dxy dp = f^[x)dx^ dq = f'^{x)dx. 



on élimine les cinq paramétres a<, il reste trois relations entré x^y , e^p, g, 



Sur une olasse déquations aux dérivées partielles. 



305 



dXydy ,dz y dq,dp. L'une de ces relations est précisément dz =pdx + qdyj 
et il reste deux autres équations distinctes de celles-Iä. 

Dans le oas actuel, on peut effectuer le calcul comme il suit Des 
équations (29) et (30) on déduit 

ii 'l^ + i; *J + ^ ''"■ °- 






3^ 

ä7 



dq = o; 



imaginons qu'on tire a , f{a) , ^(a) des équations 



= Oj 



d0 , d(l> 
h p — = o, 



d0 , d(l> 

dy ^ ^ dz ' 



et qu'on les porte dans les précédentes, il reste 



dz — pdx — qdy = o, 









d*0 



+ P 






9z' 



dx-\- 






3x9 y " 9i/9z 9x9z 



9*0 



dxdl/ 

d'0 



dydz 



dxdz 



dz' 



dy=o, 



dx + 



— T + 2 q H r ^ 



rfé/= 



o. 



On a deux équations de la forme 



dp = Adx + Bdy, 
dq = Bdx + Ddy, 

ce qui conduit (n*^ 12) a une équation linéaire en rt — s^yTySjt, pour 
laquelle les deux systémes de caractéristiques sont confondus. Les équa- 
tions ainsi obtenues sont, comme on sait, caractérisées par ce fait que 
les équations des caractéristiques admettent trois combinaisons intégrables. 
De méme, si on a un coniplexe de courbes 

f{x,y,z,aybyc) = o, 



^{Xyy,Zjayb,c) = o, 

Äeta mathétnatiea. 19. Iraprinié le 5 Juia 1895. 



39 



306 E. Goursat. 

les surfaces obtenues en associant les courbes de ce complexe suivant 
une loi quelconque satisfont ä une équation linéaire en r , 5 , <. On 
passé d'ailleurs de ce- oas au précédent par une transformation de contact. 

14. Voici un autre exemple qui généralise Téquation des surfaces 
minima. Soient deux familles de courbes G et C^ définies comme il suit: 
les tangentes aux courbes C sont paralléles aux génératrices d'un certain 
c6ne ou, ce qui revient au méme, ces courbes satisfont a une équation 

de la forme 

f{dx , dy , dz) = o, 

ne contenant pas x y y , z. De méme les courbes de la seconde famille 
satisfont a une relation de méme forme 

^{dx , dy , dz) = o, 

qui peut étre identique a la premiére. Soit C une courbe de la premiera 
famille, C^ uné courbe de la seconde. Joignons un point quelconque m 
de la courbe C ä un point quelconque m^ de la courbe C^; le milieu 
P de la droite mm^ décrit une surface S. Lorsque le point m reste fixe, 
Wj décrivant la courbe C^ , le point P décrit une courbe JTj homothétique 
ä Cj', de méme, lorsque m décrit la courbe C, m^ restant fixe, le point 
P décrit une courbe F homothétique k C. Le long de la courbe F le 
plan tangent a la surface S est un cylindre ayant ses génératrices pa- 
ralléles a la tangente au point w^ a la courbe C^. Considérons les mul- 
tiplicités -Mj formées d'une courbe F satisfaisant ä Téquation 

f{dx y dy y dz) = o 

et des plans tangents a un cylindre passant par F et ayant ses généra- 
trices paralléles a une tangente de la courbe C^. L'intersection de deux 
plans tangents infiniment voisins 

Z-z = p[X-x) + q{Y — y\ 
{X — x)dp + {Y — y)dq = o, 

a pour paramétres directeurs dq j — dp , pdq — qdp. Les multiplicités 
JI/j vérifient donc les 3 relations 



on en tire 



Sur uoe classe déquations auz dérivées partielles. 307 

dz = pdx + qdy, 

f{dx , dy , dz) = o, 

^{dq , — dp y pdq — qdp) = o; 

dy + A{p , g)(lx = o, 
(fp + B{jJ, q)dq = o. 

Rempla9ons rfjp par rrfa; + ^dyy dq par ^rfa; + ^% ^t éliminons ^; on 
est conduit ä une équation linéaire en r , 5 , < 

(32) E{p , q)r + 2F(2? , q)s + (?(i> , q)t = o, 

dont les coeftlcients ne dépendent que de jp et de g, ä laquelle satisfont 
toutes les surfaces S. 

Inversement, pour qu une équation de la forme (32) puisse étre inté- 
grée par la méthode précédente, il faut et il suffit qu'on puisse éliminer 
p et q entré les deux équations 

dz = pdx + qdy, 
Edy^ — iFdxdy + Gdx^ = o, 

qui conviennent aux caractéristiques. 



III. 

15. Etant donnée une équation du second ordre {E\ on appelle 
intégrale intermédiaire toute équation du premier ordre 

(33) V{XyyyZ,pyq) = o 

dont toutes les intégrales, sauf peut-étre quelques intégrales exception- 
nelles, appartiennent a Téquation du second ordre proposée. Considérons 



308 E. Gouisat. 

une multiplicité canictéristique M^ de Téquation (33); il existe, comme 
on sait, une infiriité dMntégrales de Féquation (33) passant par la multi- 
plicité M^, ou, d^une fa9on plus precise, une infinité de surfaces inté- 
grales de Téquation (33), fonnant des systémes continus, passant par la 
courbe caractéristique C et ayant entré elles un contact du premier ordre 
seuleincnt tout le long de G, L*équation du second ordre E doit donc 
appartenir a la catégorie particuliére des équations du second ordre dont 
il a eté question au n° 7; ce qui nolis montre déja qu'une équation du 
second ordre, prise arbitrairement, n'admet pas d'intégrale intermédiaire. 
Soit donc {E) une équation du second ordre, admettant des .multi- 
plicités caractéristiques du premier ordre. Ces multiplicités caractéristiques 
doivent vérifier un certain nombre de relations 

(34) H^{x ,ij , z , p , q ; dx , dt/ , dp , dq) =^ o, //, = o, 



• • • 



homogénes en dx,dy,dpjdq. D'autre part, les multiplicités caractéri* 
stiques de Téquation (33) satisfont aux équations connues 

(35) 



dx dl/ — dp 


- 'i'i . 


dV dV dV dV 
— — — + p — 

dp dq d« dz 


~9K aK ' 



rempla9ons dans les équations (34), dx j dy , dp , dq par les quantités pro- 
portionnelles tirées des équations (35), et nous sommes conduits ä un 

dV dV dV dV dV 

certain nombre d'équations de condition homogénes en — , — , — , — jr—, 

dx djf dz dp dq 

, ,. „ / dV dV dV iV aK\ ^ 

(36) K,(x,,!/,z,i>,g;.^^,—, — ,—,-) = o, K, = o, .... 

La recherche des intégrales intermédiaires est donc ramenée a la recherche 
des fonctions V{x , y , z y p y q) qui satisfont a un systéme d^équations si- 
multanées du premier ordre. 

16. On arrive aisément au méme resultat par un calcul direct. 
Soit 

(37) F{x,yyZ , p^q ,r,Syt) = o 

une équation du second ordre, dont V=o est une intégrale intermédiaire. 
De Féquation V= o, on tire 



(38) 



Sur uDe claspe déquatioDS auz dérivées partielles. 309 

h(7 s H 1 =o; 



81 on pouvait résoudre les équations (37) et (38) par rapport a r, 5, i, 
réquation (37) ne pourrait admettre toutes les intégrales de F=o, car 
on aurait r , s , < et, par suite, toutes les dérivées d'ordre supérieur, ex- 
primées au moyen de x^y , Zyp^q. Les intégrales de F=o, qui appar- 
tiennent a Téquation (37), dépendraient de cinq constantes arbitraires au 
plus. Il faudra donc quen tirant r et ^ des équations (38) et portant 
ces valeurs dans Téquation (37), le resultat soit indépendant de s. En 
poursuivant le raisonnement, on est conduit, il est facile de le voir, aux 
mémes resultats que par la premiére méthode, 

Considérons en particulier les équations (37) qui admettent des inté- 
grales interinédiaires, dépendant de deux paramétres essentiels a, b, 

(39) V{x , 1/ , z , p , g , a , b) = o\ 

réquation (37) doit résulter de rélimination de a et 6 entrc les trois 
relations (39) et (40) 



(40) 



ar . aF . aF , dV 

dx ' ^a« ' dj) * dq ' 

dV , aK , aF . dV 

[- q \' s [-t — =0. 

l a// * ^ dz * d^f dq 



Si on regarde dans ces derniéres, x ^ y , z , p , q cornme des constantes 
données qudconqueSf et r j s , t cornuie des coordonnées courantes, elles 
représentent une droite paralléje ä une génératrice du c6ne (T) 

rt — 5* = o. 

L'équation (37) doit donc représenter une surface réglée (2') dont les 
génératrices sont paralléles a celles du cöne (T), quelles que soient les 
valeurs, supposées constantes, de x , y 9 z , p y q. 

Inversement, étant donnée une équation {E) de cette espéce, elle 



310 E. Goursat. 

adinet un systéinc de multiplicités caractéristiques du premier ordre dé- 
fini par deux équations horaogénes en dx y dy y dp ^ dq 

n{X y y , Z y P y q ] dX y dy y dp j dg) = Oy 

H^{^ yy j z,p y g] dx, dy ydp ydq) = 0'y 

pour obtenir les relations auxquelles doit satisfaire tme intégrale intermédiaire 
F, il mffit d'y remplacer dx y dy , dp y dg par ^ » ^ » — (^ + /^^) » 

— ( }- g — j respectivement. Il résulte des développements du n° lo 

que cette régle peut ^tre remplacée par la suivante: soient 



^{^yyyZyPyg-y k,fi,U,p) = Oy (p{XyyyZyPyg'yXyiiyVyp) = o 

les conditions, hamogénes en A , /i , v , /? , pour gue la droite 

^ + fir + i^s = o, 
p + /is -j- ut = o 

soit une generat rice de la surface {!) représentée par Véguation {E). On 
remplace dans ces éguations ;,/?,/!, v par — + p— , — + g— > ^ » ^ 
respectivement. 

17. Les équations auxquelles on est conduit sont homogénes par 

rapport a — , — , ^^-- + p— , — + j — . Si lequation a la forme 

d* Ampere, les équations qui détenninent V sont UnéaireSy et si on connait 
deux intégrales intermédiaires Fj , F^, on en déduit une intégrale dé- 
pendant d'une fonction arbitrairé f?(Fj , F^) = o. De méme, dans le cas 
general, si on connait une intégrale intermédiaire dépendant de deux 
constantes arbitraires a y by 

BouR a déja remarqué que Ton pouvait en déduire une intégrale inter- 
médiaire dépendant d'uTie fonction arbitrairé, par la méthode de la va- 



312 E. Gonraat 

^' jV' y ^' i P' i 9' désignant les dérivées par rapport ä X. En éliininant X 
entré les équations (42) et F = o, on est conduit å une équation 

0{a,(p{a)) = 

qui détermine la fonction inconnue j^(«).' 

18. Appliquons cc qui précéde a quelques exemples. Considérons 
d'abord Téquation élémentaire 

5 = 0, 

et proposons-nous de déterminer une intégrale de cette équation passant 
par une courbe C et ayant un plan tangent donné tout le long de cette 
courbe. Soient 



' Qaand 00 élimine Å eotre les dcux dquations (40> ^° ^^^ coDduit It qdo équation 
du premier ordre pour détermioer jp(a) 

(e) R(a,^{a),^'(a)) = 0. 

Il semblo donc qae Ton devrait trouver nne iDfioité de foDetions ^(a) rdpondant k la 
questioD. Pour expliquer cette appareote eoDtradictioD, imagiDODs qu^on ait remplacé 
^ » y 9 ^ -> P 9 9 ®o fonction de Å et soit V{x ,y,z,p,q,a,b)=^ U{Å , a , b), hes 
équations (41) deviennent 

(41') U{X , a , f(a)) = 0, ?^ + ^^ ,p\a) = O. 

et la question revient å déterminer f>(a) de telle sorte que les équations (41 ) aient une 
solution commune en a, quelle que soit la valeur de X. Or, si on remplace X par une 
constante arbitraire X^^ la fonction (p{a) définie par Téquation 

V [K > « ' f («)) = o 

dU dU . 

répond k la question, car on a aussi - — + -—7-; ^ (a) = O. On a ainsi Tintégrale gé- 

da 3f'(^) o ^ 

nérale de Téquation (e), mais il y a aussi une intégrale singuliére qu^on obtient en éli- 
minant X entré les deuz équations 

TT ^U 

cest cette intégrale qui donne la véritable solution du probléme proposé. 



Sur unc classc déquations anx ddrivées partielics. 313 

les valeurs de x ^y ^ z y p ^ q le long de C. L'équation 5 = admet 
rintégrale interraédiaire 

P = X{x)y 

X{x) désignant une fonction arbitraire de x; cette fonction est déterminée 
par Véquation de condition 

X étant ainsi déterminée, on a pour Tintégrale cherchée 

e = fX{x)dx + n{y) 
ou, en posant x = /",(<?), 

La fonction n{y) est déterminée par les conditions initiales, niais, pour 
plus de symétrie, on peut se servir de la seconde intégrale intermédiaire 
q = Y{y)j et on trouve que Tintégrale cherchée est représentée par le sy- 
stéme des trois équations: 

y = /»(0> 

^ = f<P.W\{e)dd + /V,(r)A(T)rfr, 

O o 

et T désignant deux variables auxiliaires. Pour ö = r = A, les va- 
riables x , y y z , p y q ont bien les valeurs données. 

Uéquation 

f,{X) = X{f,iX)) 

ne détermine plus la fonction X lorsque /i(A) se réduit a une constante 
Xq] si ^i(A) ne se réduit pas aussi ä une constante, le problérae est im- 
possible. Mais, si fi(A) est constant aussi, le probléme est indéterminé, 
conforméraent a la théorie des caractéristiques. 

19. Soit, d'une maniére générale^ 

s + ap + bq -{- cz = o 

Aeta mathematica. 19. Tmpriin^ le 6 Juin 1895. 40 



314 E. Goursat. 



une équation pour laquelle un des invariants ä et Ä est nul. Si on a, 
par exemple, 



7i = [- ab — c = o, 

dX 



Téquation peut s'écrire 



é CäJ + "') + KiJ + "') = °' 



elle admet Tintégrale intermédiaire 

(43) -+az= Ye ^ , 

Y étant une fonction arbitraire de y. Gette fonction Y est déterminée, 
si on se donne une courbe C par laquelle doit passer la surface cherchée, 
ainsi que le plan tangent le long de cette courbe, et IMntégration de 
réquation Unéaire (43) s'achévera par des quadratures. 
En general, toutes les fois qu'une équation linéaire 

(44) 5 + «i^ + ^3' + ^-2? = o 

est intégrable par la niéthode de Laplace, le probléme de déterminer 
une surface intégrale passant par une courbe donnée et tangente ä une 
développable donnée le long de cette courbe se raméne å des quadratures. 
Supposons en effet qu'une surface S, satisfaisant a Téquation (44), doive 
passer par une courbe (7, le long de laquelle of^^y , z^p , q sont des fone- 
tions connues" d'un paramétre A. Si Ä n'est pas nul, quand on fait la trans- 
formation de Laplace 

^^ I 
^1 = 3 - + <^^. 

ä la courbe G correspond une courbe C^ ; coinnie Téquation proposée peut 
8*écrire 

S + *'• = '"' 

on connaltra la valeur de — ^ le long de la courbe C7 , et on aura ensuite 

vX 
dz 

— ^ au moyen de la relation 



»2/ 



dz, = --' dx A du. 

^ dx dlj -^ 



Sur uue classc d öquations aux dérivoes particlles. 



315 



On sera donc ramené a chercher une Intégrale S^ de la nouvelle équa- 
tion passant par la courbe 6\ et ayant un plan tangent connu le long 
de cette courbe. Si la serie de Laplace se termine dans un scns, on 
n'aura donc en définitive que des quadratures ä effectuer. 



20. L'équation 



(45) 



s = f{t,x,y ,Zyp ,q) 



représente, quand on regarde r , s y t comme des coordonnées courantes, 

un cylindre ayant ses génératrices paralléles a la droite r = o, 5 = 0. 

Pour que la droite 

A + /ir + j/5 = o, 

p -{- fJLS -]- vt = o 

soit une génératrice de cette surface, il faut que Ton ait 

/i = o, - + ^\ y y ^ y y ^ ^ y P ^ 9) =^ ^' 

Donc toute intégrale intermédiaire V de Téquation (45) doit satisfaire 
aux deux équations 



dV_ 



= o, 



dV dV dV 
dx ^ ^ dz dq ' 



aF 

3.V 


+ q 


9z 




dV 





y^> y y ^jP^Q 



dq 



= O. 



La premiére de ces deux relations montre que V ne doit par contenir p; 
on voit ensuite, en tenant compte de la seconde, que f{t ^ x ^y ^ z j p ^ q) 
doit étre une fonction linéaire de p 

f{t , X , y y z , p , q) = ^{x , y , z , g , t) + p<p{x ,y ,z ,q,t\ 

et la fonction V{x , y , z ^ q) doit satisfaire aux deux équations 



dV . dV 



dx 



+ ^n ^yyj^y^j — 



^ + ^^1 ^^y^'^9^ 



3y 


+ 9 


a7 

t 

dz 




aK 






dq 




dV 

3.'/ 


+ i 


dV 
dz 



= o, 



a7 



= o. 



31(3 E. Goursat. 

De Téquation V{x , y , z j g) = o imaginons qu'on ait tiré g = X{x,y jz)\ 
la fonction A doit satisfaire aux deux relations 



(46) 



ra/ / . a/ , . a/ \ 
P j y j ^ j A , -- + A — - ) = o. 



Pour qu'il existe une intégrale intermédiaire dépendant d'une fonction 
arbitraire, les deux équations (46) doivent former un systéme en involu- 
tion. Gest ce qui a lieu dans les deux oas particuliers suivants: 

1° 0=0, -^ = o; 

^ ' a-? ' 
2° £^ = o, -i- = o. 

^ ' aj; 

Dans le premier oas, Téquation proposée est de la forme 

elle admet toutes les intégrales de Téquation du premier ordre g = A(:c,y), 
pourvu que A vérifie Iji relation 



n 

dx 



— ^(x,yyÅ,^—^ = o. 



Dans le second oas, Téquation est de la forme * 

s — P<p(!/ j z . g ,i) = o; 

elle admet toutes les intégrales de Tequation du premier ordre g = A(y,^), 
A étant déterminé par Téquation 



a; , / , a>i , , aA \ 



* DaDS UDC notc récentc (Comptes reodus, t. 1 18, p. I188), M. B£UD0N a étö 
oonduit k la méme tuéthodo pour intégrer les équations 8 — V^iV -^^ -iS ^ O ^^t P^^ ^^ ^^^' 
sidération des groupes iufinis de trausformatioDS. Les équations 8 — ^^'^(^ > ^ , ^) = O, 
étudiées aussi par M. Beudon, se raménent k la forme précédeote en prenant pour nouvelle 

dz . , 

inconnue u = — . Cette transformation s applique k toutes les équations qui ne contien- 
nent ni p, ni r, et k cellcs qui ne conticnncnt ni z^ ni r. 



Sur uoe classe d équation.s aux dérivées partielics. 317 

2 1. Il convient, pour terminer ces généralités sur les intégrales 
intermédiaires, de faire encore les remarques suivantes. 

Lorsqu*une équation du second ordre ne représente pas une surface 
réglée (2') ayant le cöne {T) pour cöne des directions asyniptotiques, elle 
ne peut admettre d^intégrale intermédiaire dépendant de dmx constantes 
arbitraires (n° 1 6). Mais elle peut admettre des intégrales intermédiaires 
dépendant d!une constante arbitraire. Par exemple, Téquation r^ — st = o 
admet Tintégrale intermédiaire p — a = o. On les obtiendra toujours 
par rapplication de la méthode générale. 

Si une équation du second ordre admet une intégrale intermédiaire, 
ne dépendant d*aucune constante arbitraire, F= o, les équations homogénes 

en — , — , — , — , r— j auxquelles doit satisfairc la fonction V. ne 

dX dy dZ dp dq ^ ' 

doivent étre vérifiées qu'en tenant compte de la relation V = o. Pour 
lever la diflficulté, on peut imaginer qu'on ait tiré de cette équation une 
des variables en fonction des autres, par exemple Q = Å{Xfy , z ,p). Les 
équations en V donnent des équations pour déterminer la fonction in- 
connue Å. 



IV. 

2 2. Nous allons maintenant étudier en particulier les équations {E) 
du second ordre jouissant des propriétés suivantes: Considérée comme une 
équation en r^Sjt, Téquation [E) représente une surface réglée {!) 
ayant ses génératrices paralléles ä celles du cöne (T); de plus, les deux 

dV dV dV dV dV 

équations homogénes en r— > r— , r— , r— ? i— , auxquelles doit satisfaire 

0X qIJ qZ op qQ 

toute intégrale intermédiaire V, förment un systcme en involution. 
Soient 

(47) F{x,ij , z,p,(j , r,s,f) = o 

réquation considérée et 

H{x ,y,z,p,q',(Ix,di/, dp , dq) = o, 

(48) 

Ui{x,y,z,p,q;dx,dy.,(fp,dq) = o 



318 E. Goursat. 

les équations défiriissant les rnultiplicités caractéristiques M^. Oii peut 
toujours supposer, sans restroindre la gériéralité, que les équations (48) 
peuvent étre résolues par rapport a dp et dg. En effet, s'il n'en est pas 
ainsi, on peut éliniiner dj) et dq entré ces deux équations, et on obtient 
une relation 

G{x , !/ , z . pyfj jdx, dy) = o, 

iVoii on tirera soit dx, soit dy. Supposons qu'on en tire dXy par exeinple; 
les équations (48) pourront étre remplacées par deux équations de la 
forine suivante 

K{x , y , 2 , p , q ] dp , dq , dy) ^ o, 
dx + P{x , y , z,p, q)dy = o. 

De la preuiiére équation on tirera soit dq, soit dy, ä inoins que cette 
équation ne se réduise a dp = o. S'il en est ainsi, on tirera alors dy de 
la seconde, a inoins que P ne soit nul. Done, en laissant de coté Téqua- 
tion 5 = dont nous iravons pas a nous oceuper, les équations (48) 
peuvent toujours étre résolues par rapport a Tun des couples de diffé- 
rentielles ci-dessous 

{dp , dq) , {dp , dy) , {dq , dx) , {dx , dy). 

On raméne les trois derniers cas*au premier par Tune des transforma- 
tions de contact, dues ä Ampkre et a Legbndhe, 

x= X, y=Q, p = l\ q = -Y, z=^-QY+Z, 
x = —F, //=r, p^X, q= Q, z = — PX+Z, 

x=. P, y=Q, p = X, (/= r, z= PX+QY—Z. 

Les équations différentielles des caractéristiques étant résolues par rapport 
a dp et dq, il en résulte que les équations auxquelles doit satisfaire 

dV dV 

rintégrale intermédiaire V seront résolues par rapport a \-p — , 



dx * dz 



dV dV 

\- q -' Elles pourront dono s'écrire 

dy ^ ^ dz ^ 



Sur unc classe d équationfi aus dérivécH particllc«. 



319 



(49) 






dV 



dz 



dV 



d]J dq 

dV dV 



I a,/ +^aT = ^i^'^'"'^'^'a,> ^ ^q 



dV dV 



f et ^ étant des fonctions homogénes et du premier degré de 

Prenons d'abord le cas oii les fonctions f et ^ sont linéaires en 

dV dV 

— , — ; les équations (49) ont la forrae 



(50) 



dx ^^dz dp dq ' 



dV , dV 

+ q 



l dy 



dz 



C D — == o, 

dp dq 



A y B y C j D étant des fonctions de x , y , g y p y q, et Téquation du second 
ordre correspondante est 

rt — s' + At + Dr — (fi + C)s — BO + AD = o. 

En appliquant la méthode générale, on trouve que toute intégrale com- 
mune aux deux équations (50) doit vérifier la nouvelle équation 



(C-/?)?i^ + 



dz 



dA dC , dÄ dC ^ .dC .,dA , ^dC ^.dA 
h (7i P^ — }- A- C \- B D — 

av dx ^ dz ^ dz ^ dp dp ' dq dq 



aF 

dp 



+ 



dB dB , dB 

dy dx * ^ dz 



dB . .dB .^dB . ^dB j.dB 

p ^ A C \- B D — 

-^^- • a^ dp * dq dq 



dz 



dV 

dq 



= O, 



qui doit se réduire a une identité si le systéme (50) est en involution. 
On trouve en particulier la condition B = C, ce qui montre que les 
équations (50) ne förment un systéme en involution que si les deux 
systémes de caractéristiques de Téquation du second ordre sont confondus. 
Supposons remplies les conditions précédentes. Les équations (50) 
ont trois intégrales communes distinctes u,VyW; en tenant compte de la 
relation B = C, on vérifie sans peine que Ton a 

[a , v] = o, [u j w] = o, [v , w] = o, 

le crochet [u , v] ayant le sens habituel 

r T dtl /dV , dv\ dV (d\l , du\ , du /dV , dv\ dV fdu , du\ 



320 



E. Goursat. 



Uéquation du second ordre admet Tintégrale iiitermédiaire 

tv .= F{u , v\ 

dépendant d'une fonction arbitraire F[UyV) de deux variables indépendantes. 
Gette équation du premier ordre peut toujours étre intégrée, malgré la 
présence d'une fonction arbitraire. En effet les trois équations 

' w = F{a , h\ 
u = a, 

oix a j b sont deux constantes arbitraires, définit toujours une multiplicité 
3fj, d'aprés les relations [u , v] = [u , ui] = [v , w;] = o, et il est clair 
que tous les elements de cette multiplicité vérifient bien la relation 
U) = F{u , v). Si donc on élimine j; et q entré les trois relations précé- 
dentes, on obtient une intégrale compléte 

0{x , y , z y a y b , F(a , b)) = o 

de Téquation w = F{u , v). L'intégrale générale sera représentée par le 
systéme des deux équations 

0{xyy y z , ay jr(a) , F{a , ^(a))) = o, 






dF 



IdF .dF ,. . 



= o. 



011 ^{a) est une fonction arbitraire de a. Remarquons que F{a,^{a)) 

est aussi une fonction arbitraire de a, ^(a); par conséquent Tintégrale 

générale de Téquation du second ordre est donnée par le systéme des 

deux équations 

0{x,ij jz , a, ^-(a)y ([^{a)) = o, 






da 



d<p{a) 



d<p{a) 



Ce sont ces propriétés, bien connues, que nous allons étendre aux équa- 
tions les plus générales pour lesqiielles le systéme (49) est en involution. 



Sur une classe d^équations aax dérivées partielles. 321 

23. Pour plus de symétrie dans les notations, posens dans les équa- 
tions (49), 

. . aF . aF . . aF 3F aF 

■ ir = ^>*' v^^*' ■^'"■^" i^^^*' v^^'' ■ 

elles deviennent 

■fif = Pi + aJ^p, — f{x^ , ic, , a;, , a;^ , a;, ; p, , pj = o, 
^1 = P» + ^.Ps — f («, . a;, , a;, , a;^ , a;, ; p, , p,) = o. 

On sait que toute intégrale commune aux deux équations (51) satisfait 



(5t) 



aussi ä Té^uation 



_^ Z>(g,H.) ^^^. 



en développant les calculs, on trouve cette équation 



ar_a^_a^a_^ /a^_a/_\ ^ 



Si le systéme (51) est en involution, cette équation doit étre une consé- 
quence des deux preiniéres, et, comrae elle ne renferme ni p^ ni p,, elle 
doit se réduire ä une identité. D'ailleurs elle est linéaire en p^'^ les 
fonctions /* et ^ doivent donc satisfaire aux deux relations 

La premiére équation montre que /* et ^ sont les dérivées partielies d'une 
fonction de rc^ , x^^ x^y x^y x^^ p^^ p^ par rapport a j?^ et a p^ respective- 
ment; et, comme f et f> sont homogénes et du premier degré en p^ , p^, 
la fonction dont elles sont les dérivées partielies doit étre homogéne et 
du second degré et peut s'écrire 

pl^{x^, x^,x^,x^,x^\ w), 

il0to moMMnafiM. 19. Imprimé le 6 Juin 1896. 41 



322 



E. Goursat. 



en posant u = — . On aura donc 

Va 






9t4 



9u 



et, en portant ces valeurs de /* et de f> dans lequation (53), elle devient 



(54) 



2U 



H 



h 



dx. 



3^ 









aV , , N 3V 



+ 



2^ 






ay 

dndx. 



+ 



dudX, 



dip , aV 

—i- -4- 2^ — ^ 



dtldX^ 



a V 



dudx. 



du dx. 



+ 2 -^ + 20?. -^ = O. 



Cherchons quelle sera la forme de Téquation du second ordre correg- 
pondante. Les équations (49) sont, dans le cas considéré iei, 



dV , dV dV 

T P = 

dx "^ dz dp 



dV 



dV 



dV 



^^ % ]-%*■•[ % 



dp 



dp 



dp 



dV 



dV_dr 

dz dp 



+ 9kir = '^fu 




ou 



M = 



9V 
W 



dV dY 

pour remonter ä Téquation du second ordre, renipla9ons Hi^^— » 

oX wZ 

dV . dV dV dV . ^ ^. ^ . ^ A 
«" 5^ä~ ' ä~^ ' ä~~ P^^ y^y P ^ P-^ ^ reépectivement, nous trouvons les.deux 

relations 






Sur uoe classe déquatioDS aux dérivées pariielles. 323 

qui expriment les conditions nécessaires et suffisantes (n** i6) pour que 
la droite 

Å + fir + vs = o, 

P + fiS -^ ut = Oy 

o\x on considére r,s,<, comme des coordonnées courantes, soit une gé- 
nératrice de la surface réglée {!) représentée par Téquation cherchée. 
Les équations de cette génératrice peuvent donc 8'écrire, en prenant/£= i, 
v = m, 

r + wjs -j- 2^[m) — m<p'{m) = o, 
s + tm + ^'(^0 = 05 
cette droite est la caractéristique du plan mobile 

r + ^sm + tm* + 2iff{m) = o, 

oii m désigne le parainétre variable. La surface (2') est donc une surface 
développable, et, par conséquent, les deux systémes de caractéristiques 
sont confondus, comme dans le cas de Téquation linéaire. En resumé, 
on obtient comme il suit toutes les équations du second ord re pour 
lesquelles les équations, qui déterminent les intégrales intermédiaires du 
premier ordre, förment un systéme en involution; on prend Venveloppe du 
plan mobile 

r + 2sm + tm^ + 2^(0; , y , ^ p 9 q ', m) = o, 

^ y y ) ^ t P 3 9 étant regardées comme des constanteSj r , s , t comme des coor- 
données courantes, et m comme le paramétre variable. La fonction (J) doit 
en outre satis faire ä Véquation (54), ou on aurait remplacé x^^x^jX^^x^jX^jU 
par X y y 3 z y p y q , m respectivement. 

24. Nous al lons montrer maintenant que Tintégration des équations 
de cette espéce se raméne a Tintégration du systéme en involution (49). 
Soit V{x ^y^ZyP^q^a^b) une intégrale de ce systéme avec deux con- 
stan tes arbitraires a et é. En différentiant les équations (49) par rapport 
a a et a & respectivement, il vient 



324 



E. Goursat. 



3'F 3'F _ 3/- aT 

ao3* "*" ^9adz ~ /dV\ da^p 

+ q — = ^ 



+ 



df a'F 



aF\ 3a3g ' 



(?) 



a»F 



aa 3 v 



dadz 



dV\ dadp 



o 



+ 



gy 3'F 
/3F\ 3a3g ' 

lig"/ 



dbSx "^ ^ 3fe3« ~ /3F\ 363j) "'" ,/'9F\ 363^' 

3^— 



.9pJ 



,(-, 



3'F 3'F _ 3y 

3631/ "• ^ 363z ~~ 



3'F 



+ 



9ip 3'F 



On en déduit 



'f ) ""■ K?) 



aF\ 96 a^ 



[^' 



3F 
3a 



+ 



3F 

3p 

3'F 

3'r 
dadp 

3'F 
3a 3g 



a'F , 3'F 



3a 3;); 



3a 3z 



+ 



3F 
3g 



3F , 3F 
3j; ' ^dz 



H 



"ir 



{; 



'^+ 



3'F 
3a 3g 

a^ 



a^F , a'F. 

— - + (f 

aaay ana» 

ar , dV 

dy ' ^a« 



dV 



aFvaj 



ill^i av 



) 



df dV d<p dV 



'(?) '" 



+ 



'Ct) " 



/3F 3F 

\dy ~^ ^dg 



) 



en tenant compte de la condition (49)> on peut encore écrire 



v, 



dV 

3a 






3'F I df dV 



+ 



df dV 



,('Z\ ^1 



f 



WI 



+ 



3'F 
3a 3g 



df 



dV\dp 



O 



dV , ac? aF 



/a_Fxa^ 



et, comme f ^\ ip sont des fonctions homogénes et du premier degré de 



aF aF 

— et de — , il vient 

ap aj 



["•a-- 



Sur une olasse d'équatioD8 aux dérivées partielles. 



325 



■ 

On verrait tout pareillement que Ton a F, -t- = o. Calculons mainte- 



f— —1 — 



9'V 
dadp 

96 9p 



3'F 
96 9a; 



+ i' 



9*F 
96 9z 



+ 



9'r , 9'F 



9a 9j; 



9a 9^ 



9'F 



+ ? 



36 a^ 



^bdz 



d'V . a*F 

+ g 



dadij 



dadz 



En rempla9ant 



a'F , a«F , • -1 . 

+ Pi^:;:^ j • • • par leurs expressions, il reste 



dadx 



dadz 



raF dV] __ 
. . Laa ' aU ~ ^' 

On obtiendra donc une intégrale compléte de Tintégrale interraédiaire 

V{x,y,z,p,q,a,b) = o 
en adjoignant k cette équation les deux relations 



9F 
9a 



= a. 



9F 
96 



= /9. 



a et y9'dé8ignant deux nou velies constantes arbitraires. Ceci suppose que 

9F 9F 



. v. 



sont des fonctions distinctes de x , y , z y p , q; mais on peut 



da ' db 

toujours choisir une intégrale compléte du systénie (49) satisfaisant a cett^ 
condition car, le systéme (49) étant en involution, on peut choisir arbi- 
trairement la fonction de ;?,/?, g, a, 6 a laquelle se réduit Fpour a; = a?^, 

Si on élimine a et 6 entré les relations 



V{x . y , z , j) , q , a y h) = o, 



^ = <^)^ aV + ^^'(^) = '^' 



oii 7c{a) est une fonction quelconque de a, on obtient (n** 17) une nouvelle 
intégrale intermédiaire Fj = o, qui /intégrc aussi sans aucune difficulté. 



326 E. Goursat. 

En effet, prenons pour b une fonction <p{a y a'y b')j dépendant de deux 
nouvelles constantes a' et b\ et se réduisant a 7c{a) pour a' = aj , ft' = J^. 
La nouvelle intégrale compléte dépend de deux constantes arbitraires a' 
et b'j et on peut lui appliquer la méme inéthode qu a la premiére. L'inté- 
gration d'une équation du second ordre de Tespéce considérée est donc 
ramenée ä Tintégration du systéme en involution (49). 

25. Si on a intégré le systeme en involution (49), on peut obtenir 
sous forme finie Tintégrale générale de Téquation du second ordre corres- 
pondante. Considérons toujours les trois équations 

F=o, ft = ;r(a), L- + ^;r'(a) = o; 

imaginons que des deux derniéres on tire les valeurs de a et ft en fonc- 
tion de X y y , z y p , q et qu*on porte ces valeurs de a et de 6 dans 

dV dV 

F, — , rr- , on obtient ainsi trois fonctions Fj , F^ , V^ qui sont encore 

en involution, quelle que soit la fonction 7r(a). Désignons par u une 
quelconque des variables x ^y ^ z j p j q\ on a 

aF. dV . TdV . dV 



' du "*" \_da ' 56 ^ ^ ^ J du du ' 



du 



dV, a'F . ld'V . d'V 



du dadu 



,\d'V . d'V ,. -\da 



D*autre part, de l'équation qui donne a, on tire 






dadu dbdu 



d V . dr r/\iar ,0/ v 3K ,,/ \ 



da 

du 



da 

de sorte qu'en reinpla9ant — par sa valeur, on a des formules de la forme 

du dadu ^dbdu^ 

du dadu " dbdu ' 

ÅjfjLfÅ',fi étant les mémes, quelle que soit la variable u. Les crochets 



328 E. Ooursat. 

x('a) et /(a) étant deux fonctions arbitraires. On.peut donc énoncer le 
théoréme suivant. 

Lorsque le systéme (49) est en involution, soit V{x fjfyZyPjqyayb) 
une intégrale de ce systéme avec deux constantes arbitraires a et by telle 

que Vy — , -r- soient des fonctions distinctes de z^p^q; V intégrale générah 

de Véquation du second or dre est représentée par les deux relations (55), 
dont la preniiére sobtient en éliminant p et q entré les trois équations 

^ = ^' i7 = «' aT=-^' 

et remploQant b par ;r(a), p par x{^)y ^' ^ P^'^ — ^'(^)/(^)- 

26. Uéquation (54) est du second ordre et la fonction incohnue ip 
dépend de 6 variables. Il paralt difiicile d'obtenir Tintégrale générale 
de cette équation, mais on obtient une solution évidente en prenant pour 
(p une fonction indépendante de x yU j z y p y q^ dépendant du paramétre 
m seulement. Uéquation du second ordre correspondante, ne renferme 
que r y s y t et s^obtient en cherchant Tenveloppe du plan raobile qui a 
pour équation 

r + 2sm + tm^ + 2^(m) = o, 

^(m) ne' contenant aucune des lettres x yjf y z y p ^q. Nous chercherons 
une intégrale intermédiaire de la forme 

. . , V{z + ax + bjf y p + a , q + b) — o, 

a et b étant des constantes arbitraires. Si on résout cette éq.uation par 
rapport a /? + a , on en tire 

(56) - p + a + a){z + ax + byyq + b) ^ Oy 



et on a 








9V 


ar 


dV 


dV 


ar av' 


dx dtu 

dV du"' 


dy dto j^ 

dV ~ du *' 


»« do» 
3F 3„' 


3p 


ap 


dz 


dp 



Sur une classo d^équations aux dérivées partielles. 



329 



en posant u = z + ax -{- by^ v = q -{- b. Les équation$ (49) deviennent 



(57) 



d(0 . j'^m\ d(0 . , /da 



dM\ 



r 



da) 

V — 
du 



= ^■■m ; 



^O) 



\dv/ 



d€0 



posons, dans ces équations, — = a, — "== /^> ^^ ^^ *'^^^ 



r^fii) 



O) =■ 



_ mft) - 2^H/?) 



a 



a 



et en portant ces valeurs dans la relation 



d(o =^ --du 4- -T- dVy 

du dV 



il vient 






et, par suite, 



u + ^L-IlL =: const. 



Oh obtiendra donc une intégrale intermédiaire de la forme (56) en éli- 
minant ot et y9 entré les tröis relations 



(58) 






i> + « = 



2vA(y9) - /?v'.09) 



a 



Imaginons que des deux derniéres on tire a et ^; €n les combinent par 
division on aura d'abord pour ^ une fonction de . , puis pour - 

une fonction homogéne du premier degré de p + a et de g + b. En 



Aeia mathåmatiea. 19. Imprimft le 2 jtiillet 1895. 



42 



330 E. Goursat. 

portant ces valeurs dans la premiére, on trouvera donc une intégrale 
intermédiaire de la forme 

V= z + ax + by + G{p + a , g + J) = o, 

G éfant une fonction homogéne et du second åegrédep + aetdeg + b; 
il est faclle de vérifier qu'on a bien, quellc que soit la fonction (?, 

[''.,?]=°. [y-who, [:-^,:?]=o. 

lyélimination précédente n^est possible que si la fonction ^ est donnée. 
On peut cependant appliquer la méthode générale du n** 25 sans par- 
ticulariser cette fonction. Pour la commodité des calculs, changeons a en 

— et posons 

V = z + ax + by -\- a'<p{li), 

a et /9 étant déterminés par les deux équations 

«{2^(y9)-^^'(^)} = p + a. • 
On a 

les valeurs des dérivées partielies t^ , -7? ? -^ 1 it se tirent des deux der- 

* da do da do 

niéres équations et il reste, toutes réductions faites, 

Pour appliquer la méthode générale, nous devons éliminer a et y9 entré 
les trois équations 

5^ I . 3^' I o 1.» 



Sur une classe d'éqaatioD8 aux dérivécs particUes. 331 

et remplacer ensuite b par r(a), b' par ;f (a) et «' par — ^\^)x{^^)' 
Nous soinmes conduits ainsi ä Téquation 

0{x,y,z, a, ;r(a), ;r'(a) , ^(a)) 



= z + ax + y7r{a) + [x + ;r'(a);f(a)j ^ 



X + ;r'(a)/(a) 



et rintégrale généralc de réquation du second ordre proposée est repre' 
sentée par rensemble des deux cquations 



(59) 



0{x,y , z, 7r{a) , 7i:'{a) , ;f (a)) = o, 
da d7t{a) ^ ^ ajr(a) ^ ' 3;f(«) 



;r(a) et ;f (a) étant des fonctions arbitraires du paramétre a. 

Hemarque. Les équations précédentes paraissent au premier abord 
tres particuliéres, mais il convient de reinarquer qu'on a une catégorie 
beaucoup plus étendue d'équations s^intégrant coraplétement par notre 
méthode en considérant les équations du second ordre qui peuvent se 
raraener a la fonne précédente par une transformation de contact. EUes 
possédent une intégrale intermédiaire de la fonne 

Z+ aX+bY+ G{P + a,Q + b) = o, 

G étant une fonction homogéne du second degré, et .X , Y , Z y P , Q cinq 
fonctions de ^ j i) j z j p ^ q donnant lieu ä Tidentité 

dZ — FdX — QdY = p{dz — pdx — qdy). 

27. Etant donnée une fonction absolument arbitraire 

0{Xyy,Zy a, 7:(a) , ;r'{a) , /(a)), 
les surfaces enveloppes représentées par Tensemble des deux équations (59) 

oix 7r{a) et ;f(a) sont des fonctions des arbitraires de a, ne sont pas en 
general des surfaces intégrales d*une méine équation aux dérivées par- 
tielles du second ordre. En efifet, les valeurs de ^; , // , r , 5 , / dépend.ent 



332 E. GoursaL 

(le a , 7r{a) , 7r\a) , ;r"(a) , ;r'"(a) , ;f (a) , ;f'(a) , ;f"(^), et on aurait a éliininer 
huit paramétres entré sept cquations. Pour que rélimination soit possible^ 
la fonction doit satisfaire a certaines conditions, que iious nous pro- 
posons d^obtenir. Iiiiaginons, pour cela, que Ton ait résolu Téquation 
== o par rapport ä ^ et soit 

z = F{x ,y , a, ;r(a) , ;r'(a) , ;^(a)) 

la valeur de z ainsi obtenue. Les surfaces considérées sont aussi repre- 
sentées par rensemble des deux équations 

(^^) I dF . dF ,, ", iF ,,'. ■ dF ,, , 

[ da ' d7:{a) ^^^ a;r(a) ^ ^ ' 5/(«) 

Quand on regarde fl , ^(a) , ;r'(a) , ;f (a) comme des constantes données^ 
la premiére des équations (6o) représente une famille de surfaces S dé- 
pendant de quatre paramétres. Nous exqluons le c^s ou toutes ces sur- 
faces S seraient des intégrales d*une équation aux dérivées partielles du 
premier ordre, car les surfaces enveloppes vérifieraient aussi la méme 
équation du premier ordre. Nous pouvons aussi supposer que les quatre 
paramétres dont dépendent les surfaces S sont essentiellement distincts, 
et ne peuvent se réduire a trois; on sait en effet (n° 1.3) que les surfaces 
enveloppes d'une famille de surfaces a 3 paramétres satisfont a une méme 
équation du second ordre, Unéaire en r , 5 , ^ , rt — 5^, quelles que soient 
les relations que Ton établit entré ces trois paramétres. 

Cela pose, considérons les courbes C représentées par Tensemble des 
équations (60), oii on regarde «, 7r(rt) , 7r'(a) ,;:"(«), ;f (a) , ;f'(a) comme 
des paramétres. Les surfaces étudiées ici sont évidemment engendrées par 
des courbes de cette famille associées d'une certaine fa9on; de plus, les va- 
leurs de 2^ et de q y le long de chacune de ces courbes, ont pour expressions 

, , dF dF 

et ne dépendent non plus que de a , n{a) , 7if{a) , ;r"(a) , /(a) , x\^\ 
Nous définissons ainsi un systéme de multiplicités iltf,, et toutes les sur- 
faces enveloppes des surfaces S sont des lieux de multiplicités M^. 



334 E. Goursat. 

tions doit conduire a deux relations distinctes. Les cinq premiéres ne 
renferment que «, /r(a) , ;r'(a) ,;f (a); rélimination de ces quatre paramétres 
entré ces cinq équations ne peut conduire a deux relations distinctes. 
D'abord, on peut toujours résoudre les trois premiéres par rapport a trois 
des quantités fl' , ;r(a) , ;r'(a) , ;f(a); s'il en était autrement, on pourrait 
éliniiner a , 7r{a) , ;r'(a) , ;f (a) entré ces trois équations, et toutes les sur- 
faces S seraient des intégrales d'une équation aux dérivées partielles du 
premier ordre, cas que nous avons écarté. Supposons, par exemple, qu'on 
ait tiré des trois premiéres équations a, 7r(a) , 7r'(a) en fonction de a;,y, 
^ y P y 9 9 Xi^)'^ en portant ces valeurs dåns les deux suivantes, on ne 
pourra obtenir deux relations distinctes entré x^y , z,p jq jdx^dt/jdp^dq 

que si — 5- , , — ^ deviennent, apres cette substitution, indépendantes 

dx dxdy dy 

de xi^)' ^^ fonction F devrait donc satisfaire ä trois équations de la 

forme 

r = 9^,{XjyjZ,pyq)y 

m 

• 

Tintégrale générale d'un pareil systéme dépend de trois constantes arbitraires, 
au plus. Les surfaces S ne dépendraient donc, en réalité, que de trois con- 
stantes essen tiellement distinctes; c'est encore un cas que nous avons écarté. 
Les quantités ;r"(^) , xi^) ^^ figurent que dans les deux derniéres 
équations (62). Il faudra donc que Ton puisse déduire de ces deux der- 
niéres équations une relation indépendante de 7r'\a) , x\^)' ^^ question 
revient ä celle-ci. Soit 

jj dF . dF ,. . 



d7t'{ay dxiay 

si on considére a., ^(a) , 7r'{a) j x'W comnie des constantes données, ;r"(a) 
et ;f'(rt) comme des paramétres variables Ä et B, Téquation 

U+ÄV+BW=o 

représente uné famille de courbes planes dépendant de deux paramétres 
A et B. Pour quon puisse déduire des deux relations 



Sur une dasse d'éqaatioD9 anx dérivées partielles. 835 

U+ AV + BW =o, 

dU+ ÄdV+BdW^o, 

une relation indépendante de Ä et de Bj il faut et il suffit que toutcs 
ces courbes vérifient, quelles que soient les constantes A et 7i, une niöine 
équation différentielle du premier ordre. S*il en est ainsi, les courbes 

y- = const. • 

obtenues en supposant J5 = o, et les courbes 

W 

-jj = const., 

obtenues en prenant A = o, représentent rintégrale générale de la méme 
équation; il faut et il suffit pour cela que Ton ait 



W /r\ 



Lorsque cette condition est vérifiée, toutes les courbes 

U-\-AV+BW=^o 
satisfont bien a Téquation différentielle du premier ordre 

^ • 

En revenant ä la question proposée, on voit que la fonction F doit 
satisfaire a une relation de la forme 



1 -, — r?r(a) 

rr ^\ a^t a;r(a) 

(63) ^ = ^ 



5/(«) 



ajP 



?^^ rt , r(a) , ;r'(«) , ;ir(«) 



011 la fonction ip ne dépend ni de rr , ni de y. Cette condition est d'ailleurs suffi- 
sante. D'une maniére plus générale, prenons pour 0{^^y^z^ a,7r{a)j 7r(a)j)({n)) 
une fonction satisfaisant a une relation de la forme (63); de la seconde 
des relations (55) qui définissent les multiplicités JT/,, on tircra 

d0 . a^ v X 

da a;r(a) j^ 

w — =" ^' 



836 



E. Goursat. 



K dépendant de a , ;r(a) , 7r'{a) , 7:'\a) , x{^) y /{^) ^* étant indépendant 
de XytfjZ, de sorte que les multiplicités M^ ne dépendront en réalité 
que de cing pararaétres, a , 7r{a) , 7r\a) , ;f (a) , K. Donc, d'aprés ce qu'on 
a démontré plus haut (n** 13) tputes les surfaces représentées par Ten- 
semble des équations (55) satisfont bien a une mémé équation aiix déri- 
vées partielles du second ordre. 

Comme vérification, reprenons Texemple du n® 26, ou on a 



= z + ax + y7r{a) + [x + ^'(^);f(«)} V 



X + 7r'(a)/(a) 



on trouve pour les caractéristiques une équation de la forme 



et, par suite 



y — xi^) = ^{^ + ^i'^)x{^)l 



= z + ax+ y7:{a) +[x + ;r'(a);f (a)}.V(A'). 



Les caractéristiques sont donc dés paraboles ayant leur axe paralléle a 
Taxe des z\ elles dépendent bien de cinq paramétres seulement. 

29. Afin d'avoir des notations plus symétriques, nous pose rons 






d4> 



d7:{a) 



P 



9(P 



«» 



9;r'(o) 



=-P, 



^0 



-i?^; 



il suffira de.prendre pour une fonction de c, > f^ j fs ? ^4» contenant en 
outre 3 parainétres x j y. , z, et satisfaisant a une équation de la forme 



(64) 



77 



ré -TA 



= O. 



Imaginöns qu*on ait résolu Téquation — par rapport a ^^, 
réquation (64) est remplacée par la sui vante 



(65) 






Sur une olasse d^équations aux dérivées partielles. 337 

D^aprés ce qui précéde, il suffira de connaitre une intégrale compléte, 
avec trois constantes arbitraircs x j y , Zy d'une équation de la fofme (65) 
pour en déduire une fonction satisfaisant a la condition trouvée et, 
par suite, une équation aux dérivées partielies du second ordre dont 
Fintégrale générale est représentée par un systéme de deux équations de 
la forme (59). 

Etant donnée une équation du premier ordre de la forme (65), il 

• lui correspond une infinité d^intégrales complétes et, par conséquent, une 

infinité d'équations du second ordre s*intégrant de la fa9on précédente. 

Mais toutes ces équations du second ordre peuvent se déduire de Tune 

d'elles par des transformations de contact. Soit, en effet, 

(66) f(^, f, , ^2» fa ; ^»y»^) = o 

une premiére intégrale compléte de Téquation (65); pour avoir une nou- 
velie intégrale compléte, il suiFit d^établir une, deux ou trois relations 
entré x , y ^ z et trois nouveaux paramétres X , F , Z, puis d'appliquer 
la méthode de la variation des constantes. Supposons, par exemple, qu'on 
établisse une seule relation entré x , y'j z j X , Y , Z 

(67) ip{x,y,z; X, Y , Z) = o; 

pour appliquer la méthode de la variation des constantes, il faut éliminer 
x j y f z entré les équations (66), (67) et (68) 

d^ d^ d^ 

dx dy dz 

dx dy dz 

Or, si nous regardons maintenant Vy^^^S^j^^ com;ne constants et {Xjy,z)j 
{X f Y y Z) comme les coordonnées de deux points variables, le calcul pré- 
cédent revient a chercher Tenveloppe de la surface 2^, représentée par 
Téquation (67), 011 X, F, Z sont les coordonnées courantes, lorsque le point 
de coordonnées {x^y^z) décrit la surface 8 représentée par Téquation 
(66). Cette surface enveloppe se déduit donc de la surface S au moyen 
de la transformation de contact qui a pour équation directrice Téquation 
(67). La conclusion est encore la inéme, s il y avait deux ou trois rela- 

Äeta mathematica. 19. luipriiué le 6 juillet 1895. . 43 



838 E. Ooursat. 

tions entré x , y , z y X y Y , Z] dans le dernier cas, la transformation se 
réduirait a une transformation ponctuelle. 

On voit done que les équations du second ordre qui correspondent 
ä deux intégrales complétes différentes d'une équation de la forme (65) 
peuvent se déduire Tune de Tautre par une transformation de contaet. 
Si Ton convient de dire que toutes les équations du second ordre qui 
peuvent se déduire d'une équation par une transformation de contaet 
förment une classe, on voit qu'a toute équation de la forme (65) corres- 
pond une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre a 
deux variables indépendantes, dont Tintégrale générale peut étre repre- 
sentée par un systéme de formules de la forme (55). 

30. Proposons-nous maintenant d'examiner si deux équations di- 
stinctes de la forme (65) peuvent correspondre a une méme classe d'équa- 
tions du second ordre. Etant donnée une famille de surfaces S a quatre 
paramétres 

on peut évidemment, d'une infinite de maniéres, remplacer ces quatre pa- 
ramétres GybjCyd par quatre nouveaux paramétres a,y9,/',<? en posant 

et la famille de surfaces 8 est aussi représentée par Téquation 

0,{x,yjZyayfiyry^) = O- 

Supposons maintenant qu'on pose b = ;r(a), c = ;r'(a), rf = ;f(a), *;r(«) et 
^{a) étant des fonctions quelconques de a; fi , j- , å deviennent des fonc- 
tions de a, et, si les formules de transformation sont telles que Ton ait 

df — cda = p{dp — j-dajj 
on aura aussi 



Sur une classe déquations aux dérivées partielies. 



339 



La fonction 0, doit satisfaire a une équation de la forine (64) en méine 
temps que la fonction 0j et il est clair qua ces deux équations de la 
fonne (65) correspond la méme classe d^équations du second ordre. Par 
conséquent, toutes les équations du premier ordre qui peuvent se déduire 
de Téquation (65) par une transformation 



(69) 



telle que Ton ait 

(70) 



Sj = /a (si > s 2 > Cs j y )^ 



d^i-e,d$,=p{de[ — S',dS',), 



correspondent a une méme classe d'équations du second ordre. 

Remarquons que toutes les transformations de cette espéce changent 
bien Téquation (65) en une équation de méme forme, car les caracté- 
ristiques satisfont ä la relation 

et inversement toutes les équations du premier ordre, dont les caracté- 
ristiques vérifient cette relation, sont de la forme (65). 

On trouve aisément toutes ces transformations, de la méme fa9on 
qu'on détermine les transformations de contact. Les valeurs de S^, S^y^^ 
ne doivent pas dépendre de F' et les formules (69) prennent la forme 
suivante 

la fonction f^ étant arbitraire et les fonctions fi , f, , /"g satisfaisant a 
ridentité (70). 

31. Supposons, par exemple, que lequation (65) soit linéaire 



3f. 



ar 



3F 

3c. 



+ f,'^+^dr+-B=0, 



340 E. Goursat. 

A et B étant des fonctions quelconques de f i , f 3 , f 3 , V. Toute inté- 
grale eompléte est de la forme 

F= 0{x,y,,, V,, V,, V,), 

V^yV^y Fg désignant trois intégrales particuliéres distinctes. On voit que 
les surfaces 8 représentées par Téquation F = o, oii Ton regarde x,y ^ z 
comine des coordonnées courantes, ne dépendent que de trois paramétres. 
Cest le oas particulier que nous avons laissé de coté. 
Considérons encore Téquation 

qui admet Tintégrale couipléte 

la fonction correspondante peut s'écrire 

= z + <m + n{a)y + 'PJ^+JJ^ + ;^(«). 

Les caractéristiques des surfaces S sont des hyperboles ayant une asymp- 
tots paralléle a Taxe des z et située dans le plan des xz. 

Paris, décembre 1894. 



341 



SUR UNE GÉNÉRALISATION DE. LA FORMULE 



ip 8111 <p siu 2<p sin 3f> 

2 I 2 ' 3 



PAR 



CARL STÖRMER 

å CHRISTIANIA. 



I. La formule bien connue 



(O 



<p sin ip sin 2ip sin 3^ 

2 ~ r~ 2 ' 3 



(kl<»r) 



est susceptible d'une généralisation assez curieuse, que j'ai publiéc dans 
un petit travail paru en norvegien en 1892 {Summation af nogle trigono- 
nietriske rcekkery Christiania Videnskabs-Selskabs Forhandlinger). 
Voici le théoreme dont il 8'agit: 

•S^ f^i » Fa > • • • ' F»» otj , a, , . . . , a,„ sont assujettis a Tinégalité 



J^i I + I Fa I + • • • + I ?"" I + I «i I + I «3 I + • • • + 



a« < ^, 



on a 



(2) 



VlVt "Vn _ 



sm <p, sm <p^ sm <pn 

— ^ — ^-=- . . . — ^— cosa, cosa, , . . cosa 
II I 1 j ' 



m 



siu 2^j sin 2^, sin 2^^ 



cos 2aj cos 2a3 . . . cos 2a^ 



, sin 3c>, sin 3cr- sin 3^, 

H ^ ^ . . . — ^^^- cos 3aj cos Säj . . . cos 3a 



Ada mathemcUiea. 19. Iraprimé le 5 juillet 1895. 



342 



Carl Störmer. 



La demonstration est facile et peut se faire de plusieurs inaniére^. 
La plus simple est peut-étre celle qui suit. 

Supposons la formule vraie pour n quantités (p et m quantités a. 
Alors, si Ton a 



f^ll + IF2I + • • • + IF«| + |«l| + l^al + •• • + i«m|-+ !««+! 

on aura a la fois 



<^, 



et 



9\ + »m+l I + ^2 I + . • • + I F» I + 1 »1 I + • • • + I »m I < ^ 



9\ — am4-l I + I f 2 I + • • • + I Fn I + | »1 | + • • • + | «»» | < ^• 



Par conséquent: 



(fl + Öm+Ofa . . . f n 



V^ / \i4.i sin^ffi + öm+i)8in^f, sin ^cr» ^ . 

= > ( — i)*"^* ^-^ ^- — T-^-- • — p^cos^Äj . . . cosAa^, 



(fl - «m+l)f , . . . f, 



En faisant la demi-somme de ces deux formules, on obtient immédiate- 
ment 

(3) ^^5?i^- = |;(-0^^'^^...^co8;ia....cosA«„co^ 

ce qui est notre formule pour les indices n et m + i. 

De Tautre cöté, en multipliant la formule (3) par da^^i et en inté- 
grant de zéro a fa+i, ce qui est permis si Ton a 

J^l I + kj I + • • • + I f'» i + I V^n + y I + i »1 I + • • • + I »m I < ^J 

on obtient 

Cest la formule (2) pour les indices n + i et m. 



Sur uno serie trigonométrique. 843 

Notre formule (2) découle de cette maniére immédiatement de la 
formule (i). 

En faisant dans (2) 

f^i = f^j = • • • = f^n = F> »1 = Qtj = ...== a^ = a, 

nous aurons la formule curieuse que voici 

(5) ^ == (?}^\ coaTa — /?i!l^\ cos"* 2a + (^}J^Jr\ cos"* 3a — ... 

qui est vraie pour 

n I fj I + m I a I < ;r. 

Des formules démontrées, on peut tirer une foule d'autres, plus ou 
moins intéressantes. Nous citerons quelques-unes des plus simples. 

TT 

En faisant dans (5) n = i, ^ = - , il vient: 

TT C08*" a cos*" 3a cos™ 5/z 

41 3^5 



et cette formule est vraie pour 



2m 



Cest une généralisation de la formule bien connue 

n CCS a cos 3a cos 5a 

4 I 35 

Faisant en (2) 
jp, = fp, = ... = jp, = ff, jp,^., = ^, a, = a, = ... = a„ = o, 

nouä aurons l*égalité curieuse 

4^ ~l I ; ~3\~3~/ +5l~5~>' "••• 



qui est vraie pour 



I ^ 



344 



Carl StOrmer. 



Des resultats intéressants s^obtiennent aussi par dérivation des for- 
mules par rapport aux quantités jjj et a. 

Il y a lieu de remarquer que la formule (2) sous la forme 



00 



2 L^ X 



(— 1)^ sin ^y?j sin lip^ sin Xfn 



A(p, k<p^ 



Xff, 



cos Aäj . . . 008 Aa„. sin Xx 



•m 



X 



représente un développement de la fonction - en serie de Fourier, ou les 

coefficients ont une infinité de valeurs différentes. Ge resultat est en accord 
avec une remarque de M. Jordan {Cours d^analyse, II, 2"'® édit. p. 242): 
en efifet, la fonction étant donnée seuleinent dans Tintervalle 



X 



< TT — 



9y 



9n 



a. 



*m 



et cet intervdlle étant moindre que ceJui de — tt ä + tt, les coefficients ne 
sant pas uniques. 

2. Il est evident que les considérations qui précédent suffisent 
pour déterminer la valeur de la serie au second membre de (2) pour 
toutes les valeurs reelles de ^1 . . . jr«, a^ •••«»,• 

Nous . nous bornerons a considérer, ä titre d'exeinples, les cas les 
plus simples. 

Désignons par F{(p^ , f>^) la fonction représentée par la serie 



sm ^, siu ^, 



sin 2pj siu 2p, sin 3^^ sin 3^, 
— ^ :; 1 z — 



Cest une fonction continue de jr, , jr,, qui satisfait aux équations 
suivantes 

F{n—ip, , ;r— jrj = F{<p^ , jr,). 

Il suit de ces équations, qu'il suffit de pouvoir calculer la valeur 
de la fonction pour des arguments satisfaisant aux conditions 



o 



< f 1 S ^> ^ S^i ^ ^> 



Fl + F. -< ^- 



Sur uoe serie trigODOtuétrique. 345 

Pour jTj + f 3 < ^, on a, comme nous avons vu: 

donc, parce que F(f , , o) = o 

(a) . . . ■P'(Fj.Fj)=ifi^v 

P 

On voit aisément que cette formule subsiste encore pour (p^ + 9i = ^• 
Si Ton a, au contraire: 

^ = ?'l = ^' ^ :S ^» = ^ 

mais 

Fl + f 3 > ^ 

on aura, par suite de la relation 

^{9^ > iP,) == F(;r — jr, , ff — jr,), 

■ 

r — ff, + ;r — jr, étant < ;r, 

Comme on le voit, les formules (a) et (b) 8'accordent pour le cas 
limite jTj + jr, = r. 

Faisant ^j = j^,, on trouve que la serie 



/ sin f \ * / sin 2y \' / sinSy N* 



est égale a 



I Q 



-jr, SI o<{f<- 



- mais égale a 



2 

Passons maintenant a 



^(f— F)'. 81 ;<jr<K-. 



zY^« ,, ,, \ _ 8^°<Pi ""f. sin y. "" 2y, s in 2y. sin 2y . 

Åeta matlmnaHea. 19. Impriiu» le 9 juillet 1896. 44 



346 Carl Störmep. 

Cette fonction est continue pour toutes les valeurs reelles de ff, ,f^, , f?^, 
de méiiie que ses dérivées du premier ordre. Elle satisfait aux équations 
suivantes 

^X— Fl . F» '-fJ = — ■^''(f 1 . fV' fs). 
i''(ff — tr,', - — fr, . f J == F(fr, , jr, , jr,). 

Par conséqucHt, il suffit de savoir ta calculer pour des arguments satis- 
faisaht aux conditions suivantes 

Fi^F»>Fa. 

Fl + j^. < - • 



Or. 011 a 



3 I 



= ^Fif',. 



si ?3 < - -^ F, 



2» 



I 

• maifi = 1 r i (r — jf, — f „)(;r — f ,) + ^ (f^, — c-Jf , 

* ■ • 

= 4-(~ — Fl — F-i — fJ + i FiF»' 

s' Fa^"— Fl — F,- 

" Intégrant, et remarquant que F{^^ , f", , o) — o, on troave 

^'XFi vF. . FJ - i F.F-iF:i> ^' F:. < ?r — Fl — F» 

mais =.- 1 jr^^^^jT;^ — h'^^'' + F» + F3 — ")'' 
^' F:, >.- — F> — Fr . 



8ur UDO béric trigoDomctriquc. 347 

Dans le cas ou jr^ + ^3 >^ ;r, on trouve 



^XFi » JP, » Fa) = ^ (- — Fi)('r — f%)F3» si if^ < (f^ + 5.' 



'^a "• ) 



mais = i (;r — jf,)(n- — frjjr, — ^ r(;r — ff, — f, + jr J», 

»5» f 3 ^. Ti + F, — J^- . • 

La.derniere formule peut étrje transformée en 

^\9x . r.» Fa) = ^FiF-iFa — ^"(Fi + F, + F3 — '"t)' 
et est démontrée, nous le répétons, pour 

Fi>F>>F3. 

o <, Fl ;$ ~» o ^ Fi ;$^- ~» ° "^ Fs ^ « > 

Fa.^lFi + F» — 'Tj-- 
Si nous faisons dans ccs formules 

Ti -=f% = f^ = J^^ 
on trouve quc la serie 



/sin ip\ ' /8in2^^y / sin 3^ \ 



3 



représente une fonctiou impaire, continue avec sa preuiiére dérivée pour 
toutes les valeurs reelles de ^, et qui est égale a 



^if\ si o<jr<^ 
- • - 3 



et ä 



^f^'— ^-(3r — -]'=^8^4r — -Xj-^ — -)'^ si \<<F<'r^' 



3. Conime on le voit, les resultats obtcnus au inoyen de ce mode de 
calcul, ne sont pas bien faciles a résumer sous une fornie concise. Aussi, 
si on voulait déterminér, dans le cas general, la somine de la serie 



■ ft 



V"^ / \;4.i sin/cr, sni /cr^ sm /c„ , , 

> ( — I ) "^ — . — .... . ' cos /a, cos /a, . . . cos /a 



m 



348 



Carl StOrmer. 





il semble préférable de .se servir d'un procédé que j*ai indiqué dans 
mon travail déja cité, et qni est basé sur la transformation du produit 
sin^^ sin (^, . . . sin ^„ cosoe^ cosa^ . . . cosa„, en une somme algébrique de 
sihus et cosinus des arguments de la forme 

[f , ± JP, + • • • + JP« ± «! ± a, ± . • . ± «»]. 
De cette maniére, tout est réduit a la somination des series 



SÅ^^) 



sin ^ sm 2f sin 3^ 

ijp+i 2^P+^ 32;>+i ••• ' 



' r^ / \ OOS^ CCS 2^ OOB3^ 

^pKf") =-[rp ^^ + ^p "y 

> 

sommation qui est tres facile. 

On trouve, en efFet, en définissant le symbole [y] par les conditions 

[^] = y, mod 2;r, 
que les sommes de ces series seront 



(- ^ysM 



I 


'^pP + l 


— a^TT^ 


fY^' 


-1 

-1. /i ^* 


•^]3/'-« 


2 


2p + 1 


2p- 


. I + ^a^ 


2i?- 3 




• 




t^Uj^) = 





... + (-i)''o,a''{^, 



Les coefFicients a^ peuvent étre déterminés par la condition que 
8^ doit s'annuler pour \ip\ = ;r, ee qui donne: 



2p + i 



a, 



27> 



— l' ^2ö — X '^ ^'' 



D'ailleurs on trouve, en faisant \if\ = o dans Cp, 



Ä 



2»l»-l — I 

|2/> 



B^ étant les nombres de Bernoulli. 



350 

et la dérivée d'ordre ip de 



Carl Störmcr. 



/sin^y+^ / sill 2^ v -V^^» / %mi<p yp'^^ 



pour (p = 7:j et pour 



±<P = 



/k 



/h 



/i 



2/> + I '2^) — 1 ' 



■ • ' 3 ' 



Février 1895. 



3'T 



2j) + I ' 2/> — I 



3- 3T 
5"' 



2/» + 1 ' 2/; — 2 ' 



5«- (mod 2, t) 



• •• • ' « ' 



(2/>— i );r 
2r + \ 



351 



Ober die anzahl der glassen binärer quadratischer formen 

von négativer determinante 

VON 

A. HUEWITZ 

in zOrICH. 



1. 

In der vorlieo-enden Abhandlunor bezeichnet der Buchstobe P stets 
eine positive ungerade ganze Zahl, die grösser als i ist und ausser durch 
1 durch keine Quadratzahl theilbar ist. Ferner bedeutet h{D) die. Anzahl 
der Glassen, in welche die eigentlich primitiven positiven Formen 

der neo:ativen Determinante 

» 

b'' — ac = —D 
zerfallen. Wenn zur AbkDrzung der Schreibweise 

. gesetzt wird, so bestehen nach Dirichlet ^ die folgenden Gleichungen, 
welche die Classenzahlen durch Suinmen von Legendre-Jacobischen Zeichen 
darstellen: 



* Vorlesungen iiber Zahlenlheoric (herausgegeben von R. . Dedekind) § I06. 

Åeta mathfiiiatiea. 19. Iinpriiu^ le 9 jiiillet 1895. 



352 



A. Harwitz. 



I. Ä(P) = y (^), 



II. 



3c» 



HP) = 2 X (ih 



falls P~ 3 (mod. 4), 



• 

falls P= I (mod. 4), 



3a» 

III. A(2P) = 2 y^ (^\, 

w 



falls P=3 (mod. 4), 



IV. 



h{2P) 






, falls PfiE I (mod. 4). 



Unter dem Zeichen 



Yf{s) 

in 



ist hier, wie stets in der Folge, die Summe derjenigen Werthe dér Func- 
tion f zu verstehen, welche den im Intervalle m . . .n liegenden ganz- 
zahligen Argumenten s entsprechen, so dass sich also die Summation auf 
alle ganzen Zahlen s erstreckt, welche die Ungleichungen 

in ^s <^n ' 

erfallen. 

Da jedes Legendre-Jacobische Zeichen einen der Werthe o , i , — i 

besitzt, so leuchtet ein, dass die Classenzahlen Ä(P) und h{2P) einen 

unterhalb -P, also umsomehr unter P liegenden Werth besitzen. Kennt 

man daher eine Zahl, welcher //(P) öder ä(2P) nach dem Modul P con- 
gruent ist, so ist die Classenzahl Ä(P) öder Ä(2P) als der kleinste po- 
sitive Rest jener Zahl modulo P eindeutig bestimmt. Von dieser Be- 
merkung ausgehend, bin ich zu einer Reihe von Sätzen gelangt, die ich 
im Folgénden entwickeln will. Zur Orientirung öber die Natur dieser 
Sätze, will ich hier zunächst die einfachsten derselben, die sich auf den 
Fall beziehen, wo P eine Primzahl ist^ angeben. 

1. Satz. J)\e Enfivicktunff von tgrr nach Potenzen von x laute: 






X 



2«— 1 



(2n— I) 



■y" • • • • 



354 A. Hurwitz. 

Beispiel: h{22) = — 7-3 = — 361 (mod. 11), also A(22) = 2. 

COS X 

4. Satz. Die Entwicklung von nach Potenzen von x laute: 



= ^0 + ^1 r; + ^3 17 + • • • + ^nTwi + — 



C08 2« -o • -1 2 ' ^3 4 • " ' ■ ^*» (2m) 



TFewn www p irgetid eine PrimzaM von dei^ Form 4W + i bezeichnetj so ist 
die Classenzahl h{2p) der kleinste positive Best von 



{-i)*\o\_, 



nach dem Modul p. 



Beispiel: h{26) ee — ^3 = — 2763 (mod. 13), also Ä(26) = 6. 

Um den Gäng der Untersuchung spater nicht unterbrechen zu mOssen, 
knöpfe ich an diese Sätze gleich hier einige Bemerk ungen: 

Die Tangentencoefficienten »j , a^ , . . . stehen bekanntlich zu den Ber- 
noullischen Zahlen Bj , B^ , . . . in der Beziehung 

B.. 













«« 


2'' 


«(2«»- 

2n 


-I) 


Daher 


ist 
















I 

2«P + 1 = 


E2 ' 


G 


3 


0^p+. 


— 


2(2^ 


p- 

-2 ' 


^)^ 



Der Satz i. känn hiernach auch dahin ausgesprochen werden, dass die 
Classenzahl h{p) durch die Congruenz bestimmt ist 

h{p) = — 6B^ (mod. ;;), 

4 

wenn p eine Primzahl von der Form 8w + 3 "^d durch die Congruenz 

h{p)=2Bp^ (mod. p\ 

4 

wenn p eine Primzahl von der Form 8w + 7 is** 

Bei dieser Formulirung des Satzes ist aber der Fall p = 3 auszu- 
schliessen, was darin seinen Grund hat, dass för diesen (und nur för diesen) 
Fall Bp^i einen durch p theilbaren Ncnner besitzt. 



356 A. Hurwitz. 



9 



fl 



Zur Abkörzung der Beweise fQr die oben angegebenen Sätze und 
fOr andere Satze ahnlichen Charakters, benutze ich den Begriff der Con- 
gruenz in einem erweiterten Umfange. Einerseits dehne ich den Begriff 
der Congruenz, wie dies auch sonst seit Gauss hin und wieder geschieht, 
auf rationale Zahlen aus. Zwei rationale Zahlen r und s mogen nämlich 
nach dem ganzzahligen Modul m congruent heissen, in Zeichen 

(i) ^ r = s (mod. m), 

wenn ihre Differenz r — 5, auf die kleinste Benennung gebracht, einen 
durch m theilbaren Zähler besitzt. Dass derartige Congruenzen addirt 
und subtrahirt werden dtlrfen, d. h. dass aus der Congruenz (i) und der 
Congruenz 

(2) r' = s' (mod. m) 



die neuen Congruenzen 



r + r' = s + 5' (mod. m) 



folgen, leuchtet unmittelbar ein. 

Um die Gesetze för die Multiplication und Division solcher Con- 
gruenzen leicht aussprechen zu kOnnen, ist es zweckm&ssig noch folgende 
Definitionen einzuftihren: 

Eine rationale Zahl heisse endlich nach dem Modul m, wenn sie, auf 
die kleinste Benennung gebracht, einen zu m theilerfremden Nenner besitzt. 

Eine rationale Zahl heisse relativ prim zum Modul m, wenn sie selbst 
und zugleich ihr reciproker Werth endlich nach dem Modul m ist. 

Eine rationale Zahl, die man auf die kleinste Benennung gebracht 
hat, ist offenbar stets und nur dann relativ prim zu m, wenn sowohl ihr 
Zähler wie ihr Nenner theilerfremd zu m ist. 

Man zeigt ferner leicht, dass zwei nach dem Modul m congruente 
rationale Zahlen gleichzeitig endlich modulo m öder nicht und gleichzeitig 
relativ prim zu m öder nicht sind. 



Ubcr dic Anzahl der Classcu bioärcr quadratischer Formen von ncgativer DetcrniiDante. 357 

Was nun die Gesetze der Multiplication und Division fUr die hier 
betrachteten Oongruenzen angeht, so sind diesel ben in folgenden Sätzen 
enthalten, deren Beweise ich öbergehe, da sie ganz elementarer Natur sind. 

DBesteht die Congruenz (i), so bleibt dieselbe richtig, wenn ihre Glieder 
r und s mit irgend einer (mod. m) endlichen Zahl multiplicirt werden.» 

»A US den Congruenz (i) und (2) darf man die Congruenz 

rr' = ss' (mod. m) 

folgern, wenn r und r' endlich nach dem Modul m sind.» 
DDie Congruenz (i) zieht die Congruenz 

-=- (mod. m) 

nach sich, wenn r relativ prim zu m ist.D 

dAus den Congruenzen (i) und (2) darf man die Congruenz 



- = - (mod. m) 



folgern, wenn r' endlich und r relativ prim zum Modul m ist.» 

Eine andere Erweiterung des Congruenzbegriffes, die ich im Folgen- 
den benutze, bezieht sich auf Potenzreihen mit rationalen Coefficienten. 
Es seien 



«'. . «» 



(3) 9{^) = ^0 + n^ + ^ [^ + • • • + ^«u + • • • ? 



«* . . «* 



(4) i^(^) = ^0 + «i^ + ^ai^ + • • • + ^«j^ + • • ' 

zwei Potenzreihen, die in der Umgebung der Stelle x = o convergiren 
und rationale Coefficienten besitzen. Die Congruenz 

(5) V^{^) = ^{^) ('"od. m) 

soll dann nichts anderes ausdrClcken, als dass fUr jeden Index n 

(6) r^ = s^ (mod. m) 

ist. Ferner will ich sägen, die Congruenz (5) bestehe bis zu den Gliedern 
Ä**' Ordnung, wenn die Congruenz (6) fttr n = o, 1,2,..., A; erfftllt ist. 



358 A. Hurwitz. 

Die Potenzreihe (3) jr(a;) inöge endlich heisscn nach dem Modul m, 
wcnn alle Coefilcienten r^ , **i , r^ , . . . endlich sind nach dem Modul m. 

Ist <p{x) endlich nach dem Modul m und zugleich das Anfangsglied 
r^ relativ prim zu w, so soll <f[x) selbst relativ prim zu m heissen. 

An diese Begriffe knttpfen sich nun die folgenden Sätze: 

I.) j)Ist <p{x) relativ prim zu m, so ist auch — ^— r relativ prim 
zu m.y> 

I iU' 

Denn ist —, — = ri + r[x + ri [-...> bo hat man 

Ku = i; r[ro + r^ri = o. r'^r^ + 2r\r^ + r'^r., = o, 
r^r^ + 3^2^ + 3K^2 + Kr^ = o, .... 

Berechnet man aus diesen Gleichungen r^ ^ r[ j r^ , . . . , so erkennt man, 
dass diese Zahlen sämmtlich endlich und die erste rj öberdies relativ 
prim zum Modul m sind. 

Fasst man dieselben Gleichungen als Congruenzen (mod. m) auf, so 
ergiebt sich leicht der Satz: 

2.) »Ist c[x) relativ prim zu m und fr(;r). jrj(jr) eh i (mod. m), so 

ist jr,(rr)=^^ (mod. mp 

Sind r und s nach dem Modul m congruente und endliche Zahlen, 
so sind auch r* und 6'" congruent und endlich fUr jeden positiven ganz- 
zahligen Exponenten n. Daraus folgt: 

3.) »Sind r und s nach dem Modul m congruente und endliche 
Zahlen, so ist 

^{rx)EZ^(sx) (mod. m) 

wenn fr(^) nach dem Modul m endlich ist.» 

Zwischen den Potenzreihen (3) und (4) möge jetzt die Congruenz (5) 
bestehen. Ferner sei 

(7) Xi^) = i. + i.fi+ hjl+ •-' + C^+ ■-' 

eine (mod. m) endliche Potenzreihe. Ein Blick auf die Gleichungen 



XJber die Anzahl der Classen binärcr quadratischer Formen von negativer Determinante. 359 

.t 



(8) 



« . / . . . . . v « 



^{x)x{x) = r,t, + {r,t, + r.^Jj^ + (r,<, + 2r,<, + rj,)v^ + 



X . , . . . . . v «• 



^(ir);f(rr) = s,t, + (,9,<^ + Ä.^Jrj: + {s,t, + 2S,t, + s,t,)r^ + 



lehrt dann, dass die Potenzreihen ^{x)x{x) und (p{X')x{^) (»^nod. m) con- 

gruent sind. Es besteht also der Satz: 

4.) Dist y{x) = <p{x) (mod. m) und )^{x) endlich nach dem Modul m, 

80 ist auch ^{x)x{x)^ (p{x)x{x) (mod. m). 

Combinirt man hiermit den Satz i.), so erhält man 

5.) Dist ip{x) = il)[x) (mod. m) und /(a;) relativ prim zu w, so ist 

Sind jr(ir) und <p[x) congruent (mod. m) und relativ prim zu m, 
bezeichnen ferner för einen Augenblick <f^{x) und <p^{x) die Potenzreihen 

—-T bez. —7— T, 80 folgt aus ip{x)^(}){x) (mod. w) nach Satz 4.) 

I = j^(rr)f^(rr) = ^(ic)f?j(rc) (mod. m) 

und hieraus nach Satz 2.) ^^[x)^^^ix) (mod. m). D. h. 

6.) ]S)Ist f2)(ic) = ^(a;) (mod. w) und f{x) relativ prim zu w, so ist 

auch —;—r = -T-r-r (mod. m)». 

Es seien jetzt y{x) , ^(a;) , f^,(x) , (p^{x) irgend vier Potenzreihen mit 
rationalen CoefFicienten und 



(9) 



^{x)= (p{x) (mod. m), 

(p ^[x) ^ (p ^{x) (mod. m) 

Dann gelten för die Combination dieser Congruenzen durch Addition, 
Subtraction, Multiplication und Division folgende Gesetze: 
7.) Aus den Congruenzen (9) darf man folgern 

a) die Congruenzen ^[x) ±<p^{x) = ^{x) + (l)^[x) (mod. m) ohne jede 
Einschränkung; 

b) die Congruenz ^{x)^^{x)^(p{x)(p^{x) (mod. m), wenn f{x) und 
y^[x) endlich sind modulo m\ 

c) die Congruenz '^j^^j^ (mod. m), wenn ^^{x) endlich (mod. m) 
und f>{x) relativ prim zu m ist. 



360 A. Hurwitz. 

Schliesslich habe ich noch einen in der Folge wiederholt zur An- 
wendung gelangenden Satz zu entwickeln, der sich auf die Frage bezieht, 
in wie weit eine Congruenz <p[x)^^{x) (mod. m) durch eine mit a; ver- 
schwindende Potenzreihe /(^r) dividirbar ist. Ich nehme an, dass x{^) 
von der ersten Ordnung verschwindet, dass also 



«* . . «=* 



X{^)-t,^ + Kr^+ ^|^ + --- 



ist, wo /, von Null verschieden. Ferner setze ich voraus, dass f{or) und 
<l>{x) fOr re = o verschwinden, also r^ und s^ in den Entwicklungen (3) 
und (4) Null sind. Ist nun 

|^= ^i(aj) = 5; + s[x + 5j^ + ..., 

so folgt aus der Annahme f{x) = 4^{x)^ öder fi{x)x{oc) = <l^^{^)x{^) (niod. m), 
dass die Zahlen 

der Reihe nach (mod. m) congruent sind den Zahlen 

Hieraus ergiebt sich successive rj = 5j , rj == sJ , . . . , rp_i = s'^_^ (mod. m) 
unter der Annahme, dass ^^ , 2<j , 3^^ , . . . , (p — i)^^ relativ prim zu m 
und t^^ t^^ . . . jtp endlich nach dem Modul m sind. Die erstere An- 
nahme ist erfoUt, wenn t^ relativ prim zu m und jp die kleinste in m 
aufgehende Primzahl ist. Hiernach känn man folgenden Satz aussprechen: 
8.) »Sind (f{x) und ([^{x) mit x verschwindende Potenzreihen und ist 



«* . . X' 



I— 1^ 

endlich nach dem Modul w, während zugleich t^ relativ prim zu m ist, 
80 folgt aus dem Bestehen der Congruenz 

y[x)^<p{x) (mod. m\ 



Ober die AnE&bl der Cluaen biDArer qn&dratiiober PormoD vod Degkliver DetermiDante. 30 1 

dasB die Oongruenz 

f^=m (niod. m) 
7M) TÅ") ^ ' 

bis zu den Gliedern (p — i)""' Ordnung glit, unter p die kleinste in m 
aufgehende Pritnzahl verstanden.» 



Ehe ich zu dem eigentlichen Gegenstande dieser Abhandlung Ober- 
gehe, will ich die Sätze der vorigen Nummer an einigen Beispielen er- 
lautern. 

Nach dem Modul 3 bestehen (Satz 3.) der vorigen Nummer) die Con- 
gruenzen 

C083«=i, co82a; = co8( — a:) = coBa (mod. 3). 

Die elementare Gleichung cobj;{2 cosaa; — 1) = 00333;, ergiebt daher die 
Coogruenz 

co8a;(2co8a; — O—' (mod. 3). 

Älso ist (nach Satz 2. öder 5. der vorigen Nummer)' 

(O '^^^'^^^^~ ' = — (' + cosa;) (mod. 3). 

Der CoeflFieient von jTt-: auf der linken Seite dieaer Congruenz ist die 

Euler'sche Zahl yS,, auf der rechten Seite ist deraelbe ( — 1)"+'. Man 
erhalt also den bekannten Satz, nach welcbem die Euler^sche Zahl yS, von 
der Form 3Ä — i öder 3A;+ i ist, je nachdem w gerade öder ungerade ist. 
In ähnlicher Weise ergiebt sich die Congruenz 

(2) = I + 2 cosa; — 2 cos 2a: (mod. 5), 

welche den Satz enthält, dass die EulerVhe Zahl ^, h 1 öder o (mod. 5) 
ist, je nachdem « ungerade öder gerade ist Aus der Congruenz 

sin a; cos a; = - sin 2a; = a; (mod. 4) 

Mm omUmmNh. 19. InpHrn» la SI JuUlat 18». 40 



362 A. Hurwitz. 



folgt 

X 



C08 X 



= 8ina; (mod. 4). 



OJ^^ + l 

Da der Coeflficient von — — tt auf der linken Seite 



2n + 1 



(2W+ l)y?n = (— iTl^n (mod. 4), 

auf der rechten Seite ( — i)" ist, so besagt diese Congruenz, dass die 
Euler^schen Zahlen sJlmmtlich = i (mod. 4) sind. 

Multiplicirt man die vorstehenden Congruenzen (i) und (2) mit sin a?, 
so erhält man 



— = — (sin a: + - sin 2a? j = — (sin x + sin x) = sin x (mod. 3), 



sm a; 
cos 



= sinir + sin 2x — sin ^x + sin,r = 2 (sin a? + sin 2x) (mod. 5). 



cos X 



D. h. der Tangentencoeflficient a„ ist = i öder 2 nach den Moduln 3 und 
5 (uiid also nach dem Modul 15) je nachdem n ungerade öder gerade 
ist. Um den Rest von a„ (mod. 8) zu beurtheilen, bemerke man dass 

4 3 + 4 cos 2» + cos 4a; . 1 o\ 

cos*;r = -^^ jT ^— =1 (mod. 8), 

folglich 

sina; . * 2 sin 2a; + sin 4a; a;* , j o\ 

= sma;cos a:= 5 =x — 2p- (mod. 8) 

cos X o 3 

ist. Der TangentencoefFicient a„ ist also durch 8 theilbar, sobald w> 2.' 
Ähnliche Sätze gclten fiir die EntwicklungscoefFicienten ;-„ und <?,, der 

sin a? cos a? 

Functionen -^— und — ^— . Beispielsweise folfft aus der Congruenz 

cos 2a; cos 2r v ° ° 



22«(22» — l) 

^ Dicso Thatsaclie geht Ubrigcns auch aus der Gleichung «« = B„ 

2n 

hcrvor, nach welcher 2-" ^ ~^ die höehste io a^ aufgeheude Potenz von 2 ist, wenn 2^ die 
höchste in n aufgchende Potenz von 2 bezeichnct. 

Wcgen der auf die Tangentencocfficicnten und Euler schen Zahlen bezUglichen Con- 
gruenzen vergleiche man die Vorlesungen tiber die BernouIIischen Zahlen von L. Saal- 
scHt^TZ (Berlin 1893), in welchen auch die Litteratur angegeben ist. 



Uber die Anzahl der Classeo binärer quadratischer Formen von negativer Determinante. 363 

cos 20? = I — 2x^ (mod. 8), 



I 



I 



cos 2X I — 2x 



,= I + ^'^^ (mod. 8) 



und hieraus weiter 



sm X 
cos 2X 

cosaj 
cos 2X 



= sin x{i + 2a;') 
= cosa?(i + 2X^) 



(mod. 8). 



Die letzten Congruenzen besagen, dass /-»ni öder 3 (mod. 8) und o„ = 3 
öder I (mod. 8) ist, je nachdem der Index n ungerade öder gerade ist. 



r^ i 



p' gesetzt 



4. 

Wenn p eine Primzahl ist und zur Abkörzung 
wird, so hat man die Congruenz 

(-•)=s'''Onod. p). 

Daher wird fur den Fall, dass p ~ 3 (mod. 4) ist, 

1i[p) = iP' + 2^' + 3^' + . . . + p'''' (mod. p). 
Die auf der rechten Seite dieser Congruenz befindliche Zahl ist nichts 



p'-\ 



^c" 



anderes wie der Coefficient von ( — i) ' . — r in der Entwicklung der 
Function 



jr(ir) = sinrr + sin 2i: -f • • • + s\x\p'x = 



Nun ist nach dem Modul p 



1 2^ 

cos - X — cos - X 

2 2 

. I 

2 sm - X 

2 



I p I 
cos -X — cos -x = cos -X I 

2 2 2 



364 A. HurwitE. 

und nach dem Satze 8 in N^ 2 ist die ConGrruenz 

o 

1 . « 

C08 - X — I 8in - 

p{^) = — ^-l — =—{ — ^ (^^' p) 

2 sin - X cos - 

2 4 

bis zu den Gliedern (jp — i)*^' Ordnung gQltig. Also ist h{p) nach dem 
Modul p dem Coefificienten von ( — i) ' .pr in der Entwicklung von 

tg - congruent. Da dieser CoefFicient sich modulo p nicht andert, wenn 

X durch 40; ersetzt wird, weil er dadurch den Factor 4^' = 2^~' = i (rnoA p) 

erhalt, so ist auch h{p) dem mit ( — i) * = ( — i) * multiplicirten 

^ • . i 

Coefficienten von r-r in der Entwicklung von -tgrr congruent, welches die 

Behauptung des Satzes i in N^ i ist. 

Ist p eine Primzahl von der Form 4n + i, so wird 

Ä(P) = 2/ !"• + 2^' + . . . + (^)' y (mod. p). 

Die rechte Seite dieser Congruenz ist der Coefficient von ( — i)*. Y~; in 
der Entwicklung von 



9 



[x) = 2(cosa; + cos2rc + . . . + cos— rrj = — i + 



sill X 



. I 

sm -o; 
2 



Bis zu den Gliedern von der Ordnung p — i ist aber 



I 
sui- z 



f>(a;) = — I H 7- = — ' + T ("^o^- -P)- 



sm -z 2 cos - X 

2 4 



Diese Congruenz enthält den Satz 2. von N° i, wenn man die Bemerkung 
hinzunimmt, dass der Coefficient von t—' sich modulo r> nicht andert, falls 
X durch 4J? ersetzt wird. 



Cber die Anzahl der Classeo bioärer quadratischer Formen vod Degativer DeterminaDte. 365 

Ist p eine Prirazahl von der Form 4n + 3> so hat man 

Sctf iw to 

M^.)=^i(/,)=-'s:C')-^i(,'). {"-y} 

Die Summation in den beiden letzten Summen ist zu erstrecken auf die 

2^hlen 

s = I , 2 , . . . , Ä bezöglich 5 = i , 2 , . . . , A 

wo 

ifc = 3P^, Ä=?-Jr_3 öder k = '-P-^ , h =^l^-^ 

ist, je nachdem ^ = 3 öder = 7 (mod. 8) ist. 

Die Classenzahl h{2p) ist nun (mod. p) congruent dem Coeflficienten 



von ( — i) ^ ~T^ in der Entwicklung von 



k h CO8 ih + -\x — CCS i k + - j, 

^{x) = ^yr sin(5rr) — 2^ 8in(sj;) = ^^ — 



sm -a? 
2 



Bis zu den Gliedern von der Ordnung p — i ist aber 

13 31 

CO8 -X — COS ^ X COS ^ « — CCS ^ « 

f2)(a;) = öder (mod. p) 

sin - X sin - a? 

2 2 

je nachdem jp = 3 öder = 7 (mod. 8). Ferner ist 

3 I .1 

COS Q « — COS t; X sin - « 

00 o 



. I I 

sm - X COS - « 

2 4 

Ersetzt man nun x durch 8rr, so wird sich der CoefFicient von i — nicht 

andern (mod. p\ wenn p=^ (mod. 8) ist, dagegen den Factor — i (mod. p) 
erhalten, wenn ^ = 3 (mod. 8) ist, weil im ersteren Falle 2 quadratischer 
Rest, im letzteren Falle quadratischer Nichtrest von p ist. Hiernach 
leuchtet ein, dass in beiden Fallen A(2jp) nach dem Modul p congruent 



366 



A. Hurwitz. 



p'-i 



;'+i 



dem mit ( — i) ^ = ( — i) * multiplicirten Coefiicienten von — - in der 



sm X 

Entwicklung von ist. 

^ CCS 2.C 



Ist endlich p eine Primzahl von der Form 4n + ^j so hat man 



h{2p) = 2 






(«. = y) 



oder, da ^ (-) verschwindet; 



h{2p) = 2 



tu 3«# 

? iv) + ? C") 



Die Classenzahl h{2p) ist daher nach dem Modul ^ congruent dem Coeffi- 



^ XP 



cienten von ( — i)^. — r in der Entwicklung von 



^(^x) = 2 5r cossi; + 2 5r COSSX = — 1 + 



Jc^l 



E 



sin ( Ä; + - j« + sin ( Ä. + - ) 



. 1 
sm- X 
2 



wobei 



A=^, Ä^^lL^ oder Ä=?i:;:i, Ä=:^ 



3/^ — 7 



8 ' 



8 



8 



8 



zu nehmen ist, je nachdem p = i oder = 5 (mod. 8) ist. 
Bis zu den Gliedern {p — i/" Ordnung ist nun 



^{x) = — i + 



I 

COS- i« 
o 

I 
C08- X 

4 



oder = — I — 



1 
cos- « 

o 

1 

CCS- X 

4 



(mod. jp), 



je nachdem p = i oder = 5 (mod. 8) ist, und hieraus geht durch eine 
ähnliche Oberlegung, wie oben (indem man x durch Sx ersetzfc), die Rich- 
tigkeit des Satzes 4. in N® i hervor. 



Ober die Aozahl der Classcn binärer quadratischer Formen von ncgativer De term i DaD te. 367 



5. 

Die Sätze dieser Nummer beziehen sich auf die Classenzahl Ä(P), 
wo P mehrere Primfactoren enthalt und = 3 (mod. 4) ist. Ich zerlege 
P in zwei Factoren p und g, setze also 

tFber diese Factoren mache ich vorlaufig nur die Voraussetzung, dass sie 
beide grösser als i sind. 
Nun ist 

Mi>)=r(^)=rö©' 

WO der Summationsbuchstabe s alle zwischen o und -pq liegenden ganzen 

Zahlen durchlaufen muss. Tndem ich diejenigen Glieder der Summe zu- 
sammenfasse, die modulo q congruenten Werthen von s entsprechen, er- 
halte ich 

odcr körzer: 



MP)"É©He-^) 



Die innere Summation erstreckt sich dabei uber diejenigen Werthe von 
k, ftlr welche nk + i zwischen o und — , also k zwischen und 

2 q 

^ = h ( ) liegt. Es nimmt also k die Werthe 0,1,2, ..., - — 

2 q 2 ^ \2 q) ^ ^ ' * ' 2 

an, wenn i < - , dagegen die Werthe 0,1,2,..., i , wenn i > - . 

Daher ist 



568 



A. Harwitx. 



In der zweiten Summe ersetze ich t durch q 
wendung der Gleichang ( — ) = ( — )( — j 



t und erhalte unter An- 






Da nun die Zahl t + 9^ ^in vollståndiges Restsystem (mod. p) darchläuft, 
wenn k alle ganze Zahlcn zwischen — - und + - annimmt, so ist 



(O 



mp^/)=4C-)?(-V^) 



Eft »ei jctzt p eine Priinzahl von der Form 4n + 3. Dann lehrt die vor- 



»tehende Glcichung, dass 



hiprj) = {-iy 



7 






(mod. p) 



ist, wo die gcschwungene Klämmer den Coeflficienten von 



til 

3 



P— « 



in der 



Kntwicklung der oingeklammerten Function bedeutet Nun ist weiter för 
j(»den W(;rtli von a und b und jedes ganzzahlige positive m: 



m 



cos 



(S) 



2 V flin (a + &Ä;) = 



(a 61 — cos (a+(m + -j6i 



o 



sm- h 
2 



. m + I 
sm b 



= 2 



sm -o 

2 



flin (« + ^ ^) 



tTber die Anzahl der Classon binäror quadratischer Formen von negativer DeterminaDte. 3G9 

und daher bis zu den Gliedern {p — i)**' Ordnung 



3 



2 sin - qx 



2yt^sir\{i + qk)x = _1_ pin ^i — iy^rr = — ^ — sin (i — -q)x (mod. p). 



sm - qx 



cos- qx 
4 



Aus dieser Congruenz ergiebt sich fttr die Classenzahl h[pg) zunftchst: 



p-Z 



h{pg) = {-!)* 



!_£(l)«in(i_i,) 



X 



COS - qx 
4 



(mod. p). 



Hier darf offenbar x durch 4X und f-j durch (- -j oder auch durch 



I- ) ersetzt werden. Daher ist 



;'+i 



«(m)=(-i)' 



-i 

%ax L^ 



q — 4* 



cos^^ 



-J8in(y — 4i) 



X 



cos q 



— \i (— -] sin Ui — q)x 

^qx Lm^ \ q I 



4 



(mod. p), 



Da in der ersten Sumrae q — \% alle zwischen q und o liegende Zahlen, 
die = g = I (mod. 4) sind, durchlauft, in der zweiten Summe 4* — q 
alle zwichen o und q liegende Zahlen, die = — ? = 3 (mod. 4) sind, so 
ist in der vorstehenden Congruenz der Satz enthalten: 

I. Es set q=i {mod. 4) eine durch kein Quadrat ausser i theilbare 
positive Zahl grösser als i. 
Ferner sei 



^(^) = 33F^ [Q «'° ^ - © «■•" 3^ + G") '•" ^^ 



+ ... 



'5-2 



) sin (5- — 2)x 



Ada malkemaliea. 19. Imprini^ le C aoht 1895. 



47 



370 



A. Hurwits. 



und die EntwicTdung dieser Function nach Potenzen von x laufe 



2n — I 



Bezeichnet dann jp = 3 {mod, 4) eine in q nicht aufgehende Primzahl, so ist 



p+i 



h{pq)={— t) ' c^+i (mod. p). 



Beispielsweise werden also die Reste der Classenzahlen h{$p) (modulo p) 

^wto sm OR I sin ^x 

durch die Entwicklungscoeflficienten der Function — bestimmt. 

^ CCS 5aj 

lat zweitens p eine Primzahl von der Form 4»+ i, so hat man 
nach (i) 



p-i 



ä'' 



h{pq) = {—i)' \2'£(-)'£cos{i+qk)x 



Mit Benutzung der bekannten Gleichung 



(mod. p). 



m 



(C) 



2 V cos {a + hk) = 



sin ia + (wi+-J6J — sin la b\ 



sin -o 
2 



. m + I , 
sm 6 



= 2 



sin- 6 

2 



cos (a H 6) 



findet man nun, dass bis zu den Gliedern der Ordnung p — i 



i^ 



2 2 cos (i + qk)x 



_cos(i-'-q) 



X 



I 
cos - gx 

4 



ist. Hieraus schliesst man weiter 



p-i 



.h{pq)={-l)* 



— "Vf— ) cos (4?' — q)x 

3 qx ^ \q / ^ ' ' 



cos^a; 



(mod. p), 



t)ber die Aozahl der ClasseD bioärer quadratisoher Formea von negativer Determioante. 371 

und da 



;:» ^9 



1 

+ S (^T^) ^^^ ^"^^ ■" *^^ 



4« 



ist, 80 enthält die vorstehende Congruenz den Satz: 

IL Es sei y = 3 {mod. 4) eine durch kein Quadrat theilbare positive 
ZaM grösser als i. 
Femer sei 

^(^) = ^ [G) "^'^ - © "^' 3^ + (D C08 5a; - + . . . 

und die Entwicklung dieser Function nach Potenzen von x laute 

9{^) =^0 +eJi^ + c,^+ ... +^«^ + ---- 
Bezeichnet dann p = i {mod. 4) eine in q nicht aufgéhende Primzafd, so ist 

h{pq)= (— i) ' c^_i (mod. p). 



Fiir den einfachsten Fall q = 3 känn man diesem Satze, da h{3p) 
stets kleiner als p ist, die bestimmtere Fassung geben: 

Ist p eine Primzahl von der Form 4n + i, ist ferner 

cosaj . »' . .05^* 



CCS 3ar 



— ^0 T- ^1 r; » ' • • I ^« ^.„ "T • • • 5 



2)1 



50 stimmt die Classenzdhl Ä(3jp) wi< de/w kleinsten positiven Rest von 



p-\ 



{ — i) * Cj,_i {mod. p) iiherein. 



372 A. Hurwitz. 



6. 

Wenn P = i (mod. 4) ist und P in zwei Factoren p und q zerlegt 
wird, so findet man 



M^)-4(i)2C^). 



wo die in nere Summation ttber alle ganzen Zahlen k zu erstreeken ist, 
fOr welche i + jA; zwiscben o und -pq liegt, also tiber alle ganzen Zahlen 

Ä, die zwiscben und -p liegen. 

Icb trenne jetzt die FäUc p = q=i (mod. 4) und jp = g = 3 (mod. 4). 
Im ersten Falle muss k die Wcrtbe o, i,...; öder o, 1 ,..., 



P- I 



I durcblaufen, je nacbdem i < - öder i>- ist. Daber kommt 



4 " 4 4 

1 ^ I __ 

Ersetzt man in denjenigen Tlieilen der Summe, in welcben i > - ist, i 
durch q — i, so erbält man nacb leicliten Umformungen: 

C) "(«)-|(i)i(^)+40?(^> 



__p _, -,.p 



{p = q=i (mod. 4)). 
Im zweiten Falle findet man in äbnlicber Weise: 



11 11 

77 v/» T^ 7P 



W '.w = ^£(^)SC^) + ^£(j)S(^) 



{p = q = l (mod. 4)). 



tTber die Anzahl der Classeo binttrer quadratisoher Formeo von oegativor DctermiDantc. 373 

Un ter der Voraussetzung, dass p eine Primzahl ist, findet iin ersten Falle 
die Congruenz 



(^0 



p-ii v 



h{pg) = {—i)* \ 2^ (^)'^co6 {i + qk)x 

I o ^' 1 



-«" 



+ ^£G)S coå{i-{-qk)x 



4» 



-r" 



(tnod. p) 



im zweiten Falle die Congruenz 



(2') 



P-» 



h{pg)^{-i)* 



4» . i"' 
o ^"' 1 

-4" 



1 



'* i\ *" 

+ 2 2 (j V sin (i + (jk)x 



4.-. 



(mod. jp) 



statt. Dabei bedeutet die geschwungene Klämmer, wie oben, den Coeffi- 



cienten von 



X 



p—l 



in der Entvvicklung der eingeklamraerten Function. 



Diese Congruenzen lassen sich mit Hftlfe der Formeln (S) und (C) der 
vorigen Nummer und der Sätze von N° 2 in die folgenden einfacheren Con- 
gruenzen ttberftihren: 



p-\ 



Mh)^(-0^ 






cos qx ^-' \ q 



cos 4tX 



V (-^ ) 008(20^ 41) 

COS qx ^ \ 9. / 



X 



(mod. p) 



374 
bezOglich 



A. Harwitz. 



h{pg) = {-iy 



i- v 



(iOSqx^\q 



(f)'' 



Sin 41X 



H 5 — V ( ^ "" "^^ ) sin hq — 4i)x 

cos qx ^ \ q ) ^ ^ ^ ' 



(mod. jp). 



Diese Congruenzen enthalten nun folgende Satze, die sich den Sätzen I. 
und II. der vorigen Nummer an die Seite stellen: 

III. Es sei q=i {mod. 4) eine durch kein Quadrat atisser i theilbare 
positive Zdhl grösser als i. Ferner sei 

und die Entwicklung dieser Function nach Potenzen von x laute 

■ 

X* X^* 

Bezeichnet dann p= \ {mod. 4) eine in q nicht aufgéliende Primzahl, so ist 

h{pq) = {— \) ^ Cj^ (mod. p). 

IV. Es sei q = S {mod. 4) eine durch kein Quadrat ausser i theilbare 
positive Zahl grösser als i. Ferner sei 



^^''^ = -^. [(j) '"' '^ - it) ''" 4^ + © '•" ^"^ 

+ (^^)6in(2— i)a;J 



+ ..• 



und die Entwicklung dieser Function nach Potenzen von x laute. 



2» — I 



t^ber die Ansahl der Classen binirer quadratiseber FormeD von Degativcr DeterminaDte. 375 

Bezekhnet dann p=Z {mod. 4) eine in q nicht aufgehende Primzahly so ist 

?=! 

Ä(W) = (— O * c^ (mod. p). 

4 

In dem besonderen Falle q = Z hat man den bestiinmteren Satz, 
dass — unter p eine von 3 verschiedene Primzahl der Form 4^ + 3 
verstanden — die Classenzahl Ä(3p) gleich ist dem kleinsten positiven 

Reste von ( — i) * c^^., (mod. jt)), wenn c^ den CoefFicienten von 

~4~ 

SlU 2flB 

in der Potenzentwicklune: von bezeichnet. 

^ cos 3» 



2n — I 



7. 

Analoge Sfttze, wie sie ftlr die Classenzahl h{pq) in den letzten 
beiden Nummern aufgestellt sind, bestehen ftlr die Classenzahl h[2pq). 
Ich gebe diese Satze hier an, gehe jedoch auf ihre Beweise nicht ein, da 
die letzteren ziemlich umstandlich sind, ohne gegenttber den Beweisen der 
Satze in N® 5 und 6 neue Momente darzubieten. Die Sätze la u ten fol- 
gendermassen : 

V. Es sei q=i {mod. 4) eine durch kein Quadrat ausser i theUbare 
positive Zahl grösser als i. Femer sei 

^^ (^) = ^ [© "^' ^ - (^) ^^' 3^ - (^) '^^ 5.r + (^) cos 7^ + . . . 



9 
tind 



4- (-^ ) cos (25 — i)x 






376 A. Hurwitz. 

/In 

2n 



Der Coefficient von r— in der Potenzenhmcklung von ^^{x) werde mit c^. 



aj2n-l 



der Coefficient von ^ _ -^ in der Entwicklung von y^{x) mit d^ bezeichnet. 



Ist dann p eine nicht in q aiifgehende Primzahly so bestelit die Gon- 
gruenz 



p-\ 



h{2pq) = { — i) * ^p_, (mod. p) 



öder die Congruenz 



h{2p(j) = {— i) * dpj^ (mod. p), 

je nachdem p = i öder = 3 {mod. 4) ist. 

yi. Es sei (7 ~ 3 {mod. 4) eine durch kein Quadrat au^ser i theUbare 
positive Zahl grösser als i. Ferner sei 

^.(^) ==^J.G)*=^'^ + ©'^««3^- (^)co8 5:r - (^)cos7.t + . . . 

— \~-^) co8(2<7 — i)a;], 

— {^^Y^) «'" (2? — Oa?] 



+ 



wwrf die Coefficienten von -7- bez. — in den Potenzenttmcklungen von 



^j(.t) bez. f>^{x) mogen mit c^ bez. d„ bezeichnet tverden. 

Ist dann p eine nicht in q aufgehende PrhnzaM, so besteht die Con- 
gruenz 



p-» 



h{2pq):^{— i) * Cp_, (mod. p) 



öder die Conqruenz 



h{2pq) = {— 1) * rf^+i (mod. p), 



je nachdem p = i öder = 3 {mod. 4) ist. 



t)ber die Anzahl der Classeo biiiärcr qiiadrarischcr Formen von negativor Deterniinantc. 377 

In (lem besondern Falle 7 = 3 wird f, (^) = ~~~7 — ""^ 

c o o \jJC 

sill jc I sin Cjj 

<pjx) = > und durch die Conorruenzen des Satzes VI sind die 

'^ ^ ^ ' CO8 oz ^ 

Classenzahlen h{6p) vollkomirieii bestiinmt, da sie die Zalil p nicht ttber- 
schreiten kOnuen. 



8. 

Die vorstehend entwickelten Sätze gestalten eine Ergänzung dadurch, 
dass man das Verhalten der Classenzahlen in Bezug auf die Potenzen 
von 2 als Moduln in Rftcksicht zielit. Die Theorie der Genera lehrt in 
dieser Hinsicht Folgendes.^ Wenn X die Zahl der Primfactoren bezeichnet, 
aus denen sich P zusammensetzt, so ist h[P) durch 2^"^ öder 2^ theilbar, 
je nachdem P=3 öder =1 (mod. 4) ist, wilhrend h{2P) stets durch 
2* theilbar ist. Bedeutet nanilich hg{P) die Anzahl der Glassen eigentlich 
primitiver positiver Formen der Determinante — P, die in dem einzelnen 
Genus enthalten sind, so ist bekanntlich 

KiJ') =:i-x^>{n wenn P = 3 (mod. 4), 
K^n -iiHn wenn P~ i (mod. 4), 

h,i2P)=U[2P). 

Man känn aber hierOber hinaus in den Fallen X = i und A = 2 in ein- 
facher Weise entscheiden, ob K{P) bez. hg{2P) congruent o öder i (mod. 2) 
ist, ob also das einzelne Genus eine gerade öder ungerade Anzahl von 
Glassen umfasst. 

Wenn zunilchst >l = i, also P = p eine Priinzahl ist, so bestehen die 
folgenden Gon«;ruenzen: 



* DiRicHLET, Vorlesungen iibei' ZaJdenlheorie. (Siii>i>leujeot IV.) 

Acta mathematiea. V.i. I m pri ni é le 7 au&t 1895. 48 



378 



A. Hurwitz. 



Kip) = ''(/')= « 0"OC1. 2), 



wenn p = 3 (mod. 4), ' 



K{P) = 



I 
2 



i> — I 

h{p) = ' (mod. 2), weiin p— i (mod. 4), 



Wcnn A = 2, also 2^ = 2)7 ist, wo /> uiid 7 zwei von eiimider ver- 
schiedenc ungernde Primzalileii sind, so hängt der Rest von hg{P) resp. 
hg{2P) (mod. 2) elnerseits von dem Werthe des Legendre'schen Zeichens 

(-), andererseits von den Resten der Zahlen p und q (mod. 8) ab. In 

jedeni einzelncn Falle lehren die folgenden beiden Tabellen, ob h^{pq) 
bez. 1h,{2pq) eine gerade öder ungerade Zahl ist. In den Tabellen be- 

deutet e die AbkOrzung ffir - ( i — (-) j, es ist also 

B = o öder s =^ i, 
je nacbdem p quadratischer Rest öder Cjuadratischer Nichtrest von q ist. 

Tabelle fiir die Reste von h,j{pq) nach dem Modul 2. 





7 I 


£ 


7 - 5 


(/ 7 

c 


p I 





te» 


;^ -3 


s 


I 


£ 



c 


p -5 


£ 


£ 


s 


P ■= 7 


£ 


I — £ 


£ 






Die Einriehtung der Tabelle ist diese: In dem einzelnen Felde der 
Tabelle findet sieh der Rest von hg{pq) (mod. 2), so oft p nnd q nach 



* Naoli dom Modul 4 int h{i)) —. 



od. , JO nachdcni 



1> — i 



-+ I 



odcr — I (uiod. ji) ist. Vgl. Jacohi, Ohservatio arilhnieiiea de numrro clnsitium divi- 
sorum etc, Crelles Journal, Bd. 9 öder Werke, Bd. 6 pas. 240. 



0ber die Anzahl der Glassen binärer quadratischer Formen von negativtr Determinante. 379 

dom Modul 8 die Congruenzeii befriedigen, welche die in dem Felde sich 
kreuzenden Horizontal- bez. Verticalreihcii characterisiren. Beispielsweise 
ist hg{pq)^iS (mod. 2) falls j) = 3 und 5' = 5 (mod. 8) ist. Die Anzahl 
der im eiDzelnen Genus enthaltenen Glassen ist dann also gerade öder un- 
gerado, je nachdem p Rest öder Nichtrest von q ist. 

In der gleichen Weise ist die folgende Tabelle eingerichtet: 



Tabelle fiir die Reste von lKj{2p(]) = -h{2pq) nach dem Modul 2. 





(1 ^ 


(7 3 


q 5 


^/-7 


p I 





£ 


£ 





1> 3 


e 





I 


£ 


P 5 


s 


I 


I 


£ 


P -1 





I £ 


£ 






Was die Beweise dieser auf die Zahlen hg bezuglichen Sätze angeht, 
so niötre es genttircn, einen besonderen Fall zu betrachten, bei welehem 
das Princip der Beweise klar hervortritt. 

Es sei F = i)q= i (mod. 4) das Produkt zweier Prinizuhlen; dann ist 



K = K{^pq) = '^^^{^i^j) =1 






Wenn nun die Anzahl der eJacobi^schen Zeiehen ( — ), die den Werth + i 

\pq/ 

bezuglich — i besitzen, in der ersten Summe mit Ä bezttglich i?, in der 
zweiten Summe mit Ä' bezQglich /?' bezeichnet wird, so ist 

h, = '-{A-Ii + A' - B') = 1{A + B) + '-{A' + B') - {B + B'). 
Die Zahlen 'A -]- B und A' + B' geben an, wie viele Znlilen s zwischen 



380 A. Iluiwitz. 



O und pq bez. zwischen o uiid -pq liegeii, die wcder durch p iioch 
durch (j theilbar sind. Dalier ist 

^ + » = m - ps] - [y- 

^. + ^. . [ipj _ [!'] _ L^^j, 

wenn allgeinein [.c] die grösste iii x enthaltene ganze Zahl bezeichnet. 
Uin den Rest von A^, (mod 2) zu bcstimmen, ist cs hiernach nur noch 
erfordurlich, festzustellcii, ob B + Ii' gcrade öder uiigcrade ist. 
Zu dem Ende bQtraclite ich das Produkt 



"=n(Ä)nG:5). 

wo 5j bez. 5^ alle zu /y/ tlieilerfremden Zahleii durchläuft, die zwischen 

o und -^2^(1 ^^*z- o und ^pq liegen. Offenbar ist //= ( — i)'*^* und daher 

B '\- B' gerade öder ungerade, je nachdem //=-{' 1 öder — 1 ist. Das 
Produkt // zerfällt nun in die beiden Produkte 

"'=n(=;)n©. 

Die Zahlen 6^^ zusaminen mit den zwischen o und ^pq liegenden und 
durch q theilbaren Zahlen 



7 , 2y, . . . , a/y, 



hissen sich in Iblgender Weise anordnen: 



(". = Kl) 



I , 2 , . . . , p— I , 

P+i,P+2,...,2p— 1, 

kp-\- I , kp+ 2 , . . . , kp + a,, 



t)bcr dic Aiizahl dor Glassen binärer quadrutiechcr FormcD vod negativei* Dctcrmioautc. 381 



WO k = 



7 
8 



uikI a,^ = 'll^ — p\ I ist. Nach dem WilsonVchen Lelir- 



satz wird daher 



oder 

In aiialogtM* Weiöc lässt sieh TT( ") umfoniien, und so findet inan schliesslich 



"- = (^) 



n [;]*[?] ,A[a*[?]/|», 



(1) 



/ 1-^ J^ [.IJJ J!i \ 



WO aj , a^ , ^3 , a^ die folgende Bedeutung haben 

Wenn nun r/ = i oder 3 (mod. 8), so ergiebt sich leicht, dass a^ =^ a^ 
a^ = ^3 oder a^ = a^ , a^ = ^j und dalier 



a, a^ 



^)- 



=^ + I ist. 



3/. 

8 



Dasselbe Legendre'sclie Zeichen hat dagegen den Wertli (--— ) > 

wenn (/ = 5 oder 7 (mod. 8) ist. Denn in diescn Fallen ist a^ = -/^ , 

». - 1 ?] »■>" «. = ff j. «. = m 

Aus dem Wilson^schen Satze folgt aber, dass 



l;l 



[fj [fj^t- ')'" "'"i [f] [fh(- 'r' (-i ^) i»'- 



[*fl 



Zusammenfassend känn man sägen, dass 

,x[ll4?]/±,\[fl*[¥ 



"' = (^) 



It 



382 



A. Hurwiiz 



ist, wo dus (loppelte Vorzi»icheii iinch dcM* Mjissgabe zu bestirninon ist, 
dass +7—1 odcT 3 (mod. 8) wird. Iii entsprcchender Weise hut nuni 
luitiirlich 

q 

• I ^ 

/ ± 7M 



'^-(f)"^ 



-^' 



\ (/ / 



M7 

8 



WO das doppclte Vorzeichcn wieder durch die Forderung + /; ze i öder 
3 (mod. 8) zu bestimmen ist. 

Hiernnch känn man fiir den Fall m = i (mod. 4) den Rest von 
K,{2i)q) (mod. 2) leicht feststellen, wenn die Reste von p und q (mod. 8) 

sowie das Vorzeichen (-] bekannt sind. Unterscheidet man je naeh den 

Resten von p und q (mod. 8) einzelne UnterfVille, so ergeben sieli die in 
der zweiten Tabelle auf die Falle ^=1,5; (/ee i , 5 und j9 ze 3 , 7; 
7 3EH3,7 (mod. 8) bezQglichen Angaben. 



9. 

Mit Hilfe der Sätze von N° 8 lassen sich die Resultate der frHheren 
Nummern noch ein weni^i^ erweitern, wie ieh nun noch an einijifen Bei- 
spielen zeigen wili. 

Wenn die Zahlen r, , 6?.^ , . . . durch die Gleichung 



(•) 



sin X + sin 3.C 
cos ^x 






2 a — I 



+ ... 



erklart werden, so iindet naeh Satz I in N° 5 die Congruenz statt 



/» + ! 



(2) 



Ji{5P) = {— O ' ^z^+i 0»i^d- p)^ 



unter p eine Primzahl von der Form ^n + 3 verstanden. 

Nun ist einerseits h{^p) dureh 2 theilbar (h^[^p) = ^h{5p)); anderer- 

seits ist 

sina; + sin S^u sina; + sin ( — x) , , v 

-— -- = -^ ^=0 (mod. 4), 

cos 5^ eos 50; ^ ^ 



tJber dio Anzahl Jer Classcn bioärcr quadratischQr Formen von ncgativer Dctcrminante. 383 

cl. h. (lie Coefficienten Cj , r^ , . . . slnd Räinintlich durch 4 theilbar. Daher 
k«inn die Congruenz (2) durch die folgende ersetzt werden: 

(2') h{^p) = {— i) ' c^^ (mod. 2p). 

4 

Da nun weiter die Anzahl der Jacobi'schen Zeichen, aus denen sich h{sp) 
zusaininensetzt, -- I — r — ~ ^1^ — ^ betragt, also h{^j)) < 2p ist, 

so folgt, dass h{sp) der kleinsie positive Rest von ( — i) * e^^j (mod. 2p) 

4 

ist. Die Congruenz (2') känn ihrerseits durch eine Congruenz nach dem 
Modul 4p crsetzt werden. Nach der ersten Tabelle der vorigen Nummer 

ist. nilmlich h{5p)= i — f-j (mod. 4), also h{5p)~o öder 2 (mod. 4), 

je nachdem p= ± i öder + 2 (mod. 5) ist. Hiernach leuchtet ein, dass 

(2") h{K,p) = {— 1) ^ Cp^^ (mod. 4;;), fOr p=+ i (mod. 5), 



p-\-i 



(2'") h{sp) = {— i)' r^^+ 2p (mod. 4^)), fttr i? = + 2 (mod. 5) 

4 

ist. Ähnliche Resultate knOpfen sich an die Satze 111 in N"" 6 und V 

und VI in N° 7, so dass man beispielsweise die Classenzahlen h{^i)) und 

h(iop) in folgender Weise durch Entwicklungscoefflcienten bestimmen känn: 

Es seien die Zahlen c j d , e j f duvch folgende Gleichungen erklärt: 

= 7»» C . 



smaj + 


sm 


3'^ 


cos 


5.C 




cos 2x + 


cos 


4.C 



" «*- 



cos 5.1* 



=^'L 



2n 



sm « — sin 3.15 + sin Jx + sin gn ^-^ x 



cos I o^ ^ " 2n — I ' 



»s 



2«— 1 



COS ir + cos 3;r — cos Jx + cos gj; ^ «'•'" 



cos 10 a^ ^ 2w 



^-=H/-. 



384 A. Hurwitz. 

Dann ist dic Classenzahr //(s/;) der kleinste positive nach dem Modul 2}) 

r±}_ p-i 

genommene Rest von ( — i) ^ c^^^ öder ( — i) ^ dp-u je nachdein j>=3 

oder = I (mod. 4) ist; die Classenzahl h{iop) stimnit ilberein mit dem 

7M_1 

kleinsteii positiven nach dem Modul 2p genommenen Rest von ( — i) * e^^^ 

P--1 
oder ( — 1) ^ /),_!, je nachdem j)= J oder = i (mod. 4) ist. 

Unter 2^ ist dabei irgend eine von 5 verschiedene ungerade Primzahl 
zu verstehen. 



385 



Ober die structur der discriminanten und resultanten 

von binären formen* 

VON 

FRANZ MEYER 

ill CLAUSTHAL. 



I. Bricht man eine, nach steigenden Potenzen der Variabeln Å ge- 
ordnete binäre Form: 

hinter der &**" Potenz von A ab, so möge die so entstehende Form: 

(2) {r,(A) = a, + fljA + . . . + a,k' 

als die »A^ Theilforni» von f bezeichnet werden, und entsprechend der 
nach Heraushebung des Factors A* verbleibende Rest: 

(3) ^n.-tW = (it + «.fiA^ + . . . + «.r-* 

als »zugehörige Nebentheilform». 

Gewisse Grttnde sprechen dann dafOr/ dass in den Ausdruck för die 
Discriminante von f die Discriminanten sämmtlicher Theilformen (2), (3) 
als Bestandtheile eingehen werden. 

Die hiermit aufgeworfene Frage soU im Folgenden ihre Erledigung 
in bejahendem Sinne finden: ein analoges Resultat wird sich daim auch 
för die Resultante von zwei Binärformen angeben lassen. 



* Vgl. dio vorläufigcn Mittheilungcn in den Göttingcr Nachrichten 1 895, N^ 
I und 2. 

Aeta mathemaiiea. 10. Iroprirof le 7 aoAt 1895. 49 



38t) Franz Mej^er. 

Ftir zahlentheoretische Anwendungen dieser Ergebnisse hat man noch 
die Discriminante einer binilren Form vermöge eines geeigneten Zahlen- 
factors zu »normirenj). 

Dabei wird sich zugleich die Frage beantworten lassen, was man 
ftberhaupt in der Zahlentheorie unter der Discriminante einer, ohne Bi- 
nomialcoejfficienten geschriebenen Binärform (i) zu verstehen hat. 

2. In der Formentheorie legt man den Coefficienten a^^a^ ,..., a„_|, a^ 
von (i) Gewichte bei von den Werthen m , m — i , . . . , i , o; dadurch 
wird die Discriminante von (i), eine homogene Form der a von der Ord- 
nung 2(m — i), zugleich isobar d. i. alle Glieder der Discriminante er- 
halten das nämliche Gewicht w(m — i). 

Fur unsern Zweck wird es sich indessen empfehlen, den k ersten 
Coefficienten in (i) resp. die Gewichte k ^ k — i,...,2,i beizulegen, 
allén tlbrigen aber das Gewicht Null. 

Dann werden die einzelnen Glieder der Discriminante von (i) nicht 
alle das gleiche Gewicht besitzen, und es besteht die Vermuthung, dass 
gerade dem Aggregat der Glieder vom khiinsten Gewichte eine besonders 
einfache Eigenschaft zukommen wird. 

Um zu dem gemeinten Aggregate zu gelangen, setze man in be- 

kannter Weise: ^ 

« 

(4) tto = s^a;, rti = £*~Vf; , . . . , a^_^ = sa;_i, aj, = «;, 

entwickele die Discriminante nach steigenden Potenzen von £, und er- 
mittele den Coefficienten C der kleinsten Potenz von s. Eben dies Pro- 
duct aus C und der kleinsten Potenz von s liefert, wenn man von den 
a' wiederum zu den a zuriickkehrt, das gewunschte Aggregat vom kleinsten 
Gewichte innerhalb der Discriminante. 

3. Um den Coefficienten C bequem zu berechnen, bedienen wir uns 
der Wurzeln von f (i).* Zu dem Behuf schicken wir folgenden Httlfssatz 
voraus: 

Vermöge der Substitut lon (4) zer fallen die m Wurzeln von f (i), als 



* Die Buchstabco a in (4), wic die a und /9 in (5) und (6) bedeuten Grössen, die 
nicht zugleich mit s vcrschwindcn. 



tFber die Structur der Diäcrimioanteo und ResultaDten von biniircD FormcD. 387 

Functionen von s betrachtety in zwei Klassen; die erste umfasst k Wurzeln 
von der Form: 

(5) ^»1 + s'Ä ,...,£«* + e'^,, {d > ly 
die zweite die m — k uhrigen von der Form: 

(6) a,+i + £'/?,+, ,...,«;« + ^"P,n {e > o).' 

Ilierhei sind die Grössen sa in (5) die Wurzeln von jr^ (2), und die Grössen 
a in (6) die Wurzeln von ip„,_^ (3). 

Dass dio Wurzeln von f die äussere Gestalt (5), (6) vermöge (4) 
erhalten, bedarf keines weiteren Beweises; auch, dass die a^^^ , . . . , a„ 
in (6) die Wurzeln von ^^-k (s) »sind, ergiebt sich fast unniittelbar, wenn 
man s zu Null werden Ulsst, wodureh ja f^ in A*^^_^ tlbergehen wilrde. 

Es handelt sich also nur noch uni den Nachweis, dass die saj , . . . , sat 
in (5) die Wurzeln von jt^ (2) sind. 

Wir betrachten zu dem Ende die Quotienten ' " -^ , . . . , -— . Mit 

Ut at at 

Rttcksicht auf (4), (5), (6) und die eben erledigte Bedeutung der a in 
(6) hat man zunächst: 

("~ O"* — 



"* (_ l)n»-A^^ a^+i...a;„ 



a 



m 



=^^ S (oti^j • • • ^k) I" • • • 

wo die zuletzt rechterhand stehenden Punkte Glieder andeuten, die mit 
höheren Potenzen von e behaftet sind. 

Da aber linkerhand nur die k^ Potenz der willktirlichen Grösse s 
auftritt, so muss dasselbe auch rochts stattfinden d. h. es ist 

(7) (-iy'^^=(s«.)(£a,)...M. 



^ Um nicht in unnöthigo Schwicrigkeiteo zu kommeo, lassen wir es gauz dahin 
gestellt, welchen (ganzzahligen oder gebrochencn) Werth die später doeh wieder heraus- 
falleDden Exponenten d und c in (5), (6) bcsitzen. 



388 Franz Meyer. 



a. 



. Entsprechend verfährt man mit dem nächstfolgenden Quotienten — : 



(_ i)*-i^ = 



(_l m-l .^ 

^k / v v ett 

mithin kommt ftir den Zähler des letzten Bruchcs: 

( — O"* ^ — ; — ■* («4+i • • • O 

= [(£«, + £''/9,) . . . (sa,,.., + £''y9._0(a.+, + £'y5i.+i) • • • (a™ + ä.'/9J 
-1- 

I • *•• • • ••• • 

^^^ • ••• • * «•• • 

+ (£«, + sV,) . . . (£«, + e''A)(a.+, + £'/?,+, ) . . . (a,„ + £'/9J] 
+ [(£«, + s'/?,) . . . (sot, + £''^,){(«,+, + £'/9,+,) . . . («,„_. + £'y5„_,) + . . . 

+ (ai+2 + s'A+,) • .• . («„ + £'/?»)}]• 

Rechts inuss sicli wiederum Allés auf die {k — i)'* Potenz von £ redu' 
ciren, und es wird soiiiit, nach beiderseitiger Division mit (a,^, . . . «„); 



e*~'a, 



(8) (- O"-' -^ = (s«i)(s«,) • • • (-'«.-.) + • • • + (£«,)(-'«,) . . . (£«.). 

Fährt man so fort, so erkennt man aus (7), (8) und dun sich anschlies- 
senden Formeln sofort, dass die Grössen ea^ , sa.^ , . . . , sa^. in (5) in der 
Tliat mit den Wurzeln von <fj. (2) Obereinstimmen. 

Damit ist der zu Beginn dieser N° aufgestelltc Hulfssatz ^ bewiesen. 

4. Die Discriminante D,„ einer binären Form f„, (i) werde, bis auf 
einen, später zu normirenden Zahlenfactor A^^ delinirt als das Quadrat des 



* DicBcr Hulfssatz fiadct vielfachc Auwcndung id der Thcoric von SioguIaritätcD 
von Curvcn, vgl. dio grossc Abhandlung des Vcrf. in den Wiener Monatsheftcn ftir 
Matheniatik uud P hy sik 1 893. 



tJhcT die Structur der DiscrimiDanteD und Rosultanten von bioären FormeD. 389 

Differenzenproductes der Wurzeln von /*, multiplicirt mit der 2{m — if^^ 
Potenz des Coefficienten a^ der höchsten Potenz von A, in Zeichen: 

gemäss der Scheidung der Wurzeln von / in die beiden Gruppen (5), (6). 
Eben vermöge dieser Scheidung zerfällt das Quadrat des Diflferenzenpro- 
ductes in drei wesentlich verschiedene Factoren: 

1) A'{sa, +s'l3,, ...,sa, + sV*). 

3) das Quadrat des Produetes aus den Differenzen je einer Grösse 
(5) und jc einer Grösse (6). 

Fur den Factor i) gilt abcr: 

wo die zuletzt stehenden Punkte wieder Glieder bezeichnen, die mit hö- 
heren Potenzen von s multiplicirt sind. 

Entwickelt man andererseits die unter 2) und 3) aufgeftihrten Aus- 
drucke nach steigenden Potenzen von s, so komiiit: 

2) A {fXt^i , »4^.2 , . . . , a„,) + . . . , 

WO es gcnttgt, die (von s freien) Anfangsglieder zu notiren. 

Somit liefert die Entwickelung der Discriminante D^ (9) selbst nach 
steigenden Potenzen von e: ^ 

Druckt man das hingeschriebene erste G Hed von D^ wieder riickwärts 
durch die urspriinglichen Coeftlcienten a von f aus, so hat man genau 
das Aggregat der G Heder in D„,, welche das Minimalgewicht, nemlich 
k{k — i), besitzen. 

* Dass die Eotwickelung von Dm mit der /r(Ä'— I )'*-'" Potenz von e beginot, hatte, 
auch ohne irgcnd cine Kenntniss von der Gestalt der Wurzeln von /*, aus der Bézout schen 
Form der Discriminante D^ geschlossen worden könncn. 



390 Franz Meyer. 

Bezeichnet man die Discrimiimnten von if^ (2) und ^„_^ (3) mit D^. 
resp. 7/*"*^ so ist, nach Analogie mit der Definition (9), und mit Riick- 
sicht auf den Hiilfssatz der N° 3: 

(10) A = ^a^-^^ A^(sa, , sa, , . . . , sa,) = e^'-'' Å,aT-'' t^\oi, , a, , . . . , a,), 

(I I) 7/- -^> = A^_,a''-'-''t^\r,,,, , a,^, , . . . , aj, 

(12) (a,Hai+2-- •«..)'--= (^'^J • 

Setzt man diese Werthe in das Anfangsglied (9') von 7J„, ein, und be- 
aehtet, dass sicli die Potenzen von a^ in Zähler und Nenner zusammen- 
ziehen, wie folgt: 

(\ ?(m4-l) ^* 2 

^ 3 J ^^« •.'(*-!) -.»(wi-* Il ~ *Zt ^'* ' 

SO ist das gemeinte Aggregat der Glieder in l)^ vom Minimalgewiclite 
k{k — i) identisch mit dem Producte: 

(14) -^;"-«;i>,7>"->. . 

-'A -'T IM— 4 

Damit ist der Satz bewiesen: 

Legt man den Coefficienten a^ , aj , . . . , a,_i , a, , . . . , a^ einer hindren 
Form /„(A): 

SHCcessive die Gewichte k , k — i,...,i,o,...,o bei, so zerfäUt das 
Aggregat der Glieder in der Discriminante D^ von f, welche das MinimaU 
gewicht k {k — 1) hesitzeny ahgesehen voneinem Zaldenfactor, in die Factoren: 

alV,n"'-'\ 

wo Dt , />"' -*> die Discriminanten der Theil formen: 

f a(A) = % + (l,^ + ' " + «*/", 

<p,n-Å^) = a, + a,^,k + .,. + aj:"-' 



bedeuten. 



XJhcr dio Structur der Discriminanten und Resultantcn von binärcn Formen. 301 

Fftr k = O (regp. k = m) wird der Satz bedeutimgslos, während er 
fttr k = I (resp. k = tn — i) ^ noch gQltig bleibt, mir dass der Factor 
D^ (resp. D^'^) dann gar nicht auftritt, öder, was dasselbe ist, durch die 
Einheit zu ersetzen ist. 

Symmetrischer hatte man den Coefficienten rto»^i'---'^it-i>^*'^it+i>-"»^m 
die Gewichte k , k — i,..., i,o,i,...,m — k beilogen können; dann 
wilrde nur an Stelle des Miniinalgewichts k{k — i) unseres Satzes das 
Minimalgewicht k{k — i) + {m — k){m — k — i) treten. 

5. Haben wir soeben den algebraischen Charakter des Ergebnisses 
hervortreten lassen, so möge nunmehr unser Augenmerk auf die geeignete 
Bestimmung der in (9') und (14) auftretenden Zahlenfactoren gerichtet sein. 

För den Augenblick denke man sich die Form fm{^) (i) vermöge 
einer zweiten Variabeln jj, homogen gemacht. Man biide sodann nach 

df df 

der Sylvester'8chen Vorschrift die Resultante D^ der Formen — und — , 
also 

(15) ^;. 



m-l 



» "m—i } 



rt, , 2rt, , ..., (m»—i )«„_,, ma„ , 



Nennen wir die Wurzeln von f kurz A^, A^, . . . , A„, so ist nach 
einer bekannten Formel' (Vgl. z. B. Fa a di Bruno, 1. c. p. 88 (13)): 

(16) 2);„ = (- ir^"""«r-«r-"A'(^, ,A,,...,AJ. 



* Der Fall k = m — I findet sich bei Faa di Bruno, Theorie der bifiären Formen, 
Deutsche Ausgabe, p. 90 un ten. 

I df I 9/* 

* Die gemeinte Formel ist daselbst fUr die Resultante von r und auf- 

gcslellt, nach leichter Umrechnung geht daraus die Formel (16) das Textes hervor. 



392 Franz Meyer. 

Nun ist A^(-4j , ^^ , . . . , Ä„)j als ganzzahlige symmetrische Functioii der 
A^ eine ganzzahlige ganzrationale Function der elementar-symmetrischen 
Functionen der A^ und zwar vom Grade 2(m — i). Also ist das Produet 
^2(m-i)^2^^^ , ^j , . . . , A„^ eine ganzzahlige homogene Form der Coeffi- 
cienten a. Da das Gleiche auch von der linken Seite D^ der Formel 
(i 6) gilt, so muss D'^ durch nf"^ theilbar * sein. Vergleicht man dies 
Resultat mit der Definition (9'), so erkennt man, dass man den Zahlen- 

1 - 
factor A^ am geeignetsten gleich ( — i)'*^ setzen wird: 

(9") B„ = 

Dann besteht zwischen J)„ und D^ (15) der Zusammenhang: 

(17) ^m=^;;^K. 

und D^ ist ebenfalls eine ganzzahlige Form der a. 

Damit reducirt sich der Zahlenfactor —: — ^P^ — in (14) auf 

-iii(m— 1) 

(18) — , ^~'^ . — - — = (- ir-*'. 

(- O' (- O' 

Auf Grund unseres Hauptsatzes können wir aber noch einen Schritt 
weiter gehen, und zeigen, dass die Form D^ (17) eine primitive ist d. h. 
dass der grösste gemeinschaftliche Theiler ihrer Coefficienten die Einheit ist. 

Denn wäre dieser Theiler von der Einheit verschieden, so mtisste er 
auch in jedem Bestandtheile von D^ aufgehen. Setzt man aber k gleich 
m — I, so ist, wie (14) lehrt, D„,_i ein solcher Bestandtheil. Dann mttsste 
der gedachte Theiler auch in D^^j , D^^g , . . . , D^ aufgehen; es ist aber 
D^ = 4aort2 — ^i> ^Iso primitiv. 

Wir drlicken dieses Zwischenergebniss als einen besondern Satz aus: 

Der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Coefficienten der Discrimi- 



* Die Thcilbarkeit von D^ durch r/i"*"^ geht auch direct aus dem Hauptsatze 
hervor, wcnn man in (14) ^ = wt — I setzt. 



tJber die Structur der DiscrimiDanteD und Resultantcn vod bioärcn Formen. 393 



nantendeterminante D'^ (15) ist gleich w"*~% und demnach ist die durch {i 7) 
öder (9") definirte Bmriminantenform D^ = — ^^^ D^, primitiv. 

Damit ist beiläufig die Frage entschieden, was man in der Zahlen- 
theorie unter der Discriminante einer, ohne Binomialcoefificienten ge- 
schriebenen Binärform zu verstehen hat. 

Auf Grund der Formel (18) sprechen wir folgende Ergänzung unseres 
Hauptsatzes (N'* 4) aus: 

Der in dem Hauptsatze nicht herucksichtigte Zahlenfactor des Produdes 
aJD^D^*""*^ ist einfach gJeicli ( — i^^c»»-*)^ fojlg die Discriminante einer hindren 
Form durch (17) definirt wird, 

6. Einfacher gestalten sich die analogen Verhältnisse bei der Re- 
sultante zweier Binärformen: 



(19) 



fM) = flo + fli>. + •- + M* + «*+!>*■" + ••• + a™-?", 

ffnW ^ho + b,?. + ...-\-b,Å' + b,^, /'+»+... + bj\ 



Indem wir hier wiederum mit der k**° resp. Z**" Potenz von k abbrechen, 
erhalten wir die Theilformen: 



(20) 



^kW = cio + aiÅ + ... + fl;tA*, 

f;(a) = 60 + 61^ + ... + */^' 

nebst den zugehörigen Neben theilf ormen : 

^«_,(;0 = a, + a,^,Å + ... + a^Å''^', 

Unter der Resultante R^^ von f^ und g^ verstehen wir, wie ttblich, die 
oflfenbar primitive Form: 

a^ 



(21) 



(22) 



■/Xm« ^-" 



'mn 



«« "1 

a. 



a, a. 



b, b, b. 



bo b^ b. 



Äcta mathematiea. 19. Imprimé le 7 aoOt 1895. 



50 



394 Fritz Meyer. 

Vermöge der Wurzeln -4^ , J^ , . . . , .4^ , Bj , B^ , . . . , B„ von f^ , g^ 
drttckt sich JB^„ (Vgl. z. B. Faa di Buuno, 1. c. p. 53 (12) und p. 74 
oben) aus, wie folgt: 

(23) R^^ = alb'::{A,-B,){A,-B,)...{A^ — B,) 

{A, — B,){A, —B,)... {A^ — B,) 



{A, — B„){A, — B„)...{A„ — n:), 
Vermöge der Substitutionen: 



(24) 



<7„ = £*(«;, a, = £* '«; , , . . , rti_, = £«i_i, a* = «i, 



K = s'K, 6, = s'~^b[ , . . . , Ä,_i = £i;_i , ^ == b',, 
nehmen die Wurzeln A , B die Gestalt an : 

£«, + £''/9, , ..., £0^ + s''p, , «i+, + £'/?*+, , ..., a„ + £'/9,„ (f? > I , o o)> 

£«; + £'''/9; , ..., £«; + sV» » «'+• + s%i » •••' < + ^'/^'n i'^' > i , «' > o). 



(25) 



Ftthrt man nunmehr das Product (23) aus, so ergiebt sich durch eine 
ganz ähnliche Rechnung, wie in N° 4, dass das Aggregat der mit der 
niedrigsten, nemlich {kl)^^ Potenz von e multiplicirten Glieder Oberein- 
stimmt mit dem Produete: 

(26) (— iy^"-*>ii,,i?<'»-*'"-'>, 

wo Bjti , /^»»-M-o ^[q Resultanten der Formen (20) resp. (21) sind. 
Somit gilt der Satz: 

Legt man den Coefficienten a^ , a^ , . . . , a^_i ? ^«* > • • • > «/»> ^0 > ^1 ' • • • ^ 
bi-i y bl j . , . , b^ der beiden binär en Formen fmW j {/mWy (^9) ^*^ Gewichte 
k j k — I,. ..,1,0, o. ..o resp. 1,1 — i,..., 1,0, o,..., o bei, so 
zer fällt das Aggregat der Glieder in der Residtante JS^„ von fundg^welche 
das Minimalgewicht kl besifzeny in das Product 

wo 22^/ , B^"*"*'"-'^ die Resultanten der Theilformen f*(A) , ^J(A) (20) resp. 
der NebentheUformen (p^-kW j <pl,-i{^) (21) bedeuten. 



t) ber dic Structur der DiscriminaDteu und ResultanteD von bioären Formen. 395 

7. Die fur die Discriminanten uiul Kesultanten biiiÄrer Formen im 
Obitren aufoeworfenen und beantworteten Fra<]jen lassen sich ohne Weiteres 
auch auf ternäre und höhere Formen ausdehnen; indessen stösst nian hier 
auf solche Schwierio:keiten, dass eine Entscheiduncr vorderhand noch nicht 
möglich zu sein scheint. 

Clausthal, d. 6 Februar 1895. 



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